數(shù)學(xué)其實(shí)是一門很高傲的學(xué)科，雖然有些復(fù)雜的字母、數(shù)字和等號(hào)的組合目前并沒(méi)有實(shí)際的作用，但是每一位數(shù)學(xué)家都應(yīng)當(dāng)為其所研究的內(nèi)容而自豪。
即便有些理論數(shù)學(xué)的內(nèi)容有些清高，但是不影響數(shù)學(xué)在很大程度上已經(jīng)成為研究其他學(xué)科的研究工具了（特別是物理學(xué)）。可以說(shuō)，數(shù)學(xué)就如同眾多學(xué)科的女神一樣，人見(jiàn)人愛(ài)，讓其他學(xué)科紛紛慕而求之。
但是在數(shù)學(xué)里面有一個(gè)領(lǐng)域，很少被其他學(xué)科青睞，更多地是給人們鍛煉大腦用的。這就是最古老、最純粹、最有活力、最初等卻也是最深?yuàn)W的數(shù)學(xué)領(lǐng)域，也就是被譽(yù)為數(shù)學(xué)皇后的數(shù)論。下面我們就來(lái)看看幾個(gè)數(shù)論中簡(jiǎn)單的問(wèn)題。
奇怪的質(zhì)數(shù)
數(shù)字里面有一類很奇怪的數(shù)，叫做質(zhì)數(shù)。質(zhì)數(shù)也叫素?cái)?shù)，是指只能被自己本身和1整除的數(shù)（又或者除了1之外，不能被比它更小的數(shù)整除）。
那么這樣的數(shù)到底有多少個(gè)呢？換句話說(shuō)，存不存在這樣一個(gè)數(shù)，比這個(gè)數(shù)大的數(shù)都可以被比這個(gè)數(shù)小的數(shù)整除？這個(gè)問(wèn)題是由質(zhì)數(shù)的提出者歐幾里得提出來(lái)的，并給出了答案和證明：質(zhì)數(shù)是無(wú)限多的。
他的證明巧妙地利用了反證法，假設(shè)最大的質(zhì)數(shù)是N，那么如果我們把所有質(zhì)數(shù)都乘在一起再加一：
顯然這個(gè)數(shù)不能被任何小于N的質(zhì)數(shù)整除，因?yàn)槿绻眯∮贜的質(zhì)數(shù)去除必然會(huì)得到余數(shù)1。因此這個(gè)數(shù)要么被比N大的質(zhì)數(shù)整除，要么是比N大的質(zhì)數(shù)。所以N肯定不是最大質(zhì)數(shù)。
這個(gè)結(jié)論和假設(shè)不符，于是我們得知，不存在最大質(zhì)數(shù)，也就是說(shuō)質(zhì)數(shù)是無(wú)窮多的。
我們找質(zhì)數(shù)的最簡(jiǎn)單的辦法是“篩選”。這個(gè)方法是由古希臘哲學(xué)家艾拉托斯特尼首次提出的。
在給定的范圍內(nèi)，分別找出2、3、5、7等質(zhì)數(shù)的倍數(shù)，最后得到的都是質(zhì)數(shù)。比如1-100區(qū)間內(nèi)的質(zhì)數(shù)是26個(gè)。那么除此之外有沒(méi)有一個(gè)公式幫助我們找到質(zhì)數(shù)呢？1640年法國(guó)數(shù)學(xué)家費(fèi)馬提出了一個(gè)公式：
當(dāng)n=1，2，3，4的時(shí)候得到的值都是質(zhì)數(shù)，但是n=5的時(shí)候這個(gè)數(shù)就不是質(zhì)數(shù)了。更精確的公式n2-n+41，當(dāng)n小于41的時(shí)候得到的都是質(zhì)數(shù)，但是當(dāng)n取41時(shí)，我們得到了412。后來(lái)人們又做了許多嘗試，到現(xiàn)在也沒(méi)有找到一個(gè)公式可以確保得到質(zhì)數(shù)。
