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1

例1：

如圖， AM⊥EF，BN⊥EF，垂足為M、N，MN＝12m，AM＝5m，BN＝4m， P是EF上任意一點(diǎn)，則PA＋PB的最小值是______m．

分析：

這是最基本的將軍飲馬問(wèn)題，A，B是定點(diǎn)，P是動(dòng)點(diǎn)，屬于兩定一動(dòng)將軍飲馬型，根據(jù)常見(jiàn)的“定點(diǎn)定線作對(duì)稱”，可作點(diǎn)A關(guān)于EF的對(duì)稱點(diǎn)A’，根據(jù)兩點(diǎn)之間，線段最短，連接A’B，此時(shí)A’P＋PB即為A’B，最短．而要求A’B，則需要構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理解決．

解答：

作點(diǎn)A關(guān)于EF的對(duì)稱點(diǎn)A’，過(guò)點(diǎn)A’作A’C⊥BN的延長(zhǎng)線于C．易知A’M＝AM＝NC＝5m，BC＝9m，A’C＝MN＝12m，在Rt△A’BC中，A’B＝15m，即PA＋PB的最小值是15m．

變式：

如圖，在邊長(zhǎng)為2的正三角形ABC中，E，F(xiàn)，G為各邊中點(diǎn)，P為線段EF上一動(dòng)點(diǎn)，則△BPG周長(zhǎng)的最小值為_(kāi)________．

分析：

考慮到BG為定值是1，則△BPG的周長(zhǎng)最小轉(zhuǎn)化為求BP＋PG的最小值，又是兩定一動(dòng)的將軍飲馬型，考慮作點(diǎn)G關(guān)于EF的對(duì)稱點(diǎn)，這里有些同學(xué)可能看不出來(lái)到底是哪個(gè)點(diǎn)，我們不妨連接AG，則AG⊥BC，再連接EG，根據(jù)“直角三角形斜邊中線等于斜邊的一半”，可得AE＝EG，則點(diǎn)A就是點(diǎn)G關(guān)于EF的對(duì)稱點(diǎn)．最后計(jì)算周長(zhǎng)時(shí)，別忘了加上BG的長(zhǎng)度．

解答：

連接AG，易知PG＝PA，BP＋PG＝BP＋PA，當(dāng)B，P，A三點(diǎn)共線時(shí)，BP＋PG＝BA，此時(shí)最短，BA＝2，BG＝1，即△BPG周長(zhǎng)最短為3.

2

例2：

如圖，在△ABC中，AB＝AC＝5，D為BC中點(diǎn)，AD＝4，P為AD上任意一點(diǎn)，E為AC上任意一點(diǎn)，求PC＋PE的最小值．

分析：

這里的點(diǎn)C是定點(diǎn)，P，E是動(dòng)點(diǎn)，屬于一定兩動(dòng)的將軍飲馬模型，由于△ABC是等腰三角形，AD是BC中線，則AD垂直平分BC，點(diǎn)C關(guān)于AD的對(duì)稱點(diǎn)是點(diǎn)B，PC＋PE＝PB＋PE，顯然當(dāng)B，P，E三點(diǎn)共線時(shí)，BE更短．但此時(shí)還不是最短，根據(jù)“垂線段最短” 只有當(dāng)BE⊥AC時(shí)，BE最短．求BE時(shí)，用面積法即可．

解答：

作BE⊥AC交于點(diǎn)E，交AD于點(diǎn)P，易知AD⊥BC，BD＝3，BC＝6，

則AD·BC＝BE·AC，

4×6＝BE·5，BE＝4.8

變式：

如圖，BD平分∠ABC，E，F(xiàn)分別為線段BC，BD上的動(dòng)點(diǎn)，AB＝8，△ABC的面積為20，求EF＋CF的最小值________．

