不知道大家爬過山?jīng)]有，站在山頂回望，你會發(fā)現(xiàn)一覽無余。
就像戰(zhàn)爭年代，雙方一定要去占領(lǐng)制高點，只有占領(lǐng)了制高點，你才能對敵人的一舉一動洞若觀火，進而采取合適的應(yīng)對。
數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)亦是如此！
小學(xué)六年、初中三年、高中三年，總共十二年的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，到底學(xué)的是什么?
不同的階段，它們的學(xué)習(xí)內(nèi)容之間到底有什么不同，有沒有聯(lián)系呢？
如果有聯(lián)系，又是如何發(fā)展的呢？
在學(xué)習(xí)低階段的數(shù)學(xué)時，能否為高階段的學(xué)習(xí)打好基礎(chǔ)？
能不能從中找到解決小初銜接，初高銜接之間問題的方法？
可惜會去主動思考這些問題的人很少！
老師們一般都只關(guān)注自己所處的階段，而家長們，或者沒有專業(yè)背景，有心無力，或者沒有意識到這一問題的重要性！
但是數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)從小學(xué)開始，到高中結(jié)束，這是一個完整的系統(tǒng)，搞清楚它的發(fā)展脈絡(luò)、在每一階段的主要任務(wù)，用一盤棋的觀點去看待整個數(shù)學(xué)體系，不管是對于老師或者家長，都是非常有用的。
與家長而言，能夠做到心里有數(shù)，知道如何把握孩子的學(xué)習(xí)方向。
與老師而言，可以將低階段的知識與高階段中的知識相對接，從而幫助學(xué)生減少階段銜接時面臨的壓力。
說實話，如果不是因為自己的孩子要上小學(xué)，我是想不到去研究小學(xué)、初中的數(shù)學(xué)知識的，但是當我真正把小初高的數(shù)學(xué)知識系統(tǒng)立起來，從中真的有不少收獲。加之我身邊有不少朋友的孩子正在小學(xué)上初中，我也想把自己的心得分享出來，希望能夠?qū)Υ蠹矣杏茫?/span>
數(shù)學(xué)的整個體系主要可以分成三條線，代數(shù)、幾何、概率統(tǒng)計，這三條線貫穿十二年學(xué)習(xí)的始終，今天我們主要來聊一聊代數(shù)！
首先請大家看下面這個表格：
這是從小學(xué)一年級開始一直到高二，所有的代數(shù)內(nèi)容。
簡單概括一下，整個代數(shù)體系的脈絡(luò)就是：數(shù)系的擴充，運算的復(fù)雜，常量到變量。
數(shù)系的擴充：
一二年級主要研究的是自然數(shù)。
三四年級開始研究小數(shù)，五六年級開始研究分數(shù)。這里家長要知道，小數(shù)和分數(shù)是有非常緊密的聯(lián)系的，實際上除了無限不循環(huán)小數(shù)之外，其他的小數(shù)，不論是有限小數(shù)，亦或是無限循環(huán)小數(shù)都可以轉(zhuǎn)化為分數(shù)，而分數(shù)其實就是有理數(shù)！
而有理數(shù)的概念到七年級上冊會講，讓學(xué)生提前形成這個概念后，就可以和初中銜接起來。
到六年級下冊，會學(xué)到負數(shù)，數(shù)系的范圍會進一步擴大。
七年級下冊，會學(xué)到無理數(shù)，有理數(shù)與無理數(shù)合稱為實數(shù)，由此數(shù)系的擴充告一段落?？梢哉f整個初高中代數(shù)的研究范圍，就是在實數(shù)范圍內(nèi)。
再擴充就到高二下學(xué)期引入復(fù)數(shù)的概念了。
數(shù)系的擴展其實是一個填充數(shù)軸的過程，知道數(shù)軸的家長，可以將自然數(shù)、整數(shù)、有理數(shù)、實數(shù)這種數(shù)系的擴展通過數(shù)軸的填充展示給孩子，也是一種數(shù)形結(jié)合。
而且很容易孩子就會想到，如果一條數(shù)軸不夠，那么再加一條數(shù)軸，一個坐標平面會表示什么數(shù)？
自然可以引出復(fù)數(shù)的概念！
