正五邊形是一種非常重要、也非常美觀的圖形，本文就談?wù)動嘘P(guān)正五邊形的五個問題，文章中沒有把每一點都完全說透，很多只是給出提示，希望大家有興趣進行研究。文中還列出了多本著作，也希望大家盡可能找到這些書來讀。

一、正五邊形中和黃金比例

正五邊形最為人所熟知的性質(zhì)，是其中有很多黃金比例：

這可能是人類發(fā)現(xiàn)的第一個無理數(shù)，比 √2 都早，這么說的理由是據(jù)說畢達哥拉斯學派非常喜歡正五邊形（五角星），將其作為自己學派的標志，當然會深入研究正五邊形的性質(zhì)。但是，古希臘人證明兩個量是否可公度——用現(xiàn)在的話說是證明一個數(shù)是無理數(shù)——的方法是，用大量連續(xù)減去小量，得到一個比小量還小的量，然后再從原來的小量中連續(xù)減去上一步新得到的小量，得到新的小量……如果這個步驟一直進行下去而不能終止，則兩個量不可公度。那么，具體到正五邊形中的這個比例怎么證明呢？請閱讀項武義、張海潮、姚珩合著的《千古之謎與幾何天文物理兩千年》（高等教育出版社2010年版）。

二、正五邊形與正六邊形、正十邊形的關(guān)系

進一步的研究表明，正五邊形、正六邊形、正十邊形有著十分密切的聯(lián)系。比如這三個多邊形的邊長可以構(gòu)成直角三角形的三條邊（結(jié)論一），再有則是正五邊形內(nèi)接圓直徑是正六邊形、正十邊形的邊長和（結(jié)論二）。這在現(xiàn)代數(shù)學中只要計算不出問題即不難驗證，但是早在古希臘人們就用傳統(tǒng)的綜合法發(fā)現(xiàn)并證明了其中的部分內(nèi)容，真了不起。大家可以參見十五卷本的《幾何原本》（上海古籍出版社2002年版《續(xù)修四庫全書 1300 子部·西學譯著類》），看看書里還提到了正五邊形的哪些性質(zhì)。如果只看結(jié)論一，也可以看近年出版的十三卷本的《幾何原本》，我推薦蘭紀正、朱恩寬或者張卜天的譯本。

下面簡述一下結(jié)論一的證明方法，請大家領(lǐng)略一下《幾何原本》的證明藝術(shù)：

圖中 F 是圓心，AB 是內(nèi)接正五邊形邊長，AK 是內(nèi)接正十邊形邊長。書里先證明兩個三角形 BFN 和 BAF 相似，得到 BF2=AB×BN，再證明了 AKN 和 ABK 相似，得到 AK2=AB×AN，二者相加即得到 BF2+AK2=AB(BN+AN)=AB2，其中 BF 既是圓的半徑，也是該圓內(nèi)接正六邊形的邊長。這里的關(guān)鍵是點 N 的取法：左圖中的 NF 和右圖中的 AK 垂直。

下面是結(jié)論二的圖示，根據(jù)正五邊形、正十邊形各角關(guān)系，見圖即明：

三、正五邊形的做法

在尺規(guī)作圖方面，正五邊形算是比較復雜的了。我最近特意從網(wǎng)絡(luò)上找到了人民教育出版社1981年版的全日制十年制初中幾何課本，只有做法而無證明（下左圖），大概是這個證明需要用到36度的三角函數(shù)，超出了初中范圍，不知道讀者中有沒有人能夠用初中知識證明的。而《幾何原本》中是這樣作的：先作一等腰三角形，腰和底邊之比為黃金比例，可以證明這個此等腰三角形的頂角是36度（下右圖），繼而在此基礎(chǔ)上可以作出正五邊形。而在《圓之吻——有趣的尺規(guī)作圖》（莫海亮著，電子工業(yè)出版社2016年版）一書中，作者給出了正五邊形的二十四個尺規(guī)作圖方法，后面還有若干單規(guī)、單尺作圖法。不過雖然作圖方法多種多樣，具體實現(xiàn)起來還是很復雜，我現(xiàn)在還記得初中時數(shù)學老師為了給我們演示正五邊形作圖方法而不得不拼湊調(diào)整的糗事，這大概是因為粉筆筆畫較粗難以精確而圓規(guī)的頭部又比較松散的緣故吧。

正因為精確的正五邊形難畫，所以才有了下面的近似做法，可以記做“五九頂九五，八五分兩邊”：

這兩年折紙很火，如果你在網(wǎng)絡(luò)上搜索正五邊形的折疊方法，也可以找出一大堆，但是其中大部分是近似折法，大家自行判斷吧。特別說一句，其中比較有趣的是用打結(jié)的方法制作正五邊形，而且這個制作是精確的。

四、正五邊形和正方形的相互轉(zhuǎn)化。

在數(shù)學上，可以把任意一個多邊形經(jīng)過分割、重組變成等面積的另外一個，這在數(shù)學上被稱為“華勒斯·波埃伊·格維也納定理”，而其中尤為大家重視的是各種復雜的多邊形向正方形的轉(zhuǎn)化。正五邊形當然也可以變成等面積的正方形，下左圖見于《奇妙的正方形》（【蘇】科爾杰姆斯基、魯薩列夫著，曾一平譯，中國青年出版社1955年版），右圖見于《圓之吻——有趣的尺規(guī)作圖》：

至于具體作圖方法，這里就不“劇透”，煩請大家自行研究。如果你已經(jīng)會了這個問題，那么不妨考慮其逆問題——把一個正方形分割重組為等面積的正五邊形，看看哪個作圖過程敘述起來比較方便。如果你有其它分割方法，也歡迎發(fā)表出來。

五、正十二面體和正二十面體

接下來我們要跳出平面的范圍，來看看立體幾何。在五種正多面體中，和正五邊形關(guān)系最密切的是正十二面體和正二十面體。

這兩個正多面體有什么關(guān)系嗎？我覺得其中最驚人的是，如果二者的外接球半徑相同，則二者每個面的外接圓半徑相等。你能證明這個結(jié)論嗎？另外，如何在給定的球體內(nèi)作出內(nèi)接正十二面體和正二十面體，作這兩個多面體還有什么簡單方法，請參閱《幾何原本》（部分內(nèi)容見于十五卷本）和《數(shù)學的魅力》（沈康身著，上海辭書出版社2006年版）。

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