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2010年中考數(shù)學壓軸題100題精選（1-10題）

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

【002】

A

C

B

P

Q

E

D

圖16

如圖16，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC = 3，AB = 5．點P從點C出發(fā)沿CA以每秒1個單位長的速度向點A勻速運動，到達點A后立刻以原來的速度沿AC返回；點Q從點A出發(fā)沿AB以每秒1個單位長的速度向點B勻速運動．伴隨著P、Q的運動，DE保持垂直平分PQ，且交PQ于點D，交折線QB-BC-CP于點E．點P、Q同時出發(fā)，當點Q到達點B時停止運動，點P也隨之停止．設點P、Q運動的時間是t秒（t＞0）．

（1）當t = 2時，AP =      ，點Q到AC的距離是      ；

（2）在點P從C向A運動的過程中，求△APQ的面積S與

t的函數(shù)關系式；（不必寫出t的取值范圍）

（3）在點E從B向C運動的過程中，四邊形QBED能否成

為直角梯形？若能，求t的值．若不能，請說明理由；

（4）當DE經(jīng)過點C 時，請直接寫出t的值．

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

【003】如圖，在平面直角坐標系中，已知矩形ABCD的三個頂點B（4，0）、C（8，0）、D（8，8）.拋物線y=ax²+bx過A、C兩點.   

(1)直接寫出點A的坐標，并求出拋物線的解析式；

    (2)動點P從點A出發(fā)．沿線段AB向終點B運動，同時點Q從點C出發(fā)，沿線段CD

向終點D運動．速度均為每秒1個單位長度，運動時間為t秒.過點P作PE⊥AB交AC于點E，①過點E作EF⊥AD于點F，交拋物線于點G.當t為何值時，線段EG最長?

②連接EQ．在點P、Q運動的過程中，判斷有幾個時刻使得△CEQ是等腰三角形?

請直接寫出相應的t值。

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

【004】如圖，已知直線與直線 相交于點 分別交 軸于兩點．矩形 的頂點 分別在直線 上，頂點 都在 軸上，且點 與點 重合．

    （1）求 的面積；

（2）求矩形 的邊與 的長；

（3）若矩形 從原點出發(fā)，沿 軸的反方向以每秒1個單位長度的速度平移，

設移動時間為 秒，矩形 與 重疊部分的面積為 ，求 關

的函數(shù)關系式，并寫出相應的 的取值范圍．

A

D

B

E

O

C

F

x

y

y

（G）

（第26題）

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

【005】如圖1，在等腰梯形 中， ， 是 的中點，過點 作 交 于點 ． ， .

（1）求點 到 的距離；

（2）點 為線段 上的一個動點，過 作 交 于點 ，過 作 交折線 于點 ，連結 ，設 .

①當點 在線段 上時（如圖2）， 的形狀是否發(fā)生改變？若不變，求出 的周長；若改變，請說明理由；

②當點 在線段 上時（如圖3），是否存在點 ，使 為等腰三角形？若存在，請求出所有滿足要求的 的值；若不存在，請說明理由.

A

D

E

B

F

C

圖4（備用）

A

D

E

B

F

C

圖5（備用）

A

D

E

B

F

C

圖1

圖2

A

D

E

B

F

C

P

N

M

圖3

A

D

E

B

F

C

P

N

M

（第25題）

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

【006】如圖13，二次函數(shù) 的圖象與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C（0，-1），ΔABC的面積為 。

（1）求該二次函數(shù)的關系式；

（2）過y軸上的一點M（0，m）作y軸的垂線，若該垂線與ΔABC的外接圓有公共點，求m的取值范圍；

（3）在該二次函數(shù)的圖象上是否存在點D，使四邊形ABCD為直角梯形？若存在，求出點D的坐標；若不存在，請說明理由。

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

【007】如圖1，在平面直角坐標系中，點O是坐標原點，四邊形ABCO是菱形，點A的坐標為（－3，4），

點C在x軸的正半軸上，直線AC交y軸于點M，AB邊交y軸于點H．

    （1）求直線AC的解析式；

    （2）連接BM，如圖2，動點P從點A出發(fā)，沿折線ABC方向以2個單位／秒的速度向終點C勻速運動，設△PMB的面積為S（S≠0），點P的運動時間為t秒，求S與t之間的函數(shù)關系式（要求寫出自變量t的取值范圍）；

    （3）在（2）的條件下，當 t為何值時，∠MPB與∠BCO互為余角，并求此時直線OP與直線AC所夾銳角的正切值．

        

【008】 如圖所示，在直角梯形ABCD中，∠ABC=90°，AD∥BC，AB=BC，E是AB的中點，CE⊥BD。

（1）       求證：BE=AD；

（2）       求證：AC是線段ED的垂直平分線；

（3）       △DBC是等腰三角形嗎？并說明理由。

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

【009】一次函數(shù) 的圖象分別與 軸、 軸交于點 ，與反比例函數(shù) 的圖象相交于點 ．過點 分別作 軸， 軸，垂足分別為 ；過點 分別作 軸， 軸，垂足分別為 與 交于點 ，連接 ．