分析：

這里的點(diǎn)C是定點(diǎn)，F(xiàn)，E是動(dòng)點(diǎn)，屬于一定兩動(dòng)的將軍飲馬模型，我們習(xí)慣于“定點(diǎn)定線作對(duì)稱”，但這題這樣做，會(huì)出現(xiàn)問(wèn)題．因?yàn)辄c(diǎn)C的對(duì)稱點(diǎn)C’必然在AB上，但由于BC長(zhǎng)度未知，BC’長(zhǎng)度也未知，則C’相對(duì)的也是不確定點(diǎn)，因此我們這里可以嘗試作動(dòng)點(diǎn)E關(guān)于BD的對(duì)稱點(diǎn)．

解答：

如圖，作點(diǎn)E關(guān)于BD的對(duì)稱點(diǎn)E’，連接E’F，則EF＋CF＝E’F＋CF，當(dāng)E’，F(xiàn)，C三點(diǎn)共線時(shí)，E’F＋CF＝E’C，此時(shí)較短．過(guò)點(diǎn)C作CE’’⊥AB于E’’，當(dāng)點(diǎn)E’ 與點(diǎn)E’’重合時(shí)，E’’C最短，E’’C為AB邊上的高，E’’C＝5.

3

例3：

如圖，∠AOB＝30°，OC＝5，OD＝12，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是射線OA，OB上的動(dòng)點(diǎn)，求CF＋EF＋DE的最小值.

分析：

這里的點(diǎn)C，點(diǎn)D是定點(diǎn)，F(xiàn)，E是動(dòng)點(diǎn)，屬于兩定兩動(dòng)的將軍飲馬模型，依舊可以用“定點(diǎn)定線作對(duì)稱”來(lái)考慮．作點(diǎn)C關(guān)于OB的對(duì)稱點(diǎn)，點(diǎn)D關(guān)于OA的對(duì)稱點(diǎn)．

解答：

作點(diǎn)C關(guān)于OB的對(duì)稱點(diǎn)C’，點(diǎn)D關(guān)于OA的對(duì)稱點(diǎn)D’，連接C’D’． CF＋EF＋DE＝ C’F＋ EF＋ D’E，當(dāng)C’，F(xiàn)， E，D’四點(diǎn)共線時(shí)，CF＋EF＋DE＝ C’D’最短．易知∠D’OC’＝90°，OD’＝12，OC’＝5，C’D’＝13，CF＋EF＋DE最小值為13．

變式：

（原創(chuàng)題）如圖，斯諾克比賽桌面AB寬1.78m，白球E距AD邊0.22m，距CD邊1.4m，有一顆紅球F緊貼BC邊，且距離CD邊0.1m，若要使白球E經(jīng)過(guò)邊AD，DC，兩次反彈擊中紅球F，求白球E運(yùn)動(dòng)路線的總長(zhǎng)度．

分析：

本題中，點(diǎn)E和點(diǎn)F是定點(diǎn)，兩次反彈的點(diǎn)雖然未知，但我們可以根據(jù)前幾題的經(jīng)驗(yàn)作出，即分別作點(diǎn)E關(guān)于AD邊的對(duì)稱點(diǎn)E’，作點(diǎn)F關(guān)于CD邊的對(duì)稱點(diǎn)F’，即可畫出白球E的運(yùn)動(dòng)路線，化歸為兩定兩動(dòng)將軍飲馬型．

解答：

作點(diǎn)E關(guān)于AD邊的對(duì)稱點(diǎn)E’，作點(diǎn)F關(guān)于CD邊的對(duì)稱點(diǎn)F’，連接E’F’，交AD于點(diǎn)G，交CD于點(diǎn)H，則運(yùn)動(dòng)路線長(zhǎng)為EG＋GH＋HF長(zhǎng)度之和，即E’F’長(zhǎng)，延長(zhǎng)E’E交BC于N，交AD于M，易知E’M＝EM＝0.22m，E’N＝1.78＋0.22＝2m，NF’＝NC＋CF’＝1.4＋0.1＝1.5m，則Rt△E’NF’中，E’F’＝2.5m，即白球運(yùn)動(dòng)路線的總長(zhǎng)度為2.5m．

