二十一章 一元二次方程
第1課時(shí) 21．1 一元二次方程
教學(xué)內(nèi)容
一元二次方程概念及一元二次方程一般式及有關(guān)概念．
教學(xué)目標(biāo)
了解一元二次方程的概念；一般式ax2+bx+c=0（a≠0）及其派生的概念；應(yīng)用一元二次方程概念解決一些簡(jiǎn)單題目．
1．通過(guò)設(shè)置問(wèn)題，建立數(shù)學(xué)模型，模仿一元一次方程概念給一元二次方程下定義．
2．一元二次方程的一般形式及其有關(guān)概念．
3．解決一些概念性的題目．
4．通過(guò)生活學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，并用數(shù)學(xué)解決生活中的問(wèn)題來(lái)激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情．
重難點(diǎn)關(guān)鍵
1．重點(diǎn)：一元二次方程的概念及其一般形式和一元二次方程的有關(guān)概念并用這些概念解決問(wèn)題．
2．難點(diǎn)關(guān)鍵：通過(guò)提出問(wèn)題，建立一元二次方程的數(shù)學(xué)模型，再由一元一次方程的概念遷移到一元二次方程的概念．
教學(xué)過(guò)程
一、復(fù)習(xí)引入
學(xué)生活動(dòng)：列方程．
問(wèn)題（1）古算趣題：“執(zhí)竿進(jìn)屋”
笨人執(zhí)竿要進(jìn)屋，無(wú)奈門框攔住竹，橫多四尺豎多二，沒法急得放聲哭。
有個(gè)鄰居聰明者，教他斜竿對(duì)兩角，笨伯依言試一試，不多不少剛抵足。
借問(wèn)竿長(zhǎng)多少數(shù)，誰(shuí)人算出我佩服。
如果假設(shè)門的高為x尺，那么，這個(gè)門的寬為_______尺，長(zhǎng)為_______尺，
根據(jù)題意，得________．
整理、化簡(jiǎn)，得：__________．
二、探索新知
學(xué)生活動(dòng)：請(qǐng)口答下面問(wèn)題．
（1）上面三個(gè)方程整理后含有幾個(gè)未知數(shù)？
（2）按照整式中的多項(xiàng)式的規(guī)定，它們最高次數(shù)是幾次？
（3）有等號(hào)嗎？還是與多項(xiàng)式一樣只有式子？
老師點(diǎn)評(píng)：（1）都只含一個(gè)未知數(shù)x；（2）它們的最高次數(shù)都是2次的；（3）都有等號(hào)，是方程．
因此，像這樣的方程兩邊都是整式，只含有一個(gè)未知數(shù)（一元），并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2（二次）的方程，叫做一元二次方程．
一般地，任何一個(gè)關(guān)于x的一元二次方程，經(jīng)過(guò)整理，都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a≠0）．這種形式叫做一元二次方程的一般形式．
一個(gè)一元二次方程經(jīng)過(guò)整理化成ax2+bx+c=0（a≠0）后，其中ax2是二次項(xiàng)，a是二次項(xiàng)系數(shù)；bx是一次項(xiàng)，b是一次項(xiàng)系數(shù)；c是常數(shù)項(xiàng)．
例1．將方程3x（x-1）=5(x+2)化成一元二次方程的一般形式，并寫出其中的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)及常數(shù)項(xiàng)．
分析：一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0（a≠0）．因此，方程3x（x-1）=5(x+2)必須運(yùn)用整式運(yùn)算進(jìn)行整理，包括去括號(hào)、移項(xiàng)等．
解：略
注意:二次項(xiàng)、二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)、一次項(xiàng)系數(shù)、常數(shù)項(xiàng)都包括前面的符號(hào).
例2．（學(xué)生活動(dòng)：請(qǐng)二至三位同學(xué)上臺(tái)演練） 將方程（x+1）2+（x-2）（x+2）=1化成一元二次方程的一般形式，并寫出其中的二次項(xiàng)、二次項(xiàng)系數(shù)；一次項(xiàng)、一次項(xiàng)系數(shù)；常數(shù)項(xiàng)．
分析：通過(guò)完全平方公式和平方差公式把（x+1）2+（x-2）（x+2）=1化成ax2+bx+c=0（a≠0）的形式．
解：略
三、鞏固練習(xí)
教材 練習(xí)1、2
補(bǔ)充練習(xí):判斷下列方程是否為一元二次方程？
(1)3x+2=5y-3 (2) x2=4 (3) 3x2-=0 (4) x2-4=(x+2) 2 (5)ax2+bx+c=0
四、應(yīng)用拓展
例3．求證：關(guān)于x的方程（m2-8m+17）x2+2mx+1=0，不論m取何值，該方程都是一元二次方程．
分析：要證明不論m取何值，該方程都是一元二次方程，只要證明m2-8m+17≠0即可．
證明：m2-8m+17=（m-4）2+1
∵（m-4）2≥0
∴（m-4）2+1>0，即（m-4）2+1≠0
∴不論m取何值，該方程都是一元二次方程．
· 練習(xí):1.方程（2a—4）x2—2bx+a=0,在什么條件下此方程為一元二次方程？在什么條件下此方程為一元一次方程？
2.當(dāng)m為何值時(shí),方程(m+1)x／4m／-4+27mx+5=0是關(guān)于的一元二次方程
五、歸納小結(jié)（學(xué)生總結(jié)，老師點(diǎn)評(píng)）
本節(jié)課要掌握：
（1）一元二次方程的概念；（2）一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0（a≠0）和二次項(xiàng)、二次項(xiàng)系數(shù)，一次項(xiàng)、一次項(xiàng)系數(shù)，常數(shù)項(xiàng)的概念及其它們的運(yùn)用．
六、布置作業(yè)
第2課時(shí) 21．1 一元二次方程
教學(xué)內(nèi)容
1．一元二次方程根的概念；
2．根據(jù)題意判定一個(gè)數(shù)是否是一元二次方程的根及其利用它們解決一些具體題目．
教學(xué)目標(biāo)
了解一元二次方程根的概念，會(huì)判定一個(gè)數(shù)是否是一個(gè)一元二次方程的根及利用它們解決一些具體問(wèn)題．
提出問(wèn)題，根據(jù)問(wèn)題列出方程，化為一元二次方程的一般形式，列式求解；由解給出根的概念；再由根的概念判定一個(gè)數(shù)是否是根．同時(shí)應(yīng)用以上的幾個(gè)知識(shí)點(diǎn)解決一些具體問(wèn)題．
重難點(diǎn)關(guān)鍵
1．重點(diǎn)：判定一個(gè)數(shù)是否是方程的根；
2．難點(diǎn)關(guān)鍵：由實(shí)際問(wèn)題列出的一元二次方程解出根后還要考慮這些根是否確定是實(shí)際問(wèn)題的根．
教學(xué)過(guò)程
一、復(fù)習(xí)引入
學(xué)生活動(dòng)：請(qǐng)同學(xué)獨(dú)立完成下列問(wèn)題．
問(wèn)題1．前面有關(guān)“執(zhí)竿進(jìn)屋”的問(wèn)題中,我們列得方程x2-8x+20=0
列表：
x | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | … |
x2-8x+20 | … |
問(wèn)題2．前面有關(guān)長(zhǎng)方形的面積的問(wèn)題中,我們列得方程x2+7x-44=0即x2+7x=44
x | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | … |
x2+7x | … |
列表：
老師點(diǎn)評(píng)（略）
二、探索新知
提問(wèn)：（1）問(wèn)題1中一元二次方程的解是多少？問(wèn)題2中一元二次方程的解是多少？
（2）如果拋開實(shí)際問(wèn)題，問(wèn)題2中還有其它解嗎？
老師點(diǎn)評(píng)：（1）問(wèn)題1中x=2與x=10是x2-8x+20=0的解，問(wèn)題2中，x=4是x2+7x-44=0的解.（2）如果拋開實(shí)際問(wèn)題，問(wèn)題2中還有x=-11的解．
一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根．
回過(guò)頭來(lái)看：x2-8x+20=0有兩個(gè)根，一個(gè)是2，另一個(gè)是10，都滿足題意；但是，問(wèn)題2中的x=-11的根不滿足題意．因此，由實(shí)際問(wèn)題列出方程并解得的根，并不一定是實(shí)際問(wèn)題的根，還要考慮這些根是否確實(shí)是實(shí)際問(wèn)題的解．
例1．下面哪些數(shù)是方程2x2+10x+12=0的根？
-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4．
分析：要判定一個(gè)數(shù)是否是方程的根，只要把其代入等式，使等式兩邊相等即可．
解：將上面的這些數(shù)代入后，只有-2和-3滿足方程的等式，所以x=-2或x=-3是一元二次方程2x2+10x+12=0的兩根．
例2.若x=1是關(guān)于x的一元二次方程a x2+bx+c=0(a≠0)的一個(gè)根,求代數(shù)式2007(a+b+c)的值
練習(xí):關(guān)于x的一元二次方程(a-1) x2+x+a 2-1=0的一個(gè)根為0,則求a的值
點(diǎn)撥:如果一個(gè)數(shù)是方程的根,那么把該數(shù)代入方程,一定能使左右兩邊相等,這種解決問(wèn)題的思維方法經(jīng)常用到,同學(xué)們要深刻理解.
