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模糊集合原理

       在計(jì)算機(jī)編程的時(shí)候，常常會(huì)使用一種“干脆的”集合。在判斷某件事，或者某個(gè)變量的時(shí)候，常常使用的是布爾值（因?yàn)槟臣?，不是真就是假）。通過(guò)一個(gè)閾值，去判斷這件事，而這樣的一個(gè)閾值的設(shè)定，會(huì)產(chǎn)生一個(gè)問(wèn)題。還是使用《Digital Image Processing》 Rafael C. Gonzalez / Richard E. Woods書中的例子，看以下兩個(gè)圖。

       當(dāng)一個(gè)人的年齡超過(guò)20歲，那么這個(gè)人就不再屬于年輕人范疇。這樣來(lái)說(shuō)，未免有些太過(guò)“殘忍”，畢竟，20多歲的人還是“比較”年輕的。這里就出現(xiàn)了一個(gè)模糊的定義，“比較”年輕，這個(gè)集合既不屬于年輕，也不屬于非年輕，也就是其實(shí)年輕與非年輕之間的過(guò)度不應(yīng)該是干脆的，而應(yīng)該是漸進(jìn)的過(guò)度。

       定義Z為對(duì)象集，其中，z表示Z中的一類元素（比如z表示年齡）。Z中的一個(gè)模糊集合A主要由一個(gè)隸屬度(Degree of membership)

當(dāng)

       下面，還有幾個(gè)重要的性質(zhì)。

       對(duì)于所有的

       對(duì)于所有的

       對(duì)于所有的

       到這里，其實(shí)已經(jīng)可以用模糊集合來(lái)做一些事情了。對(duì)于一個(gè)問(wèn)題的處理，在使用模糊集合來(lái)解決的時(shí)候，我們可以參考以下步驟。首先，需要將輸入量折算為隸屬度，這個(gè)過(guò)程叫做“模糊化”。然后，使用得到的隸屬度來(lái)進(jìn)行計(jì)算，或者判斷，或者其他更復(fù)雜的算法。最后，需要將隸屬度再次折算為輸出，這個(gè)過(guò)程稱為“去模糊”或者“反模糊”。

       通過(guò)下面兩個(gè)例子，來(lái)具體體會(huì)一下模糊算法在圖像處理上的運(yùn)用。

使用模糊集合進(jìn)行灰度變換

       使用模糊集合來(lái)進(jìn)行灰度變換，從而增強(qiáng)圖像。首先可以在常理下考慮一下，一般的對(duì)于動(dòng)態(tài)范圍較小的圖像，我們一般的處理的方法是灰度拉升，或者直方圖均衡。這兩種的方法的本質(zhì)就是，讓原圖較暗的像素更加暗，讓原圖較亮的像素更加亮。那么，我們規(guī)定如下模糊規(guī)則

R1：IF 一個(gè)像素是暗的，THEN 讓這個(gè)像素更暗；

R2：IF 一個(gè)像素是灰的，THEN 讓他保持是灰的；

R3：IF 一個(gè)像素是亮的，THEN 讓這個(gè)像素更亮；

       這個(gè)規(guī)則就代表了我們的處理方法。當(dāng)然，IF條件中的像素是暗的(或者灰的，或者是亮的)，這個(gè)概念都是模糊的。同理THEN結(jié)論中的更暗(或者保持灰的，或者更亮)亦是模糊的。為此，我們需要確立一個(gè)隸屬度函數(shù)，從而來(lái)判斷一個(gè)像素對(duì)于三個(gè)條件的隸屬度。

       實(shí)際上，隸屬度函數(shù)的確定是很復(fù)雜的，然而，這里我們則盡量想得簡(jiǎn)單一點(diǎn)。首先，一個(gè)像素是暗的(模糊)，那么其隸屬度函數(shù)大致的形狀是，在低于某個(gè)值

        為了簡(jiǎn)單起見，我們將THEN結(jié)論中的更暗設(shè)置為較為簡(jiǎn)單的函數(shù)。為了讓這個(gè)像素更黑，其輸出都為0。同理，為了使這個(gè)像素保持灰的，我們將其輸出設(shè)為0.5，為了使得一個(gè)像素更亮，我們將其設(shè)置為1。

        根據(jù)以上討論，我們所決定的隸屬度函數(shù)如下所示。

       使用輸入的隸屬度函數(shù)，可以得到模糊化后的數(shù)據(jù)。對(duì)于一個(gè)像素

       模糊化之后，得到一個(gè)像素所對(duì)應(yīng)的三個(gè)隸屬度

      到此，就得到了輸出

       根據(jù)以上算法，所得到的結(jié)果還是比較理想的。從灰度直方圖來(lái)看，處理后的圖像的直方圖的動(dòng)態(tài)范圍得到了擴(kuò)展，所得的圖像也比原圖更加的明亮清晰，圖片的一些細(xì)節(jié)處理的較為妥當(dāng)。所使用的Matlab代碼如下所示。

