本文選自《物理》2022年第2期
大自然從不為難，為難的是人類的物理模型。
——作者
( 接51卷第1期 )
普朗克（Max Planck，1858—1947）生于基爾一個(gè)學(xué)術(shù)之家，其祖父是哥廷恩大學(xué)的神學(xué)教授、父親是基爾大學(xué)的法學(xué)教授，后者于1867年轉(zhuǎn)入慕尼黑大學(xué)任教。1874-1879年間，普朗克在慕尼黑大學(xué)和柏林大學(xué)修習(xí)物理 (圖15)。在慕尼黑大學(xué)開始學(xué)習(xí)初等物理時(shí)，普朗克跟隨的是Philipp von Jolly教授, 那個(gè)認(rèn)為物理學(xué)只有一些洞洞要修修補(bǔ)補(bǔ)的教授，因而他不鼓勵(lì)普朗克學(xué)物理。普朗克回答說(shuō)他沒想做出什么新發(fā)現(xiàn)，只是想學(xué)會(huì)那些基礎(chǔ)物理 [Alan P. Lightman, The discoveries: great breakthroughs in twentieth-century science, including the original papers, Alfred A. Knopf, Vintage (2005)]。這期間普朗克做過(guò)的實(shí)驗(yàn)是研究氫在白金體材料中的透過(guò)行為，是為了證明世界上確實(shí)存在半透的墻，這也是他唯一的實(shí)驗(yàn)物理經(jīng)歷。普朗克1877年轉(zhuǎn)往柏林大學(xué)，師從基爾霍夫和亥爾姆霍茲，于是進(jìn)入熱力學(xué)研究領(lǐng)域，更重要的是接觸到了Berlin circle {記住，還有那個(gè)聞名于世的Viena circle}。那時(shí)候克勞修斯剛引入熵概念不久[Rudolf Clausius, Die Mechanische W?rmetheorie（熱的力學(xué)論）, Frierich Vieweg und Sohn (1887)]，這對(duì)普朗克的職業(yè)塑造有重要的影響。普朗克1879年的學(xué)位論文題目為über den zweiten Hauptsatz der mechanischen W?rmetheorie（論熱的力學(xué)理論中的第二定律），1880年的Habilitationsschrift7) 題為Gleichgewichtszust?nde isotroper K?rper in verschiedenen Temperaturen（不同溫度下各項(xiàng)同性物體的平衡態(tài)）。由此可見，普朗克對(duì)黑體輻射研究以及未來(lái)的統(tǒng)計(jì)物理奠基性工作是有學(xué)術(shù)傳承的。特別提一句，普朗克編輯（edit, bearbeiten）了克勞修斯的兩本書、基爾霍夫的三本書，他的熱力學(xué)功底之因與果皆在此。
普朗克1899年從另一種途徑，即基于麥克斯韋分布，推導(dǎo)得到了維恩譜公式，其關(guān)于機(jī)理的假設(shè)屬于ad hoc（專門針對(duì)此事的、將就的）的那種，但竟然得到了維恩譜公式，那維恩公式不能簡(jiǎn)單地就是個(gè)錯(cuò)誤。陶淵明“此中有深意，欲辨已忘言”說(shuō)不定是普朗克那時(shí)的心境。他沒有放棄。
1900年10月7日，Rubens到普朗克家串門，這吸引了普朗克對(duì)新獲得的相當(dāng)完美的黑體輻射譜分布測(cè)量數(shù)據(jù)的關(guān)注。據(jù)說(shuō)，當(dāng)晚普朗克就給出了那個(gè)幸運(yùn)地猜到的（erratene）公式。也不能說(shuō)完全是瞎猜，普朗克至少是個(gè)知道(x Inx-x)'=Inx的著名物理學(xué)家，而這個(gè)公式在湊黑體輻射譜分布中扮演關(guān)鍵角色。普朗克于1900年10月19日發(fā)表第一篇相關(guān)文章，給出了黑體輻射譜分布的正確函數(shù)，此即為普朗克定律（Plancks Gesetz）或普朗克分布；1900年12月14日發(fā)表的第二篇文章則是給出了該公式的統(tǒng)計(jì)物理推導(dǎo)。普朗克似乎對(duì)由自己的工作所引出的一些結(jié)論和發(fā)展難以接受，日后進(jìn)行了長(zhǎng)達(dá)十年多的思想掙扎。
關(guān)于普朗克的生平與這段工作，可參閱如下文獻(xiàn)：
(1) Ingo Müller，Max Planck-a life for thermodynamics，Annalen der Physik 17(2-3)，73-87(2008)；Ingo Müller，Ein Leben für Thermodynamik，Physik Journal 7(3)，39-45(2008). (兩個(gè)語(yǔ)種的版本)
(2) Ian D. Lawrie，A unified grand tour of theoretical physics，Adam Hilger (1990).
