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陳奧林 、楊  能

如無(wú)必要，勿增實(shí)體。

——威廉·奧卡姆

良性過(guò)擬合現(xiàn)象的提出。大量的文獻(xiàn)通過(guò)實(shí)證分析驗(yàn)證了更加復(fù)雜的機(jī)器學(xué)習(xí)模型相對(duì)于簡(jiǎn)單的線性模型能夠帶來(lái)更高的組合收益。直覺(jué)上，根據(jù)奧卡姆剃刀原理，簡(jiǎn)約的模型似乎更加可靠，更不容易過(guò)擬合。這種通過(guò)大量參數(shù)構(gòu)成的復(fù)雜非線性模型在樣本外表現(xiàn)更佳這一反直覺(jué)現(xiàn)象被稱之為“良性過(guò)擬合”(Bartlett et al., 2020;Tsigler and Bartlett, 2020)，我們?cè)撊绾卫斫夥粗庇X(jué)的良性過(guò)擬合？

本篇報(bào)告推薦學(xué)者Bryan Kelly、Semyon Malamud和Kangying Zhou合作的《THE VIRTUE OF COMPLEXITY IN RETURN PREDICTION》。文獻(xiàn)不僅實(shí)證了機(jī)器學(xué)習(xí)模型的樣本外效果，而且基于隨機(jī)矩陣?yán)碚撟C明了樣本外預(yù)測(cè)精度和策略表現(xiàn)隨著模型復(fù)雜度的提升而提升，幫助我們更好理解良性過(guò)擬合現(xiàn)象。

換言之，奧卡姆剃刀原理在收益預(yù)測(cè)中并不適用。

假設(shè)真實(shí)金融資產(chǎn)收益由下式構(gòu)成：

R為資產(chǎn)收益，G為一組已知的有預(yù)測(cè)能力的投資信號(hào)，f為未知的函數(shù)。與其徒勞地猜測(cè)f的具體形式，我們不如使用Hornik et al. (1990)提出的近似法則，f可近似為：

其中，S是一個(gè)已知的非線性激活函數(shù)，P需足夠大。

由此，資產(chǎn)收益可由以下線性回歸表示：

一個(gè)簡(jiǎn)單的模型通常滿足特征數(shù)量P遠(yuǎn)小于樣本數(shù)量T，此時(shí)模型具有較低的方差，但是對(duì)于式1中f形式的估計(jì)比較粗糙。相反，在一個(gè)復(fù)雜模型中，P大于T，模型具備更準(zhǔn)確估計(jì)f的潛力，但是也會(huì)帶來(lái)更大的方差，更需要進(jìn)行特征壓縮。因此，我們的核心問(wèn)題是：

投資者該如何選擇模型的復(fù)雜度P？復(fù)雜模型是真能增強(qiáng)預(yù)測(cè)效果還是僅會(huì)帶來(lái)更大的預(yù)測(cè)方差和偏差？

基于理論假設(shè)，在P大于T的復(fù)雜模型中，隨著復(fù)雜度P的提升，樣本外預(yù)測(cè)精度和策略表現(xiàn)線性上升，且使用合理的特征壓縮技術(shù)后，模型預(yù)測(cè)表現(xiàn)進(jìn)一步提升。

因此，投資者應(yīng)當(dāng)盡可能在模型中加入有效信息，提升模型復(fù)雜度，從而逼近真實(shí)的收益生成過(guò)程。換言之，在真實(shí)的收益生成過(guò)程是未知的情況下，通過(guò)增強(qiáng)模型復(fù)雜度帶來(lái)的好處（更加精確的f估計(jì)等）大于嚴(yán)重參數(shù)化帶來(lái)的壞處（更大的方差等）。

上述結(jié)論的理論證明主要基于以下兩點(diǎn)假設(shè)：一是機(jī)器學(xué)習(xí)模型簡(jiǎn)化為高維線性回歸；二是僅對(duì)于單一資產(chǎn)收益率進(jìn)行預(yù)測(cè)。上述簡(jiǎn)化使得理論證明更加方便，并不影響核心結(jié)論。

