一元二次方程是初中數(shù)學重要的內(nèi)容，對一元二次方程的考查，新課標降低了計算上的難度，但增加了開放性、增強了靈活性，能夠較好地考查同學們在基本知識、基本技能和基本解題思路方面的掌握情況.下面就其常見的如下考點，舉例剖析.
一、一元二次方程的概念
知識鏈接：只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2，這樣的整式方程就是一元二次方程。
例1：下列關于x的方程：① ②
③
④
。其中是一元二次方程的個數(shù)是（ ）
A、1； B、2 ； C、3 ； D、4；
【分析】要判斷一個方程是一元二次方程必須滿足三個條件：是整式方程；只含有一個未知數(shù)；未知數(shù)的最高次數(shù)是2。三個條件缺一不可。而在解答過程中，忽視了任何一個條件都會導致錯解。對于方程①，因為沒有這個條件，所以不一定是一元二次方程；方程②不是整式方程；④不是方程，是代數(shù)式；只有③是一元二次方程。選A項。
二、一元二次方程的求解
知識鏈接：解一元二次方程是本章的重點．其基本解法有四種：①直接開方法；②因式分解法；③配方法；④公式法
例2．方程的根是（ ?。?/span>
Ａ． Ｂ． Ｃ．或 Ｄ．
【分析】本題旨在考查運用因式分解法。
解：2 x －5=0, (2 x -5)=0,解得或，選Ｃ．
【點評】如果方程兩邊同除以相同因式，忽視了因式的情況，不屬于同解變形，違背了等式的性質，造成丟根．同學們要注意避免這類錯誤。
三、利用方程根的定義，巧求值。
（一）、知識鏈接：若是方程的根，則．
例3.(2010年安徽省)若n（）是關于x的方程的根，求m+n的值
【分析】已知方程的根為n，則x＝n滿足方程.將x=n代入方程即可得到關于m+n的關系式
解：由一元二次方程根的定義，得
即
（二）、知識鏈接：若，則是方程的根．
例4：設是相異的兩個實數(shù)，且滿足，求的值
【分析】由于a、b滿足的兩個關系式結構相同，聯(lián)想一元二次方程根的定義知：a、b是一元二次方程的兩個不相等的實數(shù)根，即求的值，故可用根與系數(shù)的關系求解。
解：∵，∴可看作一元二次方程的兩個實數(shù)根，∴，∴原式．
四、利用根的判別式Δ=解題
知識鏈接：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）根的判別式為△＝b2－4ac，其意義在于不解方程可以直接根據(jù)△判別根的情況，①當△>0時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；②當△=0時，方程有兩個相等的實數(shù)根；③當△<O時，方程無實數(shù)根．還可以根據(jù)根的情況確定未知系數(shù)的取值范圍．
例5.（2010年廣東省廣州市）已知關于x的一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根，求的值。
【分析】若一元二次方程有兩個實數(shù)根，則Δ＝，由此列得出a與b的等量關系再將它代入已知代數(shù)式中從而求出值
解：∵有兩個相等的實數(shù)根，
∴Δ＝，即．
∵
∵，∴
【點評】這道題主要考查學生對一元二次方程根的判別式的應用，以及代數(shù)式化簡計算能力。
五、利用根與系數(shù)的關系解題
知識鏈接：已知是一元二次方程程ax2+bx+c=0(a≠0)的兩根，則有 ，
例6.（2010廣東省茂名市）已知關于的一元二次方程（為常數(shù)）．
（1）求證：方程有兩個不相等的實數(shù)根；
（2）設，為方程的兩個實數(shù)根，且，試求出方程的兩個實數(shù)根和的值．
【分析】要證明方程有兩個不相等的實數(shù)根，只需證明△=b2－4ac大于0，根據(jù)提示可以由一元二次方程中根與系數(shù)的關系求出相應的方程的兩個實數(shù)根和的值
解：（1），
因此方程有兩個不相等的實數(shù)根．
（2），
又，解方程組： 解得：
將代入，得：，解得：。
【點評】一元二次方程根的判別式的應用：①不解方程，判別一元二次方程根的情況；②已知一元二次方程根的情況，確定某些字母的值或范圍；③進行有關的證明．如果一元二次方程有兩根（△≥0）為x1、x2，則x1+x2=－，x1·x2=．應用 ①已知一根，求另一根及求知系數(shù)；②不解方程，求與方程兩根有關的代數(shù)式的值；③已知兩數(shù)，求以這兩數(shù)為根的方程；④ 已知兩數(shù)的和與積，求這兩個數(shù) ⑤確定根的符號
六、“降次思想”的應用
知識鏈接：利用“降次思想”解答問題，是中考命題創(chuàng)新之一。
例7.(2010年安徽省蕪湖市)已知x1、x2為方程x2＋3x＋1＝0的兩實根，求x13＋8x2＋20的值【分析】先根據(jù)方程的定義把x1 代入方程得到有關x1 2 的等式，等式兩邊都乘于x1得到有關x13 的等式，把它代入x13＋8x2＋20化簡，再利用兩根和可以計算出結果是－1。
解：已知x1、x2為方程x2＋3x＋1＝0的兩實根，x12=－3 x1－1，x13=－3x12－x1=－3（－3 x1－1）－x1＝8 x1＋3，根據(jù)根與系數(shù)的關系得=－3 ∴x13＋8x2＋20＝8（x1＋x2）＋23＝－1
【點評】代入法是解決本題的亮點，也是我們常用的方法，它在解方程中起到消元、降次的作用.
七、一元二次方程的應用
知識鏈接：列一元二次方程求解應用題是中考命題熱點之一
例8. (2010年山東聊城)2009年我市實現(xiàn)國民生產(chǎn)總值為1376億元，計劃全市國民生產(chǎn)總值以后三年都以相同的增長率一實現(xiàn)，并且2011年全市國民生產(chǎn)總值要達到1726億元．
（1）求全市國民生產(chǎn)總值的年平均增第率（精確到1%）
（2）求2010年至2012年全市三年可實現(xiàn)國民生產(chǎn)總值多少億元？（精確到1億元）
解：（1）設全市國民生產(chǎn)總值的年平均增長率為，
根據(jù)題意，得：
∴，∴，∴，（不合題意，舍去）．
答：全市國民生產(chǎn)總值的年平均增長率約為10%．
(2) 1376(1+10%)+1726+1726(1+10%)=1513.6+1726+1898.6≈5138(億)
答：2010年至2012年全市三年可實現(xiàn)國民生產(chǎn)總值約為5138億元
【點評】求解增長率問題的關鍵是正確理解增長率的含義．一般地，如果某種量原來是，每次以相同的增長率（或減少率）增長（或減少），經(jīng)過次后的量便是（或）．
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