提到質(zhì)數(shù)就不得不說(shuō)著名的哥德巴赫猜想。哥德巴赫猜想被人熟知的原因不是因?yàn)樗闹匾?，而是一群?shù)學(xué)票友總是時(shí)不時(shí)地自稱自己證明了這個(gè)東西。
哥德巴赫是地主家不傻的兒子。他的家庭條件很好，他本人也受到了非常好的教育。良好的家庭條件使得他有足夠的精力和資源去研究數(shù)學(xué)。他本人喜歡結(jié)交世界各地的數(shù)學(xué)家，哥德巴赫猜想就來(lái)自他與歐拉的書信往來(lái)。
哥德巴赫認(rèn)為，對(duì)于任意的偶數(shù)都可以寫成兩個(gè)質(zhì)數(shù)的和。簡(jiǎn)簡(jiǎn)單單的一句話卻難倒了大批數(shù)學(xué)家們。對(duì)于簡(jiǎn)單的數(shù)，比如14=11+3，36=23+13確實(shí)是正確的，但是對(duì)于更復(fù)雜的數(shù)有沒(méi)有反例呢？或者說(shuō)這個(gè)猜想能不能被證明呢？
后來(lái)俄國(guó)的數(shù)學(xué)家維諾格拉多夫證明了任何偶數(shù)都能表示為不超過(guò)4個(gè)質(zhì)數(shù)的和。4離2還差兩個(gè)數(shù)，最后的目標(biāo)才是最難達(dá)成的呀。
驗(yàn)證哥德巴赫猜想，需要引入一個(gè)新的概念：殆質(zhì)數(shù)。就是由數(shù)量較少的質(zhì)數(shù)相乘的數(shù)。
比如15=3*5，由兩個(gè)質(zhì)數(shù)相乘，就是一個(gè)殆質(zhì)數(shù)。如果N是偶數(shù)，雖然證明N是兩個(gè)質(zhì)數(shù)的和比較困難，但是可以證明N是兩個(gè)殆質(zhì)數(shù)的和。那么哥德巴赫猜想可以寫成“1+1”問(wèn)題，也就是一個(gè)質(zhì)數(shù)的乘積加一個(gè)質(zhì)數(shù)的乘積，就是兩個(gè)質(zhì)數(shù)的和。
在哥德巴赫猜想問(wèn)題上我國(guó)數(shù)學(xué)家們做出了杰出的貢獻(xiàn)。1956年，王元證明了“3 + 4”，之后又證明了 “3 + 3”和“2 + 3”。1962年，潘承洞證明了“1 + 5”，同時(shí)王元又證明了“1 + 4”。1966年，陳景潤(rùn)證明了 “1 + 2 ”,離哥德巴赫猜想僅僅一步之遙。
前面光說(shuō)了和質(zhì)數(shù)有關(guān)的內(nèi)容，但是數(shù)論研究的可是整數(shù)。因此首當(dāng)其沖的必然是費(fèi)馬大定理。費(fèi)馬不是職業(yè)的數(shù)學(xué)家，他是一個(gè)律師，但是他對(duì)于數(shù)學(xué)的成就使得他成為了職業(yè)的業(yè)余數(shù)學(xué)家。
費(fèi)馬大定理的根源可以追溯到古埃及時(shí)期。那時(shí)候優(yōu)秀的工匠都知道，如果三角形的三個(gè)邊的比值是3:4:5，那么這個(gè)三角形一定有個(gè)直角，滿足兩邊的平方和等于第三邊的平方。
公元三世紀(jì)費(fèi)馬開(kāi)始研究這個(gè)問(wèn)題，他在想，除了3，4外是不是也有其他的兩數(shù)平方等于第三個(gè)數(shù)的平方？他找到了好幾組這樣的數(shù)，但是如果對(duì)于不是平方而是更高階的冪次方，有沒(méi)有這樣的數(shù)存在呢？
他在閱讀丟番圖的《算術(shù)》時(shí)，看到了：對(duì)于直角三角形的三個(gè)邊有的關(guān)系。于是他在旁邊寫下了簡(jiǎn)短的筆記，提出了：“當(dāng)整數(shù)n>2時(shí)，關(guān)于的方程沒(méi)有正整數(shù)解。