運算的復(fù)雜：
一年級研究的是加減法。
二年級開始研究乘除法，開始加減乘除的混合運算。
之后的運算是隨著數(shù)系的擴充，在這些數(shù)系范圍內(nèi)進行加減乘除的混合運算。
這一過程會一直持續(xù)到七年級上冊的有理數(shù)，會學(xué)習(xí)到乘方，無理數(shù)中會涉及到開方，到此運算基本告一段落，再學(xué)習(xí)新運算就要到高一必修一學(xué)習(xí)對數(shù)運算了。
其實乘方、開方、對數(shù)運算三者互為逆運算，有條件的家長在這里給學(xué)生拓展一些，到高中之后，學(xué)生就不會面對對數(shù)運算束手無策了。
當高二下學(xué)期學(xué)完復(fù)數(shù)的概念，運算告一段落。
需要提一下的是，六年級上會涉及到比這一概念，而比例關(guān)系是初中證明相似的主要工具，而相似關(guān)系又是初中平面幾何的主要問題！
在學(xué)習(xí)這一部分時，家長其實可以利用相似三角形來舉例，一舉兩得。
常量到變量：
小學(xué)數(shù)學(xué)之所以又被稱之為算術(shù)，就是因為小學(xué)代數(shù)的主要內(nèi)容就是常量的運算。只在小學(xué)五年級上冊會涉及到變量，用字母表示數(shù)，還有一點方程的知識，而且相當簡單，是不需要移項的一元一次方程。
雖然內(nèi)容很少，但非常重要，可以說是整個初高中的基礎(chǔ)，在這里，家長要幫助孩子掌握好方程所代表的思想方法，因為雖然方程形式有簡單復(fù)雜，但是其背后蘊含的思想方法是一致的。
有能力的家長可以在這里給學(xué)生引申，這樣在七年級上學(xué)期學(xué)習(xí)一元一次方程時，就比較好銜接了。
而在七年級上學(xué)期學(xué)習(xí)的整式的加減，就是對小學(xué)五年級用字母表示數(shù)的拓展，這是從常量到變量的開始，從此以后的代數(shù)研究，不管是方程、不等式還是函數(shù)，都是對變量的研究。
其實在小學(xué)教材中，有一個點很適合作為學(xué)習(xí)變量的素材，那就是一年級下冊的找規(guī)律！找規(guī)律其實就是高中的數(shù)列，而高中的數(shù)列本質(zhì)就是函數(shù)。
數(shù)列中每一項的值都隨著項數(shù)的變化而變化，完全可以滲透變量的概念！
甚至數(shù)列項數(shù)和每一項的值之間的對應(yīng)關(guān)系非常明確，可以作為學(xué)習(xí)高中函數(shù)概念的素材。
常量到變量，這是代數(shù)中小學(xué)到初中一個非常大的變化。
到了初中，關(guān)于變量有兩個方向，一個是方程，主要有一元一次方程，二元一次方程組，一元二次方程，另一個是函數(shù)，主要有一次函數(shù)，二次函數(shù)和反比例函數(shù)。
這兩者是初中代數(shù)的主體，也是中考的重點內(nèi)容，尤其是二次函數(shù)更是壓軸的存在。
這兩者是有聯(lián)系的，比如二元一次方程，完全可以轉(zhuǎn)化為一元一次函數(shù)的形式，雖然在本質(zhì)上方程和函數(shù)是不太一樣的，但在這里，完全可以用研究一次函數(shù)的方法，比如畫圖像去研究二元一次方程，會發(fā)現(xiàn)原來直線可以用二元一次方程去表示。
這其實就是高中解析幾何的思路，和高一上學(xué)期必修二的解析幾何結(jié)合在一起了。
當然不僅于此，一元一次函數(shù)和一元一次方程，乃至一元一次不等式有著非常緊密的聯(lián)系，一元二次函數(shù)和一元二次方程也是如此。
從圖像的角度來講，一元方程本質(zhì)就是一元函數(shù)與x軸相交，相應(yīng)的不等式對應(yīng)的就是圖像在x軸上下的部分。
這種數(shù)形結(jié)合的思路，用函數(shù)觀點看待不等式和方程的思想，在高中也是非常有用的，尤其是二次函數(shù)方程不等式，在高一必修一中還有涉及，是初高銜接的點之一。
二元一次方程組的解法基本思路是消元，設(shè)未知數(shù)，消未知數(shù)，即使在高中也是有用的，比如在解析幾何中。
之所以在這里著墨甚多，是因為函數(shù)極其重要，可以這樣說，它的重要性遠超幾何。