（1）若點 在反比例函數(shù) 的圖象的同一分支上，如圖1，試證明：

① ；

② ．

（2）若點 分別在反比例函數(shù) 的圖象的不同分支上，如圖2，則 與 還相等嗎？試證明你的結論．

O

C

F

M

D

E

N

K

y

x

（第25題圖1）

O

C

D

K

F

E

N

y

x

M

（第25題圖2）

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

【010】如圖，拋物線 與 軸交于 兩點，與 軸交于C點，且經(jīng)過點 ，對稱軸是直線 ，頂點是 ．

（1）求拋物線對應的函數(shù)表達式；

（2）經(jīng)過 兩點作直線與 軸交于點 ，在拋物線上是否存在這樣的點 ，使以點 為頂點的四邊形為平行四邊形？若存在，請求出點 的坐標；若不存在，請說明理由；

（3）設直線 與y軸的交點是 ，在線段 上任取一點 （不與 重合），經(jīng)過 三點的圓交直線 于點 ，試判斷 的形狀，并說明理由；

（4）當 是直線 上任意一點時，（3）中的結論是否成立？（請直接寫出結論）．

O

B

x

y

A

M

C

1

（第26題圖）

 

 

 

 

 

2010年中考數(shù)學壓軸題100題精選（1-10題）答案

【001】解：（1） 拋物線 經(jīng)過點 ，

········································································ 1分

二次函數(shù)的解析式為： ········································ 3分

（2） 為拋物線的頂點 過 作 于 ，則 ，

········································· 4分

當 時，四邊形 是平行四邊形

······································· 5分

當 時，四邊形 是直角梯形

過 作 于 ， 則

（如果沒求出 可由 求 ）

·········································································· 6分

當 時，四邊形 是等腰梯形

綜上所述：當 、5、4時，對應四邊形分別是平行四邊形、直角梯形、等腰梯形．· 7分

（3）由（2）及已知， 是等邊三角形

則

過 作 于 ，則 ·························································· 8分

= ·························· 9分

當 時， 的面積最小值為 ····················································· 10分

此時

【002】解：（1）1， ；

（2）作QF⊥AC于點F，如圖3， AQ = CP= t，∴ ．

得 ．∴ ． ∴ ，

即 ．

（3）能．

   ∵DE⊥PQ，∴PQ⊥QB，四邊形QBED是直角梯形．

    此時∠AQP=90°．

由△APQ ∽△ABC，得 ，

即 ． 解得 ．

②如圖5，當PQ∥BC時，DE⊥BC，四邊形QBED是直角梯形．

此時∠APQ =90°．

由△AQP ∽△ABC，得 ，

即 ． 解得 ．                                                                                                

（4） 或 ．

【注：①點P由C向A運動，DE經(jīng)過點C．

方法一、連接QC，作QG⊥BC于點G，如圖6．

， ．

由 ，得 ，解得 ．

方法二、由 ，得 ，進而可得

，得 ，∴ ．∴ ．

②點P由A向C運動，DE經(jīng)過點C，如圖7．

， 】

【003】解.(1)點A的坐標為（4，8）                 …………………1分

將A  (4,8)、C（8，0）兩點坐標分別代入y=ax²+bx

             8=16a+4b

        得                          

         0=64a+8b

        解 得a=- ,b=4

∴拋物線的解析式為：y=－ x²+4x          …………………3分

（2）①在Rt△APE和Rt△ABC中，tan∠PAE= = ,即 =

∴PE= AP= t．PB=8-t．

∴點Ｅ的坐標為（4+ t，8-t）.

∴點G的縱坐標為：－ （4+ t）²+4(4+ t）=－ t²+8. …………………5分

∴EG=－ t²+8-(8-t) =－ t²+t.

∵- ＜0，∴當t=4時，線段EG最長為2.             …………………7分

②共有三個時刻.                                   …………………8分

t₁= ，  t₂= ，t₃= ．                   …………………11分

【004】（1）解：由 得 點坐標為

由 得 點坐標為 ∴ （2分）

由 解得 ∴ 點的坐標為 （3分）

∴ （4分）

（2）解：∵點 在 上且  ∴ 點坐標為 （5分）又∵點 在 上且 ∴ 點坐標為 （6分）

∴ （7分）

（3）解法一： 當 時，如圖1，矩形 與 重疊部分為五邊形 （ 時，為四邊形 ）．過 作 于 ，則

∴ 即 ∴

∴

即 （10分）

∵ 為 的中點，

∴

在 中， ∴ ··········· 2分

∴

即點 到 的距離為 ·································· 3分

（2）①當點 在線段 上運動時， 的形狀不發(fā)生改變．

∵ ∴

∵ ∴ ，

同理 ············································································ 4分

如圖2，過點 作 于 ，∵

∴

∴

則

在 中，

∴ 的周長= ···································· 6分

②當點 在線段 上運動時， 的形狀發(fā)生改變，但 恒為等邊三角形．

當 時，如圖3，作 于 ，則

類似①，

∴ ············································································· 7分

∵ 是等邊三角形，∴

此時， ································· 8分