(3) Ta-Pei Cheng，Einstein’s Physics: Atoms，Quanta，and Relativity-Derived，Explained，and Appraised，Oxford University Press (2013).
如下普朗克的工作有助于理解他關(guān)于黑體輻射工作的內(nèi)在邏輯。
Max Planck，über den zweiten Hauptsatzder mechanischen W?rmetheorie (論熱的力學(xué)理論中的第二定律)，Ackermann (1879) (博士學(xué)位論文).
Max Planck，Gleichgewichtszust?nde isotroper K?rper in verschiedenen Temperaturen (不同溫度下各向同性物體的平衡態(tài)) ，Ackermann (1880) (講師資格申請(qǐng)報(bào)告).
Max Planck，über das Prinzip0 der Vermehrung der Entropie (論熵增原理)，Annalen der Physik，Leipzig 30，562-582；31，189-203；32，462-503(1887).
Max Planck，über den Beweis des Maxwellschen Geschwindigkeitsvertheilungsgesetzes unter Gasmolekülen (氣體之麥克斯韋速度分布定律的證明)，Sitz. Berich. bayer. Akad. Wiss. 24，391-394(1894).
Max Planck，über irreversible Strahlungsvorg?nge (論不可逆輻射過(guò)程)， Sitz. Berich. Preuss. Akad. Wiss.，57-68(1897) ；715-717(1897) ；1122-1148(1897)；449-476(1898)；440-480(1899).
Max Planck， über eine Verbesserung der Wienschen Spectralgleichung (維恩譜方程的改進(jìn))，Verhandlungen der Deutschen Physikalischen Gesellschaft 2，202-204(1900).
(7) Max Planck，Zur Theorie des Gesetzes der Energieverteilung im Normalspectrum (標(biāo)準(zhǔn)譜能量分布律理論)，Verhandlungen der Deutschen Physikalischen Gesellschaft 2，237-245(1900).
Max Planck， Entropie und Temperatur strahlender W?rme (輻射熱的熵與溫度)，Annalender Physik 306(4)，719-737(1900). (這是Wien用過(guò)的論文題目)
Max Planck，über irreversible Strahlungsvorg?nge (不可逆輻射過(guò)程)，Annalen der Physik 306(1)，69-122(1900).
Max Planck， über das Gesetz der Energieverteilung im Normalspektrum (標(biāo)準(zhǔn)譜能量分布律)，Annalen der Physik 4(3)，553-563(1901).
Max Planck，Treatise on Thermodynamics， A. Ogg (transl.)， Green & Co.(1903).
Max Planck，Vorlesungen über die Theorie der W?rmestrahlung ( 熱 輻 射 理 論 教 程)，JohannAmbrosius Barth(1906). 英 文 版 為 The Theory of Heat Radiation，M. Masius (transl.)，2nd edition，P. Blakiston′s Son & Co.(1914).
Max Planck，Zur Hypothese der Quantenemission(量子發(fā)射假設(shè))，Berl. Ber.，723-731(1911).
Max Planck，Eine neue Strahlungshypothese (一個(gè)新的輻射假設(shè)) ，Verhandlungen der Deutschen Physikalischen Gesellschaft 13，138-148(1911).
Max Planck， über die Begründung das Gesetzes des schwarzen Strahlung (論黑體輻射規(guī)律的基礎(chǔ))，Annalen der Physik 37(4)，642-656(1912).