從中考來說，可以這么說，孩子能不能考上本地最好的學(xué)校，就看二次函數(shù)這道題了。
從初高銜接來說，高中的很多章節(jié)本身就是函數(shù)，相關(guān)章節(jié)也有很多，可以這樣說，除了三角恒等變換和復(fù)數(shù)之外，其他的代數(shù)內(nèi)容都與函數(shù)有關(guān)系。更重要的是，高中數(shù)學(xué)在新課程標準中呈現(xiàn)出非常強的代數(shù)化趨勢。
比如高中的立體幾何證明，已經(jīng)不再運用初中幾何的綜合證明法了，而是利用空間向量轉(zhuǎn)化為代數(shù)計算問題了。
而高中所學(xué)的解析幾何的基本思想更是直接把幾何圖形轉(zhuǎn)化為方程，通過研究方程去研究幾何性質(zhì)與關(guān)系！
雖然高中數(shù)學(xué)呈現(xiàn)出非常強的代數(shù)化趨勢，但圖像仍然是輔助研究函數(shù)性質(zhì)、方程問題的主要工具，這就是所謂的數(shù)形結(jié)合！
所以又回到我們剛才所講的問題，在初中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中，在我們的輔導(dǎo)中，一定要加強孩子對數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用！
所以初高中學(xué)習(xí)的銜接不應(yīng)該存在于某一個點，而應(yīng)該是貫穿于初中學(xué)習(xí)的始終！
小初銜接亦是如此！
高中數(shù)學(xué)是小初高數(shù)學(xué)的頂點，整個小初階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)就是為了高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)做準備工作的！
就代數(shù)而言，在進入高中之前，要讓孩子做好哪些準備呢？
應(yīng)該有一個比較強的運算能力，對于函數(shù)，方程，不等式相互關(guān)系比較清楚的認識，數(shù)形結(jié)合的能力。
在高中代數(shù)的主線就是函數(shù)，而研究函數(shù)的核心是定義，高中函數(shù)的定義與初中函數(shù)的定義是有區(qū)別的，強調(diào)的是對應(yīng)，這種思想，在初中一定要給學(xué)生滲透，否則到高中他們很難馬上理解。
先研究函數(shù)的新定義，表示和性質(zhì)，比如單調(diào)性、奇偶性、周期性，然后用初中學(xué)過的二次函數(shù)作為素材，運用新學(xué)過的知識重新研究，之后引入新的兩種函數(shù)，指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)，研究函數(shù)與方程的關(guān)系。
然后學(xué)習(xí)研究單調(diào)性的工具，即微積分初步——導(dǎo)數(shù)。
除此之外，直接的外延有三角函數(shù)，也是函數(shù)的一種，還有數(shù)列，是函數(shù)的一種特殊情況。
之所以把初中的三角函數(shù)放進代數(shù)部分，就是因為其對應(yīng)的高中知識，主要是在代數(shù)范疇之內(nèi)。
但是初高中的三角函數(shù)差別之大，幾乎是兩個不同的章節(jié)，唯一的聯(lián)系就是三角比的定義。
基本上整個代數(shù)的分析就是這個樣子了，因為比較倉促，有些東西沒有展開講，比如小學(xué)教材中的思維廣角，其前衛(wèi)程度簡直讓人咂舌，很多知識其實是高中知識下方。
大家可以去看一看！
我在這里用的教材都是人教版教材，由于各地教材不一致，可能略有出入，但基本內(nèi)容是一致的。
至于幾何，我們下次再聊吧。
我很尊敬的一位老大哥說過這樣一句話：
好的家長，好的老師，不是幫著孩子解一道題目，而是能夠在關(guān)鍵的地方推他一把，讓他在之后的道路上走的更順暢！
與大家共勉！
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