例3．你能用以前所學(xué)的知識(shí)求出下列方程的根嗎？
（1）x2-64=0 （2）3x2-6=0 （3）x2-3x=0
分析：要求出方程的根，就是要求出滿足等式的數(shù)，可用直接觀察結(jié)合平方根的意義．
解：略
三、鞏固練習(xí)
教材 思考題 練習(xí)1、2．
四、歸納小結(jié)（學(xué)生歸納，老師點(diǎn)評(píng)）
本節(jié)課應(yīng)掌握：
（1）一元二次方程根的概念；
（2）要會(huì)判斷一個(gè)數(shù)是否是一元二次方程的根；
（3）要會(huì)用一些方法求一元二次方程的根．(“夾逼”方法; 平方根的意義)
六、布置作業(yè)
1．教材 復(fù)習(xí)鞏固3、4 綜合運(yùn)用5、6、7 拓廣探索8、9．
2．選用課時(shí)作業(yè)設(shè)計(jì)．
第3課時(shí) 21.2.1配方法
教學(xué)內(nèi)容
運(yùn)用直接開平方法，即根據(jù)平方根的意義把一個(gè)一元二次方程“降次”，轉(zhuǎn)化為兩個(gè)一元一次方程．
教學(xué)目標(biāo)
理解一元二次方程“降次”──轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，并能應(yīng)用它解決一些具體問(wèn)題．
提出問(wèn)題，列出缺一次項(xiàng)的一元二次方程ax2+c=0，根據(jù)平方根的意義解出這個(gè)方程，然后知識(shí)遷移到解a（ex+f）2+c=0型的一元二次方程．
重難點(diǎn)關(guān)鍵
1．重點(diǎn)：運(yùn)用開平方法解形如（x+m）2=n（n≥0）的方程；領(lǐng)會(huì)降次──轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想．
2．難點(diǎn)與關(guān)鍵：通過(guò)根據(jù)平方根的意義解形如x2=n，知識(shí)遷移到根據(jù)平方根的意義解形如（x+m）2=n（n≥0）的方程．
教學(xué)過(guò)程
一、復(fù)習(xí)引入
學(xué)生活動(dòng)：請(qǐng)同學(xué)們完成下列各題
問(wèn)題1．填空
（1）x2-8x+______=（x-______）2；（2）9x2+12x+_____=（3x+_____）2；（3）x2+px+_____=（x+____）2．
問(wèn)題1：根據(jù)完全平方公式可得：（1）16 4；（2）4 2；（3）（）2 ．
問(wèn)題2：目前我們都學(xué)過(guò)哪些方程?二元怎樣轉(zhuǎn)化成一元？一元二次方程于一元一次方程有什么不同？二次如何轉(zhuǎn)化成一次？怎樣降次？以前學(xué)過(guò)哪些降次的方法？
二、探索新知
上面我們已經(jīng)講了x2=9，根據(jù)平方根的意義，直接開平方得x=±3，如果x換元為2t+1，即（2t+1）2=9，能否也用直接開平方的方法求解呢？
（學(xué)生分組討論）
老師點(diǎn)評(píng)：回答是肯定的，把2t+1變?yōu)樯厦娴膞，那么2t+1=±3
即2t+1=3，2t+1=-3
方程的兩根為t1=1，t2=--2
例1：解方程：(1)(2x-1) 2=5 (2)x 2+6x+9=2 (3)x 2-2x+4=-1
分析：很清楚，x2+4x+4是一個(gè)完全平方公式，那么原方程就轉(zhuǎn)化為（x+2）2=1．
解：(2)由已知，得：（x+3）2=2
直接開平方，得：x+3=±
即x+3=，x+3=-
所以，方程的兩根x1=-3+，x2=-3-
例2．市政府計(jì)劃2年內(nèi)將人均住房面積由現(xiàn)在的10m2提高到14.4m，求每年人均住房面積增長(zhǎng)率．
分析：設(shè)每年人均住房面積增長(zhǎng)率為x．一年后人均住房面積就應(yīng)該是10+10x=10（1+x）；二年后人均住房面積就應(yīng)該是10（1+x）+10（1+x）x=10（1+x）2
解：設(shè)每年人均住房面積增長(zhǎng)率為x，
則：10（1+x）2=14.4
（1+x）2=1.44
直接開平方，得1+x=±1.2
即1+x=1.2，1+x=-1.2
所以，方程的兩根是x1=0.2=20%，x2=-2.2
因?yàn)槊磕耆司》棵娣e的增長(zhǎng)率應(yīng)為正的，因此，x2=-2.2應(yīng)舍去．
所以，每年人均住房面積增長(zhǎng)率應(yīng)為20%．
（學(xué)生小結(jié)）老師引導(dǎo)提問(wèn)：解一元二次方程，它們的共同特點(diǎn)是什么？
共同特點(diǎn)：把一個(gè)一元二次方程“降次”，轉(zhuǎn)化為兩個(gè)一元一次方程．我們把這種思想稱為“降次轉(zhuǎn)化思想”．
三、鞏固練習(xí)
教材 練習(xí)．
四、應(yīng)用拓展
例3．某公司一月份營(yíng)業(yè)額為1萬(wàn)元，第一季度總營(yíng)業(yè)額為3.31萬(wàn)元，求該公司二、三月份營(yíng)業(yè)額平均增長(zhǎng)率是多少？
分析：設(shè)該公司二、三月份營(yíng)業(yè)額平均增長(zhǎng)率為x，那么二月份的營(yíng)業(yè)額就應(yīng)該是（1+x），三月份的營(yíng)業(yè)額是在二月份的基礎(chǔ)上再增長(zhǎng)的，應(yīng)是（1+x）2．
解：設(shè)該公司二、三月份營(yíng)業(yè)額平均增長(zhǎng)率為x．
那么1+（1+x）+（1+x）2=3.31
把（1+x）當(dāng)成一個(gè)數(shù)，配方得：
（1+x+）2=2.56，即（x+）2=2．56
x+=±1.6，即x+=1.6，x+=-1.6
方程的根為x1=10%，x2=-3.1
因?yàn)樵鲩L(zhǎng)率為正數(shù)，
所以該公司二、三月份營(yíng)業(yè)額平均增長(zhǎng)率為10%．
五、歸納小結(jié)
