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高中數(shù)學(xué)：空間幾何體的表面積和體積

昵稱47813312 >《高中數(shù)學(xué)》

2020.07.17

關(guān)注

一、空間幾何體的表面積

問題1：有一只螞蟻從圓柱的下底面圓周上一點(diǎn)A出發(fā)，沿著圓柱側(cè)面爬行一周，到達(dá)上底面圓周上一點(diǎn)B（線段AB是圓柱的一條母線），問螞蟻爬行的最短路線是多長？

平面展開圖：沿著多面體的某些棱將它們展開成平面圖形，這個平面圖形叫做該幾何體的平面展開圖。

（一）棱柱、棱錐、棱臺的側(cè)面積

1、直棱柱：側(cè)棱和底面垂直的棱柱叫做直棱柱。其側(cè)面展開圖是一個矩形。

正棱柱：底面為正多邊形的直棱柱叫做正棱柱。

◆S_{直棱柱側(cè)}＝ch其中c為棱柱的底面周長，h直棱柱的高。

2、正棱錐

定義：如果一個棱錐的底面是正多邊形，并且頂點(diǎn)在底面的正投影是底面中心，這樣的棱錐叫做正棱錐。

性質(zhì)：

（1）正棱錐的側(cè)棱長相等。

（2）側(cè)棱和底面所成的角相等。

棱錐的側(cè)面展開圖是由各個側(cè)面組成的。

◆S_{正棱錐側(cè)}＝ch′（其中c為棱錐底面周長，h’為側(cè)面等腰三角形底邊上的高——斜高）

3、正棱臺

定義：正棱錐被平行于底面的平面所截，截面與底面之間的部分叫做正棱臺。

側(cè)面展開圖是由各個側(cè)面組成的。

S_{正棱臺側(cè)}＝　（c ＋ c’）h’

（其中c，c’為棱臺上下底面的周長，h’為各個等腰梯形的高，即棱臺的斜高）。

（二）、圓柱、圓錐、圓臺的側(cè)面積

把圓柱、圓錐、圓臺的側(cè)面沿著它們的一條母線剪開后展在平面上，展開圖的面積就是它們的側(cè)面積。

1、圓柱的側(cè)面積

◆如果圓柱底面半徑是r，周長是c，側(cè)面母線長是l，那么它的側(cè)面積是

2、圓錐的側(cè)面積

◆如果圓錐底面半徑是r，周長是c，側(cè)面母線長是l，那么它的側(cè)面積是

3、圓臺的側(cè)面積

◆如果圓臺的上、下面半徑是周長分別是側(cè)面母線長是，那么它的側(cè)面積是

二、柱錐臺的體積公式

長方體的體積公式是什么？如：某長方體的長寬高分別是7cm,5cm，4cm，其體積為多少，即為多少個正方體？

1、祖暅原理

兩等高的幾何體若在所有等高處的水平截面的面積相等，則這兩個幾何體的體積相等。

2、柱體的體積公式

3、錐體的體積公式

4、臺體的體積計(jì)算公式

◆柱體，錐體，臺體之間的關(guān)系：

5、球體的體積公式與表面積公式

（1）利用祖暅原理可得

（2）利用極限的思想推導(dǎo)出球的表面積公式：S_球面＝4πR²

典型例題

例1. 有一根長為5 cm，底面半徑為1 cm的圓柱形鐵管，用一段鐵絲在鐵管上纏繞4圈，并使鐵絲的兩個端點(diǎn)落在圓柱的同一母線的兩端，則鐵絲的最短長度為多少厘米？（精確到0.1 cm）

解：由題意知：BC＝5 cm，AB＝8，點(diǎn)A與點(diǎn)C就是鐵絲的起止位置，故線段AC的長度即為鐵絲的最短長度。AC＝

例2. 如圖是一個獎杯的三視圖，（單位：cm）試計(jì)算這個獎杯的體積（精確到0.01cm³）。

解：V_正四棱臺＝

V_長方體＝6＝864

V_球＝

V＝ V_正四棱臺＋ V_長方體＋ V_球

例3. 一個圓柱形的鍋爐，底面直徑d＝1m，高h＝2.3m。求鍋爐的表面積（保留2個有效數(shù)字）。

解：底面半徑r＝ S_{側(cè)面積}＝ cl＝2＝＝2.3

S_表面積＝ S_{側(cè)面積}＋ S_底面積＝2.3 ＋ 8.7

例4. 一個正三棱臺的上下底面邊長分別為3cm和6cm，高是cm，求三棱臺的側(cè)面積。

解：如圖。連接AO并延長交BC于D，連結(jié)，并延長交，過作EAD于E

DE＝DO－＝，＝

S_正三棱臺

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