Max Planck， La loi du rayonnement noir et l′hypothèse des quantités élémentaires d′action(黑體輻射定律與作用量子假設(shè))，In：P. Langevin，E. Solvay，M. de Broglie(eds.)，La Théorie du Rayonnement et les Quanta，Gauthier-Villars(1912)，pp.93-114.
Max Planck，über das Gleichgewicht zwischen Oszillatoren，freien Elektronen und strahlender W?rme(論振子、自由電子和輻射熱之間的平衡)，Sitz. Berich. Preuss. Akad. Wiss.，350-363(1913).
Max Planck，Vorlesungen über die Theorie der W?rmestrahlung (熱輻射理論教程)，2. Auflage，J. A. Barth(1913).
Max Planck，Eight Lectures on Theoretical Physics， A. P. Wills (transl.)， DoverPublications(1915).
Max Planck，Vorlesungen über Thermodynamik (熱力學(xué)教程)，De Gruyter (1922).
Max Planck，Die Energieschwankunger bei der Superposition periodischer Schwingungen (周期振蕩疊加的能量漲落)，Sitzungsberichte der Preu?.Akad. Wiss.，350-354(1923).
Max Planck，über die Natur der W?rmestrahlung (熱輻射的本質(zhì))，Annalen der Physik 378，272-288(1924).
Max Planck，Das Weltbild der neuen Physik(新物理學(xué)的世界觀)，Vortrag，18. Februar 1929，Physikalisches Institut der Universit?t Leiden.
Max Planck，Zur Geschichte der Auffindung des physikalischen Wirkungsquantums ( 物理作用量子的發(fā)現(xiàn)史)， Naturwissenschaften 31(14-15)，153-159 (1943).
Max Planck，Vom Wesen der Willensfreiheit und andere Vortr?ge (自由意志的實(shí)質(zhì)以及其他報(bào)告)，F(xiàn)ischer (1990).
Max Planck，Die Ableitung der Strahlungsgesetze: Sieben Abhandlungen aus dem Gebiete der elektromagnetischen Strahlungstheorie (輻射定律推導(dǎo))，Auflage 4，Harri Deutsch Verlag (2007).
為什么是普朗克而不是別人得到了黑體輻射譜分布的公式？首先，普朗克是熱力學(xué)的繼承人。筆者試著從自己教授熱力學(xué)的經(jīng)歷中瞎猜一個(gè)線索。熱力學(xué)的主方程(cardinal equation)形式為dU=TdS-pdV，而普朗克把它改寫成了
普朗克1900年的第一篇文章完全是接著維恩的工作，從輻射的溫度與熵的關(guān)系入手。注意維恩1894年文章的題目就是溫度與輻射熵，這兩篇的文章題目相同。這里的思路是，熱輻射達(dá)到平衡的過(guò)程是個(gè)熵增加到最大值的過(guò)程，則要求熵對(duì)內(nèi)能的二階微分為負(fù)。形式上這要求
Kurlbaum的測(cè)量結(jié)果建議對(duì)低頻部分可采用