小結(jié)：

以上求線段和最值問(wèn)題，幾乎都可以歸結(jié)為“兩定一動(dòng)”“一定兩動(dòng)”“兩定兩動(dòng)”類的將軍飲馬型問(wèn)題，基本方法還是“定點(diǎn)定線作對(duì)稱”，利用“兩點(diǎn)之間線段最短”“垂線段最短”的2條重要性質(zhì)，將線段和轉(zhuǎn)化為直角三角形的斜邊，或者一邊上的高，借助勾股定理，或者面積法來(lái)求解．

當(dāng)然，有時(shí)候，我們也需學(xué)會(huì)靈活變通，定點(diǎn)對(duì)稱行不通時(shí)，嘗試作動(dòng)點(diǎn)對(duì)稱．

例1:

P為∠AOB內(nèi)一定點(diǎn)，M，N分別為射線OA，OB上一點(diǎn)，當(dāng)△PMN周長(zhǎng)最小時(shí)，∠MPN＝80°．

（1）∠AOB＝_____°

（2）求證：OP平分∠MPN

分析：

這又是一定兩動(dòng)型將軍飲馬問(wèn)題，我們應(yīng)該先將M，N的位置找到，再來(lái)思考∠AOB的度數(shù)，顯然作點(diǎn)P關(guān)于OA的對(duì)稱點(diǎn)P’，關(guān)于OB的對(duì)稱點(diǎn)P’’，連接P’P’’，其與OA交點(diǎn)即為M，OB交點(diǎn)即為N，如下圖，易知∠DPC與∠AOB互補(bǔ)，則求出∠DPC的度數(shù)即可．

解答：

（1）法1：

如圖，∠1＋∠2＝100°，∠1＝∠P’＋∠3＝2∠3，∠2＝∠P’’＋∠4＝2∠4，則∠3＋∠4＝50°，∠DPC＝130°，∠AOB＝50°．

再分析：

考慮到第二小問(wèn)要證明OP平分∠MPN，我們就連接OP，則要證∠5＝∠6，顯然很困難，這時(shí)候，考慮到對(duì)稱性，我們?cè)龠B接OP’，OP’’，則∠5＝∠7，∠6＝∠8，問(wèn)題迎刃而解．

解答：

（1）法2：

易知OP’＝OP’’，∠7＋∠8＝∠5＋∠6＝80°，∠P’OP’’＝100°，由對(duì)稱性知，∠9＝∠11，∠10＝∠12，∠AOB＝∠9＋∠10＝50°

（2）

由OP’＝OP’’，∠P’OP’’＝100°知，∠7＝∠8＝40°，∠5＝∠6＝40°，OP平分∠MPN．

變式：

如圖，在五邊形ABCDE中，∠BAE＝136°，∠B＝∠E＝90°，在BC、DE上分別找一點(diǎn)M、N，使得△AMN的周長(zhǎng)最小時(shí)，則∠AMN＋∠ANM的度數(shù)為_(kāi)_______．

分析：

這又是典型的一定兩動(dòng)型將軍飲馬問(wèn)題，必然是作A點(diǎn)關(guān)于BC、DE的對(duì)稱點(diǎn)A′、A″，連接A′A″，與BC、DE的交點(diǎn)即為△AMN周長(zhǎng)最小時(shí)M、N的位置．

解答：

    如圖，

 ∵∠BAE＝136°，

 ∴∠MA′A＋∠NA″A＝44°

    由對(duì)稱性知，

    ∠MAA′＝∠MA′A，

    ∠NAA″＝∠NA″A，

   ∠AMN＋∠ANM

 ＝2∠MA′A＋2∠NA″A＝88°

本講思考題：

1.（2017·安順）如圖所示，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為6，△ABE是等邊三角形，點(diǎn)E在正方形ABCD內(nèi)，在對(duì)角線AC上有一點(diǎn)P，使PD+PE的和最小，則這個(gè)最小值為_(kāi)______．

本講思考題：

2.（2017·安徽改編）如圖，在矩形ABCD中，AB=4，AD=3．P為矩形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，若矩形ABCD面積為△PAB面積的4倍，則點(diǎn)P到A，B兩點(diǎn)距離之和PA+PB的最小值為_(kāi)_______．