“關(guān)于這個(gè)問(wèn)題，我確信已發(fā)現(xiàn)了一種美妙的證法 ，可惜這里空白的地方太小，寫不下?！?/strong>
但是這個(gè)定理的證明卻沒(méi)有那么順利，以至于人們懷疑費(fèi)馬當(dāng)時(shí)并沒(méi)有證明這個(gè)猜想，或者他本人理解錯(cuò)了。
為此，有的人不惜出十萬(wàn)馬克來(lái)懸賞證明方法。歐拉證明了n=3的情形，費(fèi)馬本人僅證明了n=4的情形，狄利克雷和勒讓德分別獨(dú)立證明了n=5的情形。最后費(fèi)馬大定理由英國(guó)數(shù)學(xué)家安德魯·懷爾斯證明。
（點(diǎn)擊圖片，和費(fèi)馬一起嗨?。?br>
前面講的都是國(guó)外的數(shù)學(xué)家提出的理論，其實(shí)我國(guó)在研究數(shù)論方面也有著悠久的歷史。
在古代我國(guó)就已經(jīng)開(kāi)始研究早期的數(shù)論問(wèn)題。著名的《九章算術(shù)》可以說(shuō)是第一部自成體系的數(shù)學(xué)著作。除此之外還有我們要介紹的來(lái)自兩本不同著作的兩個(gè)定理；出自《孫子算經(jīng)》的中國(guó)剩余定理和出自《周髀算經(jīng)》的商高定理。
在《孫子算經(jīng)》里面記錄著這樣一道題：“今有物，不知其數(shù)，三三數(shù)之剩二，五五數(shù)之剩三，七七數(shù)之剩二。問(wèn)物幾何？”
原文的解答是：三三數(shù)之，剩二，置一百四十；五五數(shù)之，剩三，置六十三；七七數(shù)之，剩二，置三十。并之。得二百三十三，以二百一十減之，即得。
明朝的數(shù)學(xué)家程大位將解法編成了打油詩(shī)：“三人同行七十稀，五樹梅花廿一支，七子團(tuán)圓正半月，除百零五使得知?！边@就是中國(guó)剩余定理解決線性同余方程組的應(yīng)用。
另一個(gè)定理出自《周髀算經(jīng)》。
昔者周公問(wèn)于商高曰：“竊聞乎大夫善數(shù)也，請(qǐng)問(wèn)昔者包犧立周天歷度——夫天可不階而升，地不可得尺寸而度，請(qǐng)問(wèn)數(shù)安從出？”
商高曰：“數(shù)之法出于圓方，圓出于方，方出于矩，矩出于九九八十一。故折矩，以為勾廣三，股修四，徑隅五。既方之，外半其一矩，環(huán)而共盤，得成三四五。兩矩共長(zhǎng)二十有五，是謂積矩。故禹之所以治天下者，此數(shù)之所生也?！?/p>
短短的小故事給出了商高定理，也就是勾股定理的證明：將長(zhǎng)為4，寬為3的矩形折疊剪下，將其中一個(gè)直角三角形環(huán)繞拼接成以對(duì)角線長(zhǎng)度為邊的正方形，面積就是矩形對(duì)角線的平方，同時(shí)也可以用原矩形長(zhǎng)寬表示：
所以
a2+b2=c2
數(shù)字是從人的實(shí)踐中發(fā)展起來(lái)的。
我相信第一個(gè)提出數(shù)字的人肯定想不到，本來(lái)應(yīng)當(dāng)是具體統(tǒng)計(jì)數(shù)量的工具背后卻衍生出了許多晦澀難懂的抽象問(wèn)題。
數(shù)論的魅力或許就在于此，人人都可以發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，提出觀點(diǎn)，而每一個(gè)觀點(diǎn)都有著值得深入思考的問(wèn)題，而這些問(wèn)題使得這門科目充滿了活力。
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