在傳統(tǒng)OLS中，當(dāng)P接近T時(shí)，協(xié)方差陣變得不穩(wěn)定，導(dǎo)致預(yù)測(cè)方差大幅上升，樣本外擬合優(yōu)度快速下降，是常見(jiàn)的過(guò)擬合現(xiàn)象。而在機(jī)器學(xué)習(xí)模型中，金融資產(chǎn)的真實(shí)收益生成過(guò)程

極度復(fù)雜，其未知真實(shí)特征數(shù)量P理應(yīng)遠(yuǎn)大于樣本點(diǎn)數(shù)量T。因?yàn)檎_的模型形式本應(yīng)滿足P大于T，所以，機(jī)器學(xué)習(xí)建立的P大于T的模型不應(yīng)被看做過(guò)擬合，所謂的良性過(guò)擬合只是合理參數(shù)化。

文章的第二個(gè)結(jié)論是：樣本外擬合優(yōu)度R方不能反映策略的優(yōu)劣。即使預(yù)測(cè)R方為負(fù)，我們依然能夠通過(guò)收益預(yù)測(cè)獲取利潤(rùn)。這是因?yàn)镽2受到預(yù)測(cè)方差的嚴(yán)重影響。R方過(guò)低只是表明策略波動(dòng)較大。

文章的第三個(gè)結(jié)論是：策略表現(xiàn)受益于正則化，隨著正則化的加大，預(yù)期收益下降，但策略波動(dòng)下降更快，策略夏普有一定提升。

文章使用15個(gè)預(yù)測(cè)指標(biāo)用于預(yù)測(cè)美股權(quán)益市場(chǎng)指數(shù)CRSP月度收益。為了生成大量特征，文章采用了傅里葉隨機(jī)特征RFF算法，其本質(zhì)為兩層神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，第一層神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)權(quán)重隨機(jī)生成，第二層權(quán)重通過(guò)回歸得到。

定義c=P/T,由下圖2、3可知，隨著c由1上升至1000，組合預(yù)期收益和夏普比率等指標(biāo)均有顯著提升。其結(jié)果可通過(guò)穩(wěn)健性檢驗(yàn)如圖4分樣本檢驗(yàn)。

AI在資產(chǎn)管理中快速發(fā)展，但是基于機(jī)器學(xué)習(xí)模型的組合性質(zhì)尚未能被充分理解。

研究發(fā)現(xiàn)，通過(guò)生成遠(yuǎn)大于大于訓(xùn)練集樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)的特征能夠提升策略樣本外的表現(xiàn)，而不用過(guò)于擔(dān)心過(guò)擬合問(wèn)題。

研究結(jié)論并不表明我們可以在模型中加入隨機(jī)的投資信號(hào)，相反，作者鼓勵(lì)：1.加入所有可獲得的相關(guān)特征（因子）2.使用大量非線性模型，而非簡(jiǎn)單的線性模型。即使訓(xùn)練集數(shù)據(jù)不足，這樣做同樣能夠帶來(lái)更好的預(yù)測(cè)效果，特別是在使用了特征壓縮技術(shù)后。

收益預(yù)測(cè)時(shí)，奧卡姆剃刀原則并不正確。這是因?yàn)閺睦碚撋险f(shuō)，只有當(dāng)模型形式是正確的時(shí)候，簡(jiǎn)約模型才更可取，但正如BOX（1976）強(qiáng)調(diào)的，模型形式幾乎從來(lái)都是錯(cuò)誤的。因此，合乎邏輯的結(jié)論是，在相當(dāng)一般的條件下，機(jī)器學(xué)習(xí)模型更可取。機(jī)器學(xué)習(xí)文獻(xiàn)證明了大型非線性模型在廣泛領(lǐng)域的成功，本篇文獻(xiàn)結(jié)果再一次表明，機(jī)器學(xué)習(xí)模型在金融市場(chǎng)中同樣適用。