第十一部分：三角函數(shù)的值域計算
【
和
在
時值域】
【
值域】
?
；
?
；
【
值域】
?
；
?
。
【
和
在
時值域】
【
值域】
第一步：假設(shè)：
；根據(jù)
的取值范圍計算
的取值范圍。
第二步：
；
第三步：畫出函數(shù)
的圖像；
第四步：根據(jù)圖像得到：
的取值范圍；
第五步：根據(jù)
的取值范圍計算
的取值范圍。
【
值域】
第一步：假設(shè)：
；根據(jù)
的取值范圍計算
的取值范圍。
第二步：
；
第三步：畫出函數(shù)
的圖像；
第四步：根據(jù)圖像得到：
的取值范圍；
第五步：根據(jù)
的取值范圍計算
的取值范圍。
【三角函數(shù)值域的相關(guān)例題】
【例題一】：【2017年高考文科數(shù)學(xué)北京卷】已知函數(shù)
。
（Ⅰ）
的最小正周期；
（Ⅱ）求證：當(dāng)
時，
。
【本題解析】：（Ⅰ）根據(jù)余弦函數(shù)的兩角差定義得到：
；
根據(jù)三角函數(shù)的半角公式得到：
；
根據(jù)三角函數(shù)的輔助角公式得到：
。
所以：函數(shù)
的最小正周期：
。
（Ⅱ）設(shè)：
，
；
；
如下圖所示：
所以：
。
【例題二】：【2017年高考理科數(shù)學(xué)新課標(biāo)Ⅱ卷】函數(shù)
的最大值是
。
【本題解析】：根據(jù)三角函數(shù)的同角之間基本關(guān)系得到：
；
；
假設(shè)：
，
；
；
對稱軸：
；
。
【本題答案】：
【例題三】：【2017年高考理科數(shù)學(xué)山東卷】設(shè)函數(shù)
，其中
。已知
。
（Ⅰ）求
；
（Ⅱ）將函數(shù)
的圖像上各點的橫坐標(biāo)伸長為原來的
倍（縱坐標(biāo)不變），再將得到的圖像向左平移
個單位，得到函數(shù)
的圖像，求
在
上的最小值。
【本題解析】：（Ⅰ）根據(jù)正弦函數(shù)的兩角差公式得到：
；
根據(jù)三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式得到：
；
。
根據(jù)三角函數(shù)的輔助角公式得到：
。
，
。
（Ⅱ）
；
的圖像上各點的橫坐標(biāo)伸長為原來的
倍（縱坐標(biāo)不變）得到：
；
的圖像向左平移
個單位得到：
。
設(shè)：
；
如下圖所示：
所以：當(dāng)
。
【本題答案】：（Ⅰ）
；（Ⅱ）
【例題四】：【2017年高考文科數(shù)學(xué)新課標(biāo)Ⅱ卷】函數(shù)
的最大值為
。
【本題解析】：根據(jù)三角函數(shù)的輔助角公式得到：
；
假設(shè)：
，
。
【本題答案】：
【例題五】：【2017年高考文科數(shù)學(xué)新課標(biāo)Ⅲ卷】函數(shù)
的最大值為（ ）
A、
B、
C、
D、
【本題解析】：根據(jù)正弦定理的兩角和公式得到：
；
根據(jù)余弦函數(shù)的兩角差公式得到：
；
；
根據(jù)三角函數(shù)的輔助角公式得到：
。
【本題答案】：
【例題六】：【2016年高考文科數(shù)學(xué)上海卷第5題】若函數(shù)
的最大值為5，則常數(shù)
。
【本題解析】：根據(jù)三角函數(shù)的輔助角公式得到：
；
假設(shè)：
，
；
。
【本題答案】：
【三角函數(shù)值域的跟蹤訓(xùn)練】
【跟蹤訓(xùn)練一】：【2016年高考文科數(shù)學(xué)新課標(biāo)Ⅱ卷第11題】函數(shù)
的最大值為
（ ）
A、
B、
C、
D、
【本題解析】：
【跟蹤訓(xùn)練二】：【2015年高考理科數(shù)學(xué)天津卷】已知函數(shù)
，
。
（Ⅱ）求
在區(qū)間
上的最大值和最小值。
【本題解析】：
【跟蹤訓(xùn)練三】：【2015年高考理科數(shù)學(xué)陜西卷】如圖，某港口一天6時到18時的水深度變化曲線近似滿足函數(shù)
，據(jù)此函數(shù)可知，這段時間水深（單位：米）的最大值為（ ）
A、5 B、6 C、8 D、10
【本題解析】：
【跟蹤訓(xùn)練四】：【2015年高考文科數(shù)學(xué)安徽卷】已知函數(shù)
。
（Ⅱ）求
在區(qū)間
上的最大值和最小值。
【本題解析】：
【跟蹤訓(xùn)練五】：【2015年高考理科數(shù)學(xué)北京卷】已知函數(shù)
。
（Ⅱ）求
在區(qū)間
上的最小值。
【本題解析】：
【跟蹤訓(xùn)練六】：【2015年高考文科數(shù)學(xué)北京卷】已知函數(shù)
。
（Ⅱ）求
在區(qū)間
上的最小值。
【本題解析】：
【跟蹤訓(xùn)練的參考答案】
【跟蹤訓(xùn)練一】：【2016年高考文科數(shù)學(xué)新課標(biāo)Ⅱ卷第11題】函數(shù)
的最大值為
（ ）
A、
B、
C、
D、
【本題解析】：根據(jù)三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式得到：
；
根據(jù)三角函數(shù)的二倍角公式得到：
；
；
假設(shè)：
，
；
；
二次函數(shù)的對稱軸：
，
單調(diào)遞增
，
。
【本題答案】：
【跟蹤訓(xùn)練二】：【2015年高考理科數(shù)學(xué)天津卷】已知函數(shù)
，
。
（Ⅱ）求
在區(qū)間
上的最大值和最小值。
【本題解析】：
。
假設(shè)：
，
，
；
如下圖所示：
所以：當(dāng)
時：
；
；
。
【本題答案】：
；
【跟蹤訓(xùn)練三】：【2015年高考理科數(shù)學(xué)陜西卷】如圖，某港口一天6時到18時的水深度變化曲線近似滿足函數(shù)
，據(jù)此函數(shù)可知，這段時間水深（單位：米）的最大值為（ ）
A、5 B、6 C、8 D、10
【本題解析】：
。
【本題答案】：
【跟蹤訓(xùn)練四】：【2015年高考文科數(shù)學(xué)安徽卷】已知函數(shù)
。
（Ⅱ）求
在區(qū)間
上的最大值和最小值。
【本題解析】：
。
假設(shè)：
，
，
；
如下圖所示：
所以：當(dāng)
時：
所以：
；
【本題答案】：
；
【跟蹤訓(xùn)練五】：【2015年高考理科數(shù)學(xué)北京卷】已知函數(shù)
。
（Ⅱ）求
在區(qū)間
上的最小值。
【本題解析】：（Ⅱ）
。
假設(shè)：
，
；
；
如下圖所示：
所以：當(dāng)
時：
【本題答案】：
【跟蹤訓(xùn)練六】：【2015年高考文科數(shù)學(xué)北京卷】已知函數(shù)
。
（Ⅱ）求
在區(qū)間
上的最小值。
【本題解析】：（Ⅱ）
。
假設(shè)：
，
，
；
如下圖所示：
所以：當(dāng)
時：
。
【本題答案】：