德語(yǔ)文獻(xiàn)中還時(shí)常提及普朗克的絕望行動(dòng) (AktderVerzweiflung)，派斯的英文版愛因斯坦傳記在371頁(yè)上提到了普朗克的desperate act，正可相互印證。這讓筆者很納悶。普朗克聽完Rubens聊黑體輻射的實(shí)驗(yàn)結(jié)果，當(dāng)天晚上就得到了正確的表達(dá)式。即便為了找到更強(qiáng)的理論根據(jù)，那第二個(gè)、基于統(tǒng)計(jì)物理的推導(dǎo)也用時(shí)不足倆月（兩篇文章的跨度為從1900年10月19日到1900年12月14日)，何來(lái)絕望一說(shuō)？難道絕望應(yīng)該指的是他后來(lái)理解為什么光量子hν會(huì)導(dǎo)致正確的黑體輻射公式一事？光量子是普朗克公式成立的充分必要條件，這個(gè)問(wèn)題是龐加萊1912年解決的。
一般熱力學(xué)、統(tǒng)計(jì)物理或者量子力學(xué)介紹黑體輻射到此就為止了。普朗克的能量量子概念帶來(lái)了物理學(xué)革命，然后就是量子力學(xué)的事兒了。事實(shí)是，普朗克公式的出現(xiàn)根本不是黑體輻射問(wèn)題的了結(jié)，它只是一個(gè)new era of blackbody radiation 的開始。
必須指出，普朗克不是用數(shù)學(xué)函數(shù)去擬合(fit)人家的實(shí)驗(yàn)曲線，也不是拿實(shí)驗(yàn)曲線去同人家的理論湊合(appeal to)，用普朗克自己的話說(shuō)，他用的是die von mir entwickelte elektromagnetische Theorie der Strahlung (俺自己發(fā)展起來(lái)的電磁輻射理論)。一個(gè)物理學(xué)家一生中若有一次可以這樣說(shuō)話，那他就真是一個(gè)物理學(xué)家了。
普朗克1900，1901年的Notbehelf在物理學(xué)界應(yīng)該引起了轟動(dòng)，Kurlbaum 在普朗克公式報(bào)告4天后就算出了 h = 6.55 × 10-34 Js ，并稱之為普朗克常數(shù)。然而，普朗克接下來(lái)直到1906年都在忙乎他的《熱力學(xué)教程》。在 1906—1907 年普朗克在相對(duì)論方向的研究取得了不俗的成就，尤其是腔體輻射的質(zhì)量問(wèn)題，這聯(lián)系著質(zhì)能關(guān)系，見下文。關(guān)于普朗克的心理路程，超出本文的范圍了，請(qǐng)參閱庫(kù)恩的Black-body theory and the quantum discontinuity 1894—1912一書。庫(kù)恩的這本書雖然也招來(lái)了一些負(fù)面評(píng)價(jià)，但畢竟比他那不著調(diào)的《科學(xué)革命的結(jié)構(gòu)》有價(jià)值多了。物理學(xué)里沒有革命，如果你看到了革命，那是因?yàn)槟阒赖纳?。?kù)恩如果知道馬赫的這句話，可能就不會(huì)寫那本流傳甚廣的書了。
1911年底，普朗克發(fā)表了論文 [Max Planck，über die Begründung des Gesetzes der schwarzenStrahlung(黑體輻射定律的論證)，Annalen derPhysik 37，642-656(1912)]，在一個(gè)新的振子發(fā)射機(jī)理的基礎(chǔ)上，普朗克再次得到了黑體輻射公式，這是普朗克自己的第三種黑體輻射公式推導(dǎo)方式，也是繼愛因斯坦在1906年、1907年和1910年，洛倫茲在1908年，德拜在1910年，艾倫菲斯特在1911年的各種花式推導(dǎo)黑體輻射公式后的新嘗試。這篇文章絕對(duì)是物理學(xué)史上里程碑式的存在。在這篇文章中，普朗克不僅再次如愿以償?shù)氐玫搅撕隗w輻射公式，關(guān)鍵是他還第一次使用了對(duì)應(yīng)原理，還第一次導(dǎo)出了振子的零點(diǎn)能 (普朗克稱之為能量殘余，Energierest)，
普朗克首先指出，公式