本節(jié)課應(yīng)掌握： 由應(yīng)用直接開平方法解形如x2=p（p≥0），那么x=±轉(zhuǎn)化為應(yīng)用直接開平方法解形如（mx+n）2=p（p≥0），那么mx+n=±，達(dá)到降次轉(zhuǎn)化之目的．若p＜0則方程無(wú)解
六、布置作業(yè)
1．教材 復(fù)習(xí)鞏固1、2．
第4課時(shí) 22.2.1配方法(1)
教學(xué)內(nèi)容
間接即通過(guò)變形運(yùn)用開平方法降次解方程．
教學(xué)目標(biāo)
理解間接即通過(guò)變形運(yùn)用開平方法降次解方程，并能熟練應(yīng)用它解決一些具體問(wèn)題．
通過(guò)復(fù)習(xí)可直接化成x2=p（p≥0）或（mx+n）2=p（p≥0）的一元二次方程的解法，引入不能直接化成上面兩種形式的解題步驟．
重難點(diǎn)關(guān)鍵
1．重點(diǎn)：講清“直接降次有困難，如x2+6x-16=0的一元二次方程的解題步驟．
2．難點(diǎn)與關(guān)鍵：不可直接降次解方程化為可直接降次解方程的“化為”的轉(zhuǎn)化方法與技巧．
教學(xué)過(guò)程
一、復(fù)習(xí)引入
（學(xué)生活動(dòng)）請(qǐng)同學(xué)們解下列方程
（1）3x2-1=5 （2）4（x-1）2-9=0 （3）4x2+16x+16=9 (4) 4x2+16x=-7
老師點(diǎn)評(píng)：上面的方程都能化成x2=p或（mx+n）2=p（p≥0）的形式，那么可得
x=±或mx+n=±（p≥0）．
如：4x2+16x+16=（2x+4）2 ,你能把4x2+16x=-7化成（2x+4）2=9嗎?
二、探索新知
列出下面問(wèn)題的方程并回答：
（1）列出的經(jīng)化簡(jiǎn)為一般形式的方程與剛才解題的方程有什么不同呢？
（2）能否直接用上面三個(gè)方程的解法呢？
問(wèn)題2：要使一塊矩形場(chǎng)地的長(zhǎng)比寬多6m，并且面積為16m2,場(chǎng)地的長(zhǎng)和寬各是多少？
（1）列出的經(jīng)化簡(jiǎn)為一般形式的方程與前面講的三道題不同之處是：前三個(gè)左邊是含有x的完全平方式而后二個(gè)不具有．
（2）不能．
既然不能直接降次解方程，那么，我們就應(yīng)該設(shè)法把它轉(zhuǎn)化為可直接降次解方程的方程，下面，我們就來(lái)講如何轉(zhuǎn)化：
x2+6x-16=0移項(xiàng)→x2+6x=16
兩邊加（6/2）2使左邊配成x2+2bx+b2的形式 → x2+6x+32=16+9
左邊寫成平方形式 → （x+3）2=25 降次→x+3=±5 即 x+3=5或x+3=-5
解一次方程→x1=2，x2= -8
可以驗(yàn)證：x1=2，x2= -8都是方程的根,但場(chǎng)地的寬不能使負(fù)值，所以場(chǎng)地的寬為2m，常為8m.
像上面的解題方法，通過(guò)配成完全平方形式來(lái)解一元二次方程的方法，叫配方法．
可以看出，配方法是為了降次，把一個(gè)一元二次方程轉(zhuǎn)化為兩個(gè)一元一次方程來(lái)解．
例1．用配方法解下列關(guān)于x的方程
（1）x2-8x+1=0 （2）x2-2x-=0
分析：（1）顯然方程的左邊不是一個(gè)完全平方式，因此，要按前面的方法化為完全平方式；（2）同上．
解：略
三、鞏固練習(xí)
教材P38 討論改為課堂練習(xí)，并說(shuō)明理由．
教材P39 練習(xí)1 2．（1）、（2）．
四、應(yīng)用拓展
例3．如圖，在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=8m，CB=6m，點(diǎn)P、Q同時(shí)由A，B兩點(diǎn)出發(fā)分別沿AC、BC方向向點(diǎn)C勻速移動(dòng)，它們的速度都是1m/s，幾秒后△PCQ的面積為Rt△ACB面積的一半．
分析：設(shè)x秒后△PCQ的面積為Rt△ABC面積的一半，△PCQ也是直角三角形．根據(jù)已知列出等式．
解：設(shè)x秒后△PCQ的面積為Rt△ACB面積的一半．
根據(jù)題意，得：（8-x）（6-x）=××8×6
整理，得：x2-14x+24=0
（x-7）2=25即x1=12，x2=2
x1=12，x2=2都是原方程的根，但x1=12不合題意，舍去．
所以2秒后△PCQ的面積為Rt△ACB面積的一半．
五、歸納小結(jié)
本節(jié)課應(yīng)掌握：
左邊不含有x的完全平方形式的一元二次方程化為左邊是含有x的完全平方形式，右邊是非負(fù)數(shù)，可以直接降次解方程的方程．
六、布置作業(yè)
1．教材 復(fù)習(xí)鞏固2．3(1)(2)
第5課時(shí) 21.2.1配方法(2)
教學(xué)內(nèi)容
給出配方法的概念，然后運(yùn)用配方法解一元二次方程．
教學(xué)目標(biāo)
了解配方法的概念，掌握運(yùn)用配方法解一元二次方程的步驟．
通過(guò)復(fù)習(xí)上一節(jié)課的解題方法，給出配方法的概念，然后運(yùn)用配方法解決一些具體題目．
重難點(diǎn)關(guān)鍵
1．重點(diǎn)：講清配方法的解題步驟．
2．難點(diǎn)與關(guān)鍵：把常數(shù)項(xiàng)移到方程右邊后，兩邊加上的常數(shù)是一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方．
教具、學(xué)具準(zhǔn)備
小黑板
教學(xué)過(guò)程
一、復(fù)習(xí)引入
（學(xué)生活動(dòng)）解下列方程：
（1）x2-4x+7=0 （2）2x2-8x+1=0
老師點(diǎn)評(píng)：我們上一節(jié)課，已經(jīng)學(xué)習(xí)了如何解左邊不含有x的完全平方形式，不可以直接開方降次解方程的轉(zhuǎn)化問(wèn)題，那么這兩道題也可以用上面的方法進(jìn)行解題．
解：略. (2)與(1)有何關(guān)聯(lián)?