  1  2  3  4  5  6  7  8  9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19

function [drak,gray,brig] = Fuzzy_Knowledge(Intensity)

  if(Intensity <= 0.27) drak = double(1); 
  elseif(Intensity >= 0.5) drak = double(0);
  else drak = (0.5 - double(Intensity))/(0.22);
  end    
  if(Intensity >= 0.72) brig = double(1); 
  elseif(Intensity <= 0.5) brig = double(0);   
  else brig = double((double(Intensity) - 0.5)/0.22);
  end
  if(Intensity >= 0.72) gray = double(0); 
  elseif(Intensity <= 0.27) gray = double(0);
  elseif(Intensity <= 0.5) gray = double((double(Intensity) - 0.27)/0.22);
  else gray = double((0.72 - double(Intensity))/0.22);
  end
end

  1  2  3  4  5  6  7  8  9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64

close all;
clear all;
clc;

%% ---------Using Fuzzy for intensity transfromations---------------
f = imread('einstein_orig.tif');
f = mat2gray(f,[0 255]);

[M,N]=size(f);
g = zeros (M,N);

 for x = 1:1:M
     for y = 1:1:N
         [drak,gray,brig] = Fuzzy_Knowledge(f(x,y));
         g(x,y) = ((drak * 0) + (gray * 0.5) + (brig * 1))/(drak + gray + brig); 
     end
 end
figure();
subplot(1,2,1);
imshow(f,[0 1]);
xlabel('a).Original Image');

subplot(1,2,2);
imshow(g,[0 1]);
xlabel('b).Result of fuzzy');

figure();
subplot(1,2,1);
h = imhist(f)/(M*N);
bar(0:1/255:1,h);
axis([0 1 0 .2]),grid;
xlabel('c).The Histogram of a');

subplot(1,2,2);
h = imhist(g)/(M*N);
bar(0:1/255:1,h);
axis([0 1 0 .2]),grid;
xlabel('d).The Histogram of b');

%%
test = 0:1/255:1;
 for x = 1:1:256
         [drak(x),gray(x),brig(x)] = Fuzzy_Knowledge(test(x));
 end

figure();
subplot(1,2,1);
plot(test,drak,test,gray,test,brig); 
axis([0,1,0,1]),grid;
axis square;
legend('drak','gray','brig');
xlabel('a).Input memberchip functions for fuzzy');


subplot(1,2,2);
x1 = [0,0];y1 = [0,1];
x2 = [0.5,0.5];y2 = [0,1];
x3 = [1,1];y3 = [0,1];
plot(x1,y1,x2,y2,x3,y3); 
axis([-0.1,1.1,0,1.2]),grid;
axis square;
legend('drak','gray','brig');
xlabel('b).Output memberchip functions for fuzzy');

使用模糊集合進(jìn)行邊緣檢測(cè)

       為了更深刻的理解模糊集合的性質(zhì)，可以將規(guī)則的難度加深一些。若想進(jìn)行一幅圖像的邊緣檢測(cè)，在空間域上的想法是：“如果一個(gè)像素是處在平滑區(qū)域的，那么使得這個(gè)像素為亮，否則，則使得這個(gè)像素為暗。”為了使得這個(gè)算法在模糊集合的概念可以用，我們可以考慮使用灰度差來(lái)表示像素的平滑程度。

       如上圖所示，我們將一個(gè)像素8個(gè)相鄰的像素，各減去這個(gè)像素的值，即

        注意，上述的zero，white與black都是模糊的概念。同樣的，根據(jù)這三個(gè)規(guī)則模糊化之后，用重心法去模糊。同時(shí)，我們還希望，當(dāng)兩個(gè)點(diǎn)的灰度很接近的時(shí)候，去模糊能給予一個(gè)很強(qiáng)的響應(yīng)，將灰度拉至很高(很亮)。所以，我們的輸入隸屬度函數(shù)需要再0處有一個(gè)較大的隸屬度，這里，我使用了高斯分布的一部分。其輸出隸屬度函數(shù)，也不是像上面的例子一樣簡(jiǎn)單，我希望若是白色的隸屬度很高，其輸出的灰度值就越高(越亮)，反之則越低(越暗)。根據(jù)上述，我指定的輸入輸出隸屬度函數(shù)如下所示。

        以上規(guī)則還出現(xiàn)了幾個(gè)比較需要注意的地方。我們制定規(guī)則的時(shí)候，使用了AND，將兩個(gè)條件相連了。這里在模糊集合里面，就相當(dāng)于兩個(gè)模糊集合的交集。首先，應(yīng)該依次算出兩個(gè)條件所對(duì)應(yīng)的隸屬度的值，然后，取最小值即可，如下所示。

其次，這里還出現(xiàn)了ELSE語(yǔ)句，這里，可以視為以上四個(gè)條件的補(bǔ)集的交集(有點(diǎn)拗口)。其實(shí)看數(shù)學(xué)式的話，應(yīng)該很好明白的。