關(guān)于具有一定能量的振子如何發(fā)射電磁輻射，普朗克假設(shè)振子只在其能量達(dá)到能量單元ε = hν的整數(shù)倍 nhν 時(shí)才會(huì)發(fā)射輻射，具體的發(fā)射機(jī)制不論，但發(fā)射以隨機(jī)的方式進(jìn)行：發(fā)射的概率為 η ，不發(fā)射而后繼續(xù)吸收能量的幾率為1 - η 。也就是說(shuō)，每一次當(dāng)振子的能量 U 為 U = nhν 時(shí)，其將全部能量U發(fā)射出去的事件就可能發(fā)生，概率為 η ，發(fā)射后振子回到靜止?fàn)顟B(tài)開始下一輪的能量積聚。普朗克進(jìn)一步地制定了振子的發(fā)射規(guī)則，其不發(fā)射的概率相對(duì)于發(fā)射的概率之比正比于激勵(lì)振子的那個(gè)外部振動(dòng)的強(qiáng)度J，即
現(xiàn)在求在穩(wěn)恒輻射場(chǎng)中振子的平均能量。在N個(gè)完全發(fā)射了其能量的振子中，Nη是在達(dá)到一倍能量量子hν時(shí)發(fā)射的，N(1-η)η 是在達(dá)到兩倍能量量子2hν時(shí)發(fā)射的，依此類推，N(1-η)n-1η是在達(dá)到第n個(gè)能量量子nhν時(shí)發(fā)射的。由此可見，在穩(wěn)恒輻射場(chǎng)中同時(shí)隨機(jī)挑出來(lái)的N個(gè)振子中，有Nη=NP0個(gè)能量是在0到ε之間；N(1-η)η=NP1個(gè)能量是在ε到2ε之間；依此類推，有N(1-η)n-1η=NPn-1個(gè)能量是在(n-1)ε到nε之間，這里的Pn=(1-η)nη是振子能量在nε到(n+1)ε之間的概率。這樣，振子的平均能量由表達(dá)式
如上，在給定強(qiáng)度的穩(wěn)恒輻射場(chǎng)中的N個(gè)相同振子組成之系統(tǒng)的能量分布，就這樣唯一地決定了。接下來(lái)，就能以熟知的方式計(jì)算系統(tǒng)的熵和溫度了。首先，系統(tǒng)的熵為
那么，由此可得出溫度
普朗克關(guān)于黑體輻射工作的偉大之處之一是引入了常數(shù) h。普朗克常數(shù)后來(lái)成了物理學(xué)的基本常數(shù)之一，有了越來(lái)越精確的測(cè)量值{說(shuō)實(shí)話，筆者不懂這句話的意思。在理論物理里，可以取h=1。至于為什么h=1，套用曼寧 (Юрий Ивáнович Мáнин，1937— )關(guān)于為什么 c=1 的回答：因?yàn)樗偷扔?}，該常數(shù)被確立后不久有用光電效應(yīng)確定普朗克常數(shù)h的，比如密立根1916年的工作 [R. A. Millikan，A Direct Photoelectric Determination of Planck’s 'h’，Physical Review 7，355- 388(1916)]。不過(guò)，對(duì)密立根的實(shí)驗(yàn)工作，包括其測(cè)定基本電荷的油滴實(shí)驗(yàn)，我都抱持極端謹(jǐn)慎的態(tài)度。
注意，關(guān)于黑體輻射的譜分布密度ρ(ν，T)，其中T是個(gè)參數(shù)，而ν是個(gè)連續(xù)的變量。然而，我們應(yīng)該注意到(?)，大多數(shù)的普朗克公式推導(dǎo)過(guò)程是針對(duì)一個(gè)具體的頻率ν得到的那個(gè)表達(dá)式，但實(shí)際物理問(wèn)題是在給定溫度T下關(guān)于光的頻率(或者波長(zhǎng))從0到無(wú)窮大的分布。一個(gè)空腔內(nèi)不同頻率的光如何此消彼長(zhǎng)，或者說(shuō)能量如何在不同頻率模式上調(diào)整從而進(jìn)入一個(gè)動(dòng)態(tài)平衡，這是物理學(xué)必須回答的問(wèn)題。這個(gè)問(wèn)題，愛因斯坦等人關(guān)注的多一些。
(未完待續(xù))
注：
7) 德語(yǔ)國(guó)家中博士為獲得私俸講師資格所進(jìn)行的獨(dú)立研究(含教學(xué))的總結(jié)報(bào)告。
9) 為什么微積分課上的數(shù)學(xué)老師不講哪個(gè)微分或者積分的更多科學(xué)內(nèi)涵呢？難道不是數(shù)學(xué)老師的本能沖動(dòng)嗎？
物理學(xué)史鉤沉
黑體輻射公式的多種推導(dǎo)及其在近代物理構(gòu)建中的意義：Ⅰ
《物理》在淘寶店和微店上線，掃碼即可購(gòu)買過(guò)刊和現(xiàn)刊。
聯(lián)系客服