二、探索新知
討論:配方法屆一元二次方程的一般步驟：
(1)現(xiàn)將已知方程化為一般形式；（2）化二次項(xiàng)系數(shù)為1；（3）常數(shù)項(xiàng)移到右邊；
（4）方程兩邊都加上一次項(xiàng)系數(shù)的一半的平方，使左邊配成一個(gè)完全平方式；
（5）變形為(x+p)2=q的形式，如果q≥0，方程的根是x=-p±√q；如果q＜0,方程無(wú)實(shí)根．
例1．解下列方程
（1）2x2+1=3x （2）3x2-6x+4=0 （3）（1+x）2+2（1+x）-4=0
分析：我們已經(jīng)介紹了配方法，因此，我們解這些方程就可以用配方法來(lái)完成，即配一個(gè)含有x的完全平方．
解：略
三、鞏固練習(xí)
教材P 練習(xí) 2．（3）、（4）、（5）、（6）．
四、歸納小結(jié)
本節(jié)課應(yīng)掌握：
1．配方法的概念及用配方法解一元二次方程的步驟．
2．配方法是解一元二次方程的通法，它重要性，不僅僅表現(xiàn)在一元二次方程的解法中，也可通過(guò)配方，利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)判斷代數(shù)式的正負(fù)性（如例3）在今后學(xué)習(xí)二次函數(shù)，到高中學(xué)習(xí)二次曲線時(shí)，還將經(jīng)常用到。
六、布置作業(yè)
1.教材P45 復(fù)習(xí)鞏固3．（3）（4）
補(bǔ)充：（1）已知x2+y2+z2-2x+4y-6z+14=0，則求x+y+z的值
（2）求證：無(wú)論x、y取任何實(shí)數(shù)，多項(xiàng)式x2+y2-2x-4y+16的值總是正數(shù)
第6課時(shí) 21.2.2公式法
教學(xué)內(nèi)容
1．一元二次方程求根公式的推導(dǎo)過(guò)程；
2．公式法的概念；
3．利用公式法解一元二次方程．
教學(xué)目標(biāo)
理解一元二次方程求根公式的推導(dǎo)過(guò)程，了解公式法的概念，會(huì)熟練應(yīng)用公式法解一元二次方程．
復(fù)習(xí)具體數(shù)字的一元二次方程配方法的解題過(guò)程，引入ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式的推導(dǎo)公式，并應(yīng)用公式法解一元二次方程．
重難點(diǎn)關(guān)鍵
1．重點(diǎn)：求根公式的推導(dǎo)和公式法的應(yīng)用．
2．難點(diǎn)與關(guān)鍵：一元二次方程求根公式法的推導(dǎo)．
教學(xué)過(guò)程
一、 復(fù)習(xí)引入
1． 前面我們學(xué)習(xí)過(guò)解一元二次方程的“直接開平方法”，比如，方程
（1）x2=4 (2)(x-2) 2=7
提問(wèn)1 這種解法的（理論）依據(jù)是什么？
提問(wèn)2 這種解法的局限性是什么？（只對(duì)那種“平方式等于非負(fù)數(shù)”的特殊二次方程有效，不能實(shí)施于一般形式的二次方程。）
2．面對(duì)這種局限性，怎么辦？（使用配方法，把一般形式的二次方程配方成能夠“直接開平方”的形式。）
（學(xué)生活動(dòng)）用配方法解方程 2x2+3=7x
（老師點(diǎn)評(píng)）略
總結(jié)用配方法解一元二次方程的步驟（學(xué)生總結(jié)，老師點(diǎn)評(píng)）．
(1)現(xiàn)將已知方程化為一般形式；（2）化二次項(xiàng)系數(shù)為1；（3）常數(shù)項(xiàng)移到右邊；
（4）方程兩邊都加上一次項(xiàng)系數(shù)的一半的平方，使左邊配成一個(gè)完全平方式；
（5）變形為(x+p)2=q的形式，如果q≥0，方程的根是x=-p±√q；如果q＜0,方程無(wú)實(shí)根．
二、探索新知
用配方法解方程
（1） ax2－7x+3 =0 (2)a x2+bx+3=0
(3)如果這個(gè)一元二次方程是一般形式ax2+bx+c=0（a≠0），你能否用上面配方法的步驟求出它們的兩根，請(qǐng)同學(xué)獨(dú)立完成下面這個(gè)問(wèn)題．
問(wèn)題：已知ax2+bx+c=0（a≠0），試推導(dǎo)它的兩個(gè)根x1=，x2=(這個(gè)方程一定有解嗎?什么情況下有解？)
分析：因?yàn)榍懊婢唧w數(shù)字已做得很多，我們現(xiàn)在不妨把a(bǔ)、b、c也當(dāng)成一個(gè)具體數(shù)字，根據(jù)上面的解題步驟就可以一直推下去．
解：移項(xiàng)，得：ax2+bx=-c
二次項(xiàng)系數(shù)化為1，得x2+x=-
配方，得：x2+x+（）2=-+（）2
即（x+）2=
∵4a2>0，4a2＞0,當(dāng)b2-4ac≥0時(shí)≥0
∴（x+）2=()2
直接開平方，得：x+=± 即x=
∴x1=，x2=
由上可知，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根由方程的系數(shù)a、b、c而定，因此：
（1）解一元二次方程時(shí)，可以先將方程化為一般形式ax2+bx+c=0，當(dāng)b2-4ac≥0時(shí)，將a、b、c代入式子x=就得到方程的根．(公式所出現(xiàn)的運(yùn)算，恰好包括了所學(xué)過(guò)的六中運(yùn)算，加、減、乘、除、乘方、開方，這體現(xiàn)了公式的統(tǒng)一性與和諧性。)
（2）這個(gè)式子叫做一元二次方程的求根公式．
（3）利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法．
公式的理解
（4）由求根公式可知，一元二次方程最多有兩個(gè)實(shí)數(shù)根．
例1．用公式法解下列方程．
（1）2x2-x-1=0 （2）x2+1.5=-3x (3) x2-x+ =0 （4）4x2-3x+2=0
分析：用公式法解一元二次方程，首先應(yīng)把它化為一般形式，然后代入公式即可．
補(bǔ):（5）（x-2）（3x-5）=0
三、鞏固練習(xí)
教材P42 練習(xí)1．（1）、（3）、（5）或(2) 、(4) 、(6)
四、應(yīng)用拓展
例2．某數(shù)學(xué)興趣小組對(duì)關(guān)于x的方程（m+1）+（m-2）x-1=0提出了下列問(wèn)題．
（1）若使方程為一元二次方程，m是否存在？若存在，求出m并解此方程．
（2）若使方程為一元二次方程m是否存在？若存在，請(qǐng)求出．
你能解決這個(gè)問(wèn)題嗎？
分析：能．（1）要使它為一元二次方程，必須滿足m2+1=2，同時(shí)還要滿足（m+1）≠0．
（2）要使它為一元一次方程，必須滿足:
①或②或③
五、歸納小結(jié)
本節(jié)課應(yīng)掌握：
（1）求根公式的概念及其推導(dǎo)過(guò)程； （2）公式法的概念；
（3）應(yīng)用公式法解一元二次方程的步驟:1）將所給的方程變成一般形式，注意移項(xiàng)要變號(hào)，盡量讓a>0.2)找出系數(shù)a,b,c,注意各項(xiàng)的系數(shù)包括符號(hào)。3)計(jì)算b2-4ac，若結(jié)果為負(fù)數(shù)，方程無(wú)解，4）若結(jié)果為非負(fù)數(shù)，代入求根公式，算出結(jié)果。