        到這里，我們就可以順利的算出上述五個(gè)條件的隸屬度，然后同樣的，使用最簡(jiǎn)單的重心法，就可以得到結(jié)果了。結(jié)果如下所示。

        從結(jié)果可以看出來(lái)，根據(jù)整定的規(guī)則，我們已經(jīng)很好的得到了圖像的邊緣。在這幅圖像上再次進(jìn)行加工，二值化什么的，就比較容易了。所得到的結(jié)果圖像還是比較清晰的。以下是Matlab代碼。

  1  2  3  4  5  6  7  8  9 10 11 12 13 14 15 16 17 18

function [W1,W2,W3,W4,B] = Fuzzy_Knowledge_Filters(Intensity)

for x = 1:1:3
   for y = 1:1:3
       if((Intensity(x,y) <= 0.2) &&(Intensity(x,y) >= -0.2))
           Intensity(x,y) = exp(-20*Intensity(x,y).*Intensity(x,y));
       else Intensity(x,y) = 0;
       end
   end
end

W1 = min(Intensity(1,2),Intensity(2,3));
W2 = min(Intensity(2,3),Intensity(3,2));
W3 = min(Intensity(3,2),Intensity(2,1));
W4 = min(Intensity(2,1),Intensity(1,2));
B = min(min(1-W1,1-W2),min(1-W3,1-W4));
end

  1  2  3  4  5  6  7  8  9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77

%% ---------Using Fuzzy for Spatial Filters---------------
close all;
clear all;
clc;

f = imread('headCT_Vandy.tif');
f = mat2gray(f,[0 255]);

[M,N]=size(f);
f_Ex = zeros(M+2,N+2);

for x = 1:1:M
    for y = 1:1:N
        f_Ex(x+1,y+1) = f(x,y);
    end
end

z = zeros (3,3);
g = zeros (M+2,N+2);
for x = 2:1:M+1
    for y = 2:1:N+1
        z(1,1) = f_Ex(x-1,y-1) - f_Ex(x,y);
        z(1,2) = f_Ex(x-1,y) - f_Ex(x,y);
        z(1,3) = f_Ex(x-1,y+1) - f_Ex(x,y);
        z(2,1) = f_Ex(x,y-1) - f_Ex(x,y);
        z(2,2) = f_Ex(x,y) - f_Ex(x,y);
        z(2,3) = f_Ex(x,y+1) - f_Ex(x,y);
        z(3,1) = f_Ex(x+1,y-1) - f_Ex(x,y);
        z(3,2) = f_Ex(x+1,y) - f_Ex(x,y);
        z(3,3) = f_Ex(x+1,y+1) - f_Ex(x,y);
        [W1,W2,W3,W4,B] = Fuzzy_Knowledge_Filters(z);
        V1 = 0.8 * W1 + 0.2;
        V2 = 0.8 * W2 + 0.2;
        V3 = 0.8 * W3 + 0.2;
        V4 = 0.8 * W4 + 0.2;
        V5 = 0.8 - (0.8 * B);
        g(x,y) = ((W1*V1) + (W2*V2) + (W3*V3) + (W4*V4) + (B*V5))/(W1+W2+W3+W4+B); 
    end
end

figure();
subplot(1,2,1);
imshow(f,[0 1]);
xlabel('a).Original Image');

subplot(1,2,2);
imshow(g,[0 1]);
xlabel('b).Result of fuzzy');


%%
figure();
subplot(1,2,1);
x=-0.2:1/255:0.2;
y=1/sqrt(2*pi)*exp(-20*x.*x);
y = y/max(y);
x = -1:1/255:1;
y = [zeros(1,204) y zeros(1,204)];
plot(x,y); 
axis([-1,1,0,1]),grid;
axis square;
xlabel('a).Input memberchip functions for fuzzy');

subplot(1,2,2);
x1 = [0,0.2,1];y1 = [0,0,1];
x2 = [0,0.8,1];y2 = [1,0,0];
plot(x1,y1,x2,y2); 
axis([0,1,0,1]),grid;
axis square;
legend('WH','BL');
xlabel('b).Output memberchip functions for fuzzy');

（作者注：其實(shí)模糊算法是很復(fù)雜的一門學(xué)科，《Digital Image Processing》 Rafael C. Gonzalez / Richard E. Woods這本書上講的還是太過(guò)簡(jiǎn)單了，僅僅也只是算皮毛而已，對(duì)于模糊算法還沒(méi)有一個(gè)清晰的認(rèn)識(shí)。殘留下來(lái)了幾個(gè)問(wèn)題：①隸屬度函數(shù)的制定有什么樣的原則？②我們?cè)偈褂媚：惴ㄖ埃Ｍ玫揭粋€(gè)什么樣的結(jié)果，而實(shí)際得到的結(jié)果又怎么樣去評(píng)估這個(gè)算法的好壞呢？③其他的反模糊算法與重心法的區(qū)別是什么？這些問(wèn)題還有待深入的研究）

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