（4）初步了解一元二次方程根的情況．
六、布置作業(yè)
教材 復(fù)習(xí)鞏固4．
第7課時(shí) 21.2.4 判別一元二次方程根的情況
教學(xué)內(nèi)容
用b2-4ac大于、等于0、小于0判別ax2+bx+c=0（a≠0）的根的情況及其運(yùn)用．
教學(xué)目標(biāo)
掌握b2-4ac>0，ax2+bx+c=0（a≠0）有兩個(gè)不等的實(shí)根，反之也成立；b2-4ac=0，ax2+bx+c=0（a≠0）有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，反之也成立；b2-4ac<>，ax2+bx+c=0（a≠0）沒實(shí)根，反之也成立；及其它們關(guān)系的運(yùn)用．
通過(guò)復(fù)習(xí)用配方法解一元二次方程的b2-4ac>0、b2-4ac=0、b2-4ac<>各一題，分析它們根的情況，從具體到一般，給出三個(gè)結(jié)論并應(yīng)用它們解決一些具體題目．
重難點(diǎn)關(guān)鍵
1．重點(diǎn)：b2-4ac>0一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根；b2-4ac=0一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)；b2-4ac<>一元二次方程沒有實(shí)根．
2．難點(diǎn)與關(guān)鍵
從具體題目來(lái)推出一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的b2-4ac的情況與根的情況的關(guān)系．
教具、學(xué)具準(zhǔn)備
小黑板
教學(xué)過(guò)程
一、復(fù)習(xí)引入
（學(xué)生活動(dòng)）用公式法解下列方程．
（1）2x2-3x=0 （2）3x2-2x+1=0 （3）4x2+x+1=0
老師點(diǎn)評(píng)，（三位同學(xué)到黑板上作）老師只要點(diǎn)評(píng)（1）b2-4ac=9>0，有兩個(gè)不相等的實(shí)根；（2）b2-4ac=12-12=0，有兩個(gè)相等的實(shí)根；（3）b2-4ac=│-4×4×1│=<>
二、探索新知
方程 | b2-4ac的值 | b2-4ac的符號(hào) | x1、x2的關(guān)系 （填相等、不等或不存在） |
2x2-3x=0 | |||
3x2-2x+1=0 | |||
4x2+x+1=0 |
請(qǐng)觀察上表，結(jié)合b2-4ac的符號(hào)，歸納出一元二次方程的根的情況。證明你的猜想。
從前面的具體問(wèn)題，我們已經(jīng)知道b2-4ac>0（<>
求根公式：x=，當(dāng)b2-4ac>0時(shí)，根據(jù)平方根的意義，等于一個(gè)具體數(shù)，所以一元一次方程的x1=≠x1=，即有兩個(gè)不相等的實(shí)根．當(dāng)b2-4ac=0時(shí)，根據(jù)平方根的意義=0，所以x1=x2=，即有兩個(gè)相等的實(shí)根；當(dāng)b2-4ac<>時(shí)，根據(jù)平方根的意義，負(fù)數(shù)沒有平方根，所以沒有實(shí)數(shù)解．
因此，（結(jié)論）（1）當(dāng)b2-4ac>0時(shí)，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有兩個(gè)不相等實(shí)數(shù)根即x1=，x2=．
（2）當(dāng)b-4ac=0時(shí)，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有兩個(gè)相等實(shí)數(shù)根即x1=x2=．
（3）當(dāng)b2-4ac<>時(shí)，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）沒有實(shí)數(shù)根．
例1．不解方程，判定方程根的情況
（1）16x2+8x=-3 （2）9x2+6x+1=0
（3）2x2-9x+8=0 （4）x2-7x-18=0
分析：不解方程，判定根的情況，只需用b2-4ac的值大于0、小于0、等于0的情況進(jìn)行分析即可．
解：（1）化為16x2+8x+3=0
這里a=16，b=8，c=3，b2-4ac=64-4×16×3=-128<>
所以，方程沒有實(shí)數(shù)根．
三、鞏固練習(xí)
不解方程判定下列方程根的情況:
（1）x2+10x+23=0 （2）x2-x-=0 （3）3x2+6x-5=0 （4）4x2-x+=0
（5）x2-x-=0 （6）4x2-6x=0 （7）x（2x-4）=5-8x
四、應(yīng)用拓展
例2．若關(guān)于x的一元二次方程（a-2）x2-2ax+a+1=0沒有實(shí)數(shù)解，求ax+3>0的解集（用含a的式子表示）．
分析：要求ax+3>0的解集，就是求ax>-3的解集，那么就轉(zhuǎn)化為要判定a的值是正、負(fù)或0．因?yàn)橐辉畏匠蹋╝-2）x2-2ax+a+1=0沒有實(shí)數(shù)根，即（-2a）2-4（a-2）（a+1）<>
五、歸納小結(jié)
本節(jié)課應(yīng)掌握：
b2-4ac>0一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有兩個(gè)不相等的實(shí)根；b2-4ac=0 一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有兩個(gè)相等的實(shí)根；b2-4ac<>一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）沒有實(shí)數(shù)根及其它的運(yùn)用．
六、布置作業(yè)
教材復(fù)習(xí)鞏固6 綜合運(yùn)用9 拓廣探索1、2．
第8課時(shí) 21.2.3 因式分解法
教學(xué)內(nèi)容
用因式分解法解一元二次方程．
教學(xué)目標(biāo)
掌握用因式分解法解一元二次方程．
通過(guò)復(fù)習(xí)用配方法、公式法解一元二次方程，體會(huì)和探尋用更簡(jiǎn)單的方法──因式分解法解一元二次方程，并應(yīng)用因式分解法解決一些具體問(wèn)題．
重難點(diǎn)關(guān)鍵
1．重點(diǎn)：用因式分解法解一元二次方程．
2．難點(diǎn)與關(guān)鍵：讓學(xué)生通過(guò)比較解一元二次方程的多種方法感悟用因式分解法使解題簡(jiǎn)便．
教學(xué)過(guò)程
一、復(fù)習(xí)引入
（學(xué)生活動(dòng)）解下列方程．
（1）2x2+x=0（用配方法） （2）3x2+6x=0（用公式法）
老師點(diǎn)評(píng)：（1）配方法將方程兩邊同除以2后，x前面的系數(shù)應(yīng)為，的一半應(yīng)為，因此，應(yīng)加上（）2，同時(shí)減去（）2．（2）直接用公式求解．
二、探索新知
（學(xué)生活動(dòng)）請(qǐng)同學(xué)們口答下面各題．
（老師提問(wèn)）（1）上面兩個(gè)方程中有沒有常數(shù)項(xiàng)？
（2）等式左邊的各項(xiàng)有沒有共同因式？
（學(xué)生先答，老師解答）上面兩個(gè)方程中都沒有常數(shù)項(xiàng)；左邊都可以因式分解:
因此，上面兩個(gè)方程都可以寫成：
（1）x（2x+1）=0 （2）3x（x+2）=0
因?yàn)閮蓚€(gè)因式乘積要等于0，至少其中一個(gè)因式要等于0，也就是（1）x=0或2x+1=0，所以x1=0，x2=-．
（2）3x=0或x+2=0，所以x1=0，x2=-2．（以上解法是如何實(shí)現(xiàn)降次的？）
因此，我們可以發(fā)現(xiàn)，上述兩個(gè)方程中，其解法都不是用開平方降次，而是先因式分解使方程化為兩個(gè)一次式的乘積等于0的形式，再使這兩個(gè)一次式分別等于0，從而實(shí)現(xiàn)降次，這種解法叫做因式分解法．
例1．解方程
（1）10x-4.9x2 =0 （2）x（x-2）+x-2 =0 (3)5x2-2x-=x2-2x+
(4)(x-1) 2=(3-2x) 2 思考：使用因式分解法解一元二次方程的條件是什么？
解：略 （方程一邊為0，另一邊可分解為兩個(gè)一次因式乘積。）
練習(xí)：1．下面一元二次方程解法中，正確的是（ ）．
A．（x-3）（x-5）=10×2，∴x-3=10，x-5=2，∴x1=13，x2=7
B．（2-5x）+（5x-2）2=0，∴（5x-2）（5x-3）=0，∴x1= ，x2=
C．（x+2）2+4x=0，∴x1=2，x2=-2
D．x2=x 兩邊同除以x，得x=1
三、鞏固練習(xí)
教材練習(xí)1、2．
例2．已知9a2-4b2=0，求代數(shù)式的值．
分析：要求的值，首先要對(duì)它進(jìn)行化簡(jiǎn)，然后從已知條件入手，求出a與b的關(guān)系后代入，但也可以直接代入，因計(jì)算量比較大，比較容易發(fā)生錯(cuò)誤．
解：原式=
∵9a2-4b2=0
∴（3a+2b）（3a-2b）=0
3a+2b=0或3a-2b=0，
a=-b或a=b
當(dāng)a=-b時(shí)，原式=-=3
當(dāng)a=b時(shí)，原式=-3．
四、應(yīng)用拓展
例3．我們知道x2-（a+b）x+ab=（x-a）（x-b），那么x2-（a+b）x+ab=0就可轉(zhuǎn)化為（x-a）（x-b）=0，請(qǐng)你用上面的方法解下列方程．
（1）x2-3x-4=0 （2）x2-7x+6=0 （3）x2+4x-5=0
分析：二次三項(xiàng)式x2-（a+b）x+ab的最大特點(diǎn)是x2項(xiàng)是由x·x而成，常數(shù)項(xiàng)ab是由-a·（-b）而成的，而一次項(xiàng)是由-a·x+（-b·x）交叉相乘而成的．根據(jù)上面的分析，我們可以對(duì)上面的三題分解因式．
五、歸納小結(jié)
本節(jié)課要掌握：
（1）用因式分解法，即用提取公因式法、十字相乘法等解一元二次方程及其應(yīng)用．
（2）因式分解法要使方程一邊為兩個(gè)一次因式相乘，另一邊為0，再分別使各一次因式等于0．
六、布置作業(yè)
教材 復(fù)習(xí)鞏固5 綜合運(yùn)用8、10 拓廣探索11．
第9課時(shí) 一元二次方程的解法復(fù)習(xí)課
教學(xué)內(nèi)容 習(xí)題課
教學(xué)目標(biāo)
能掌握解一元二次方程的四種方法以及各種解法的要點(diǎn)。會(huì)根據(jù)不同的方程特點(diǎn)選用恰當(dāng)?shù)姆椒?，是解題過(guò)程簡(jiǎn)單合理，通過(guò)揭示各種解法的本質(zhì)聯(lián)系，滲透降次化歸的思想方法。
重難點(diǎn)關(guān)鍵
1．重點(diǎn)：會(huì)根據(jù)不同的方程特點(diǎn)選用恰當(dāng)?shù)姆椒?，是解題過(guò)程簡(jiǎn)單合理。
2．難點(diǎn)：通過(guò)揭示各種解法的本質(zhì)聯(lián)系，滲透降次化歸的思想。
教學(xué)過(guò)程
1．用不同的方法解一元二次方程3 x2-5x-2=0(配方法，公式法，因式分解發(fā))
教師點(diǎn)評(píng)：三種不同的解法體現(xiàn)了同樣的解題思路——把一元二次方程“降次”轉(zhuǎn)化為一元一次方程求解。
2把下列方程的最簡(jiǎn)潔法選填在括號(hào)內(nèi)。
(A)直接開平方法 (B) 配方法 (C) 公式法 (D)因式分解法
（1）7x-3=2x2 ( ) (2)4(9x-1) 2=25 ( ) (3)(x+2)(x-1)=20 ( )
(4) 4x2+7x=2( ) (5)2(0.2t+3) 2-12.5=0( ) (6) x2+2x-4=0 ( )
說(shuō)明:一元二次方程解法的選擇順序一般為因式分解法、公式法，若沒有特殊說(shuō)明一般不采用配方法。其中，公式法是一般方法，適用于解所有的一元二次方程，因式分解法是特殊方法，在解符合方程左邊易因式分解，右邊為0的特點(diǎn)的一元二次方程時(shí)，非常簡(jiǎn)便。
3．將下列方程化成一般形式，在選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ㄇ蠼狻?/span>
(1)3x2=x+4 (2)(2x+1)(4x-2)=(2x-1)2+2 (3)(x+3)(x-4)=-6（4）(x+1)2-2(x-1)2=6x-5
說(shuō)明：將一元二次方程化成一般形式不僅是解一元二次方程的基本技能，而節(jié)能為揭發(fā)的選擇提供基礎(chǔ)。
4.閱讀材料，解答問(wèn)題：
材料：為解方程(x2-1) 2-5(x2-1) 2+4=0,我們可以視（x2-1）為一個(gè)整體，然后設(shè)x2-1=y,原方程可化為y 2-5y+4=0①.解得y1=1,y2=4。當(dāng)y1=1時(shí)，x2-1=1即x2=2，x=±.當(dāng)y2=4時(shí)，x2-1=4即x2=5, x=±√5。原方程的解為x1= ,x2=- ,x3=√5,
x4=-√5
解答問(wèn)題：（1）填空：在由原方程得到①的過(guò)程中利用_______法，達(dá)到了降次的目的，體現(xiàn)_______的數(shù)學(xué)思想。（2）解方程x4—x2—6=0.
5.小結(jié)(1)說(shuō)說(shuō)你對(duì)解一元一次方程、二元一次方程組、一元二次方程的認(rèn)識(shí)
(消元、降次、化歸的思想)
(2)三種方法（配方法、公式法、因式分解法）的聯(lián)系與區(qū)別：
聯(lián)系①降次，即它的解題的基本思想是：將二次方程化為一次方程，即降次．
②公式法是由配方法推導(dǎo)而得到．
③配方法、公式法適用于所有一元二次方程，因式分解法適用于某些一元二次方程．
區(qū)別：①配方法要先配方，再開方求根．
②公式法直接利用公式求根．
③因式分解法要使方程一邊為兩個(gè)一次因式相乘，另一邊為0，再分別使各一次因式等于0．
作業(yè)P58復(fù)習(xí)題22 1.
21.2.4 一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系
【教學(xué)設(shè)計(jì)總意圖】：本課是一節(jié)公式定理的新知課第一課時(shí)，曾在舊版的教材中占據(jù)很重要的位置，不但在中考中體現(xiàn)，延伸到高中的數(shù)學(xué)教學(xué)也有廣泛的應(yīng)用. 本冊(cè)教材又將曾一度刪去的內(nèi)容恢復(fù)，可見根系關(guān)系的重要.它為進(jìn)一步解決一元二次方程、二次函數(shù)以及相關(guān)的數(shù)學(xué)問(wèn)題提供一些新的思路.但本課畢竟是第一課時(shí)，讓學(xué)生體會(huì)公式基本內(nèi)容，在頭腦中形成積極印象很關(guān)鍵. 所以從絕大多數(shù)同學(xué)掌握的知識(shí)程度出發(fā)，針對(duì)本班學(xué)生的特點(diǎn)，本課在(a≠0 , b2 –4ac≥0)的前提條件下設(shè)計(jì)，所有的一元二次方程均有解.
教學(xué)目標(biāo)：1、理解根系關(guān)系的推導(dǎo)過(guò)程；
2、掌握不解方程，應(yīng)用根系關(guān)系解題的方法；
3、體會(huì)從特殊到一般，再有一般到特殊的推導(dǎo)思路
教學(xué)重點(diǎn)：應(yīng)用根系關(guān)系解決問(wèn)題；
教學(xué)難點(diǎn)：根系關(guān)系的推導(dǎo)過(guò)程
教學(xué)流程：引入新知，推導(dǎo)新知，鞏固新知，應(yīng)用新知，
教學(xué)過(guò)程：
一、 前2天悄悄地聽到咱班的鄭帥和董沐青的一段對(duì)話，內(nèi)容如下：
鄭：我說(shuō)董沐青，我有一個(gè)秘密，你想聽嗎？
董：什么秘密？
鄭：你知道咱們可愛的張老師年齡到底有多大嗎？
董：哦？
鄭：呵呵，這絕對(duì)是個(gè)秘密，我不能直接告訴你，我這么說(shuō)吧：她的年齡啊是方程x2 – 12x +35 =0的兩根的積，回去你把2根求出來(lái)就知道了.
董：咳，你難不住我，我不用求根就已經(jīng)知道答案了，而且我還告訴你，張老師的年齡啊還是方程x2 -35x-200=0的2根的和呢.
鄭：哈哈，你太有才了。對(duì)了，咱們應(yīng)該也讓同學(xué)猜一猜，不解方程，能不能求出張老師的年齡.
【設(shè)計(jì)意圖】創(chuàng)設(shè)一個(gè)情境：學(xué)生自我娛樂的同時(shí)自我探討數(shù)學(xué)知識(shí),本班學(xué)生活躍，他們自己在平時(shí)也會(huì)開一些類似的玩笑.希望這一次能夠激起班級(jí)進(jìn)一步學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣.
二、 求出下列方程的2根，計(jì)算2根和與2根積的值，并猜想2根和、2根積與一元二次方程各項(xiàng)系數(shù)之間的關(guān)系
序號(hào) | 一元二次方程 | x1 | x2 | x1+x2 | x1x2 |
（1） | x2 – 5x +6 =0 | 2 | 3 | 5 | 6 |
（2） | 2x2 – 3x +1 =0 |
1 | |||
（3） | 3x2 + x -2 =0 |
- 1 | - | - |
【設(shè)計(jì)意圖】二次項(xiàng)系數(shù)為1有1題；二次項(xiàng)系數(shù)不為1有2題,系數(shù)性質(zhì)符號(hào)各有不同.讓學(xué)生盡量體會(huì)與猜想2根和、2根積與系數(shù)之間的關(guān)系.
三、 引導(dǎo)學(xué)生獨(dú)立證明：
x1和x2 是一元二次方程 ax2 +bx +c =0 (a≠0 , b2 –4ac≥0)
x1+x2= - , x1x2 = 注意：負(fù)號(hào)不能漏寫
【設(shè)計(jì)意圖】學(xué)生在已有公式法解一元二次方程的知識(shí)基礎(chǔ)上，可以最快速度說(shuō)出x1和x2的值，接下來(lái)將字母系數(shù)表示的x1和x2的值代入相應(yīng)的代數(shù)式 x1+x2和x1x2 得出根系關(guān)系的結(jié)論，憑借學(xué)生自己的現(xiàn)有能力可以解決證明過(guò)程.還可以讓學(xué)生體會(huì)，數(shù)學(xué)知識(shí)的一些結(jié)論是在計(jì)算的過(guò)程中產(chǎn)生的，數(shù)學(xué)中那一系列的字母并不是高不可攀.
四、 應(yīng)用
第一組習(xí)題：不解方程，求下列方程的2根和與2根積
（1） x2– 3x +1 =0
（2） 3x2– 2x - 2=0
（3） 2x2–3x =0
（4） 3x2 =1
【設(shè)計(jì)意圖】新知產(chǎn)生后，直接應(yīng)用新知是學(xué)生的模仿階段，也是本課教學(xué)最基本的知識(shí)目標(biāo)，這時(shí)需要強(qiáng)化記憶，除設(shè)計(jì)第1組習(xí)題外還設(shè)計(jì)板書例題和第2組習(xí)題.第一組習(xí)題小評(píng)時(shí)，可引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)應(yīng)用根系關(guān)系解決2根和與2根積的問(wèn)題不需求出復(fù)雜的2根，同時(shí)滲透著整體代入的數(shù)學(xué)方法，為例2鞏固知識(shí)奠定基礎(chǔ).
例2：已知：
x1和x2 是一元二次方程x2 -4x +1=0的2根, 求下列代數(shù)式的值
（1） +
（2）x12 + x22
（3）（x1- x2）2
學(xué)生練習(xí)：（1） +
（2）（x1+1）（x2+1）
【設(shè)計(jì)意圖】 本例對(duì)絕大多數(shù)同學(xué)來(lái)說(shuō)是可以掌握的內(nèi)容，也是研究根系關(guān)系應(yīng)掌握的內(nèi)容，還可以讓學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)整體代入的數(shù)學(xué)思想方法.
五、 本課小結(jié)：
六、 課后作業(yè)：
第10課時(shí) 21.3 實(shí)際問(wèn)題與一元二次方程(1)
教學(xué)內(nèi)容
由“倍數(shù)關(guān)系”等問(wèn)題建立數(shù)學(xué)模型，并通過(guò)配方法或公式法或分解因式法解決實(shí)際問(wèn)題．
教學(xué)目標(biāo)
掌握用“倍數(shù)關(guān)系”建立數(shù)學(xué)模型，并利用它解決一些具體問(wèn)題．
通過(guò)復(fù)習(xí)二元一次方程組等建立數(shù)學(xué)模型，并利用它解決實(shí)際問(wèn)題，引入用“倍數(shù)關(guān)系”建立數(shù)學(xué)模型，并利用它解決實(shí)際問(wèn)題．
重難點(diǎn)關(guān)鍵
1．重點(diǎn)：用“倍數(shù)關(guān)系”建立數(shù)學(xué)模型
2．難點(diǎn)與關(guān)鍵：用“倍數(shù)關(guān)系”建立數(shù)學(xué)模型
教學(xué)過(guò)程
一、復(fù)習(xí)引入
（學(xué)生活動(dòng)）問(wèn)題1：列一元一次方程解應(yīng)用題的步驟？
①審題，②設(shè)出未知數(shù). ③找等量關(guān)系. ④列方程， ⑤解方程， ⑥答.
二、探索新知
上面這道題大家都做得很好，這是一種利用一元一次方程的數(shù)量關(guān)系建立的數(shù)學(xué)模型，那么還有沒有利用其它形式，也就是利用我們前面所學(xué)過(guò)的一元二次方程建立數(shù)學(xué)模型解應(yīng)用題呢？請(qǐng)同學(xué)們完成下面問(wèn)題．
（學(xué)生活動(dòng)）探究1:有一人患了流感,經(jīng)過(guò)兩輪傳染后共有121人患了流感,每輪傳染中平均一個(gè)人傳染了幾個(gè)人?
分析:1第一輪傳染 1+x第二輪傳染后1+x+x(1+x)
解:設(shè)每輪傳染中平均一個(gè)人傳染了x個(gè)人,則第一輪后共有 人患了流感,第二輪后共有 人患了流感.
列方程得 1+x+x(x+1)=121
x2+2x-120=0
解方程,得 x1=-12, x2=10
根據(jù)問(wèn)題的實(shí)際意義,x=10
答:每輪傳染中平均一個(gè)人傳染了10個(gè)人.
思考:按照這樣的傳染速度,三輪傳染后有多少人患流感? (121+121×10=1331)
通過(guò)對(duì)這個(gè)問(wèn)題的探究,你對(duì)類似的傳播問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系有新的認(rèn)識(shí)嗎?
（后一輪被傳染的人數(shù)前一輪患病人數(shù)的x倍）烈已于
四.鞏固練習(xí).
1.某種植物的主干長(zhǎng)出若干數(shù)目的支干,每個(gè)支干又長(zhǎng)出同樣數(shù)目的小分支,主干,支干和小分支的總數(shù)是91,每個(gè)支干長(zhǎng)出多少小分支?
解:設(shè)每個(gè)支干長(zhǎng)出x個(gè)小分支,
則1+x+x.x=91即x2+x-90=0 解得x1=9,x2=－10(不合題意,舍去)
答:每個(gè)支干長(zhǎng)出9個(gè)小分支.
2.要組織一場(chǎng)籃球聯(lián)賽, 每?jī)申?duì)之間都賽2場(chǎng),計(jì)劃安排90場(chǎng)比賽,應(yīng)邀請(qǐng)多少個(gè)球隊(duì)參加比賽?
五、歸納小結(jié)
本節(jié)課應(yīng)掌握：
1. 利用“倍數(shù)關(guān)系”建立關(guān)于一元二次方程的數(shù)學(xué)模型，并利用恰當(dāng)方法解它．
2. 列一元二次方程解一元二次方程的一般步驟（1）審（2）設(shè)（3）列（4）解（5）驗(yàn)——檢驗(yàn)方程的解是否符合題意，將不符合題意的解舍去。（6）答
六、布置作業(yè)
1．教材P58 復(fù)習(xí)題22 6
第11課時(shí) 21.3實(shí)際問(wèn)題與一元二次方程(2)
教學(xué)內(nèi)容
建立一元二次方程的數(shù)學(xué)模型，解決增長(zhǎng)率與降低率問(wèn)題。
教學(xué)目標(biāo)
掌握建立數(shù)學(xué)模型以解決增長(zhǎng)率與降低率問(wèn)題。
重難點(diǎn)關(guān)鍵
1．重點(diǎn)：如何解決增長(zhǎng)率與降低率問(wèn)題。
2．難點(diǎn)與關(guān)鍵：解決增長(zhǎng)率與降低率問(wèn)題的公式a(1±x)n=b,其中a是原有量,x增長(zhǎng)（或降低）率,n為增長(zhǎng)（或降低）的次數(shù),b為增長(zhǎng)（或降低）后的量。
教學(xué)過(guò)程
探究2兩年前生產(chǎn) 1噸甲種藥品的成本是5000元,生產(chǎn)1噸乙種藥品的成本是6000元,隨著生產(chǎn)技術(shù)的進(jìn)步,現(xiàn)在生產(chǎn) 1噸甲種藥品的成本是3000元,生產(chǎn)1噸乙種藥品的成本是3600元，哪種藥品成本的年平均下降率較大?
分析:甲種藥品成本的年平均下降額為 (5000-3000)÷2=1000(元)
乙種藥品成本的年平均下降額為 (6000-3600)÷2=1200(元)
乙種藥品成本的年平均下降額較大.但是,年平均下降額(元)不等同于年平均下降率
解:設(shè)甲種藥品成本的年平均下降率為x,則一年后甲種藥品成本為5000(1-x)元,兩年后甲種藥品成本為 5000(1-x)2 元,依題意得
5000（1-x）2=3000
解方程,得
答:甲種藥品成本的年平均下降率約為22.5%.
算一算:乙種藥品成本的年平均下降率是多少?比較:兩種藥品成本的年平均下降率
(22.5%,相同)
思考：經(jīng)過(guò)計(jì)算,你能得出什么結(jié)論?成本下降額較大的藥品,它的成本下降率一定也較大嗎 ?應(yīng)怎樣全面地比較對(duì)象的變化狀況?
（經(jīng)過(guò)計(jì)算,成本下降額較大的藥品,它的成本下降率不一定較大,應(yīng)比較降前及降后的價(jià)格.）
小結(jié)：類似地 這種增長(zhǎng)率的問(wèn)題在實(shí)際生活普遍存在,有一定的模式
若平均增長(zhǎng)(或降低)百分率為x,增長(zhǎng)(或降低)前的是a,增長(zhǎng)(或降低)n次后的量是b,則它們的數(shù)量關(guān)系可表示為a(1±x)n=b(中增長(zhǎng)取+,降低?。?
二鞏固練習(xí)
（1）某林場(chǎng)現(xiàn)有木材a立方米，預(yù)計(jì)在今后兩年內(nèi)年平均增長(zhǎng)p%，那么兩年后該林場(chǎng)有木材多少立方米?
（2）某化工廠今年一月份生產(chǎn)化工原料15萬(wàn)噸，通過(guò)優(yōu)化管理，產(chǎn)量逐年上升，第一季度共生產(chǎn)化工原料60萬(wàn)噸，設(shè)二、三月份平均增長(zhǎng)的百分率相同，均為x，可列出方程為__________．
(3)公司2001年的各項(xiàng)經(jīng)營(yíng)中，一月份的營(yíng)業(yè)額為200萬(wàn)元，一月、二月、三月的營(yíng)業(yè)額共950萬(wàn)元，如果平均每月營(yíng)業(yè)額的增長(zhǎng)率相同，求這個(gè)增長(zhǎng)率．
4. 某種細(xì)菌，一個(gè)細(xì)菌經(jīng)過(guò)兩輪繁殖后，共有256個(gè)細(xì)菌，每輪繁殖中平均一個(gè)細(xì)菌繁殖了多少個(gè)細(xì)菌？
三應(yīng)用拓展
例2．某人將2000元人民幣按一年定期存入銀行，到期后支取1000元用于購(gòu)物，剩下的1000元及應(yīng)得利息又全部按一年定期存入銀行，若存款的利率不變，到期后本金和利息共1320元，求這種存款方式的年利率．
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