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作者：苗兵 (中國科學(xué)院大學(xué) 材料科學(xué)與光電技術(shù)學(xué)院)
摘要 熵是物理中的一個(gè)既重要又微妙的概念。文章從物理學(xué)引入熵談起，依次討論熵與熱力學(xué)第二定律、熵的統(tǒng)計(jì)力學(xué)定義、熵增與基礎(chǔ)物理理論的矛盾，以及時(shí)間箭頭與玻爾茲曼大腦，最后介紹著名的黑洞熵。
關(guān)鍵詞 熵，熱力學(xué)第二定律，時(shí)間箭頭，玻爾茲曼大腦，黑洞熵
熵(Entropy)是物理學(xué)中極為重要的概念，卻又是一個(gè)仍未得到完全理解的概念。在今天的物理學(xué)中，熵在眾多不同的研究方向間架起了橋梁。在統(tǒng)計(jì)力學(xué)里，熵最大定義了平衡態(tài)統(tǒng)計(jì)，而若說平衡態(tài)只是一點(diǎn)的話，那么統(tǒng)計(jì)力學(xué)里要面對(duì)的更多是廣闊的非平衡問題，熵在非平衡的討論里占據(jù)中心重要的位置。在宇宙學(xué)里，人們?cè)?jīng)根據(jù)廣義相對(duì)論認(rèn)為“黑洞無毛”，然而熱力學(xué)的思考帶來了黑洞熵的概念。
當(dāng)信息論的創(chuàng)始人申農(nóng)(Claude E. Shannon)與馮·諾依曼(von Neumann)討論如何命名他新發(fā)現(xiàn)的度量信息傳輸中不確定性的量時(shí)，馮·諾依曼曾經(jīng)評(píng)論：“You should call it entropy，for two reasons. In the first place your uncertainty function has been used in statistical mechanics under that name, so it already has a name. In the second place, and more important, no one really knows what entropy really is, so in a debate you will always have the advantage.”
熵進(jìn)入物理學(xué)最早是從熱力學(xué)開始的[1]。德國物理學(xué)家克勞修斯(Clausius)在研究卡諾循環(huán)時(shí)引入了Entropy 的概念?？ㄖZ循環(huán)蘊(yùn)含了熱力學(xué)的兩條基本定律。熱力學(xué)第一定律明確了熱是一種可與機(jī)械能相互轉(zhuǎn)換的能量，數(shù)學(xué)表示成能量守恒定律。然而，熱能又與機(jī)械能有所不同，這導(dǎo)致了卡諾熱機(jī)的效率恒小于1，因?yàn)榭倳?huì)有一部分熱能不能轉(zhuǎn)化為機(jī)械能而最終向低溫?zé)嵩瘁尫?，這是熱力學(xué)第二定律。
克勞修斯思索如何用數(shù)學(xué)形式表達(dá)熱力學(xué)第二定律， 他發(fā)現(xiàn)可以定義一個(gè)新的物理量：S =Q/T ，即熱溫之商。如此定義的物理量S 在一個(gè)可逆的卡諾循環(huán)里變換為零：dS =0 ，因而S是一個(gè)狀態(tài)函數(shù)(不依賴于過程)；若熱機(jī)不可逆，則dS >0 。這樣，克勞修斯表述熱力學(xué)第二定律為：在一個(gè)孤立系統(tǒng)之中， dS ≥0 。
克勞修斯將這個(gè)新物理量取名為Entropy，這來自于希臘語。前綴可見Entropy 與能量Energy有關(guān)，而后綴是變換之意，因此Entropy 聯(lián)系的是能量變換的過程。寫成S 可能是為了紀(jì)念卡諾(N. L. Sadi Carnot)。中文翻譯“熵”體現(xiàn)的是熱溫商之意?？墒?，這個(gè)最初由熱力學(xué)引入的概念在后來的研究中變得極為重要，其意義也遠(yuǎn)遠(yuǎn)超越了Entropy 或者中文翻譯“熵”所暗示的內(nèi)容，在包括信息學(xué)、宇宙學(xué)等領(lǐng)域內(nèi)都大放異彩。
熱力學(xué)研究的是宏觀物理量之間的轉(zhuǎn)換，而統(tǒng)計(jì)力學(xué)的目的是從微觀自由度(分子、原子)入手推導(dǎo)出熱力學(xué)關(guān)系。熵的統(tǒng)計(jì)力學(xué)公式由奧地利物理學(xué)家玻爾茲曼(Boltzmann)在1877 年的一篇論文中給出：
如今，它被鐫刻在玻爾茲曼的墓碑之上(圖1)，以紀(jì)念這位統(tǒng)計(jì)力學(xué)的奠基人之一。該式中，熵S是熱力學(xué)狀態(tài)變量， W 是在給定宏觀狀態(tài)約束下一個(gè)系統(tǒng)所可以具有的微觀狀態(tài)數(shù)。由于微觀狀態(tài)數(shù)極為巨大，因此取對(duì)數(shù)并乘上一個(gè)非常小的常數(shù)k ，即玻爾茲曼常數(shù)。取對(duì)數(shù)并且使得這樣定義的熵成為一個(gè)具有可加性的熱力學(xué)廣延量。顯然公式的左右分別對(duì)應(yīng)了宏觀和微觀，因此玻爾茲曼定義體現(xiàn)的正是以微觀推導(dǎo)宏觀的統(tǒng)計(jì)力學(xué)思路。
圖1 玻爾茲曼墓碑。上面鐫刻著玻爾茲曼的熵公式
公式(1)中， W 取自德語“Thermodynamische Wahrscheinlichkeit”，意為熱力學(xué)概率。給定宏觀限制下，一個(gè)系統(tǒng)的微觀自由度越多， W 越大。若所有自由度(微觀狀態(tài))等概率，則P～1/W 。玻爾茲曼公式寫成S =-k logP 。進(jìn)一步推廣，若各自由度不等概率，即P 是微觀狀態(tài)依賴的，則將S 寫成S = <-k logP> ，平均對(duì)于所有微觀狀態(tài)進(jìn)行，此時(shí)有熵的吉布斯(Gibbs)定義：
在量子統(tǒng)計(jì)力學(xué)中，熵的公式由馮·諾依曼推廣給出：
這里描述狀態(tài)的密度矩陣ρ 取代了經(jīng)典概率P 。
在信息論中，申農(nóng)熵的定義為
這些公式中，求跡操作Tr代表對(duì)微觀狀態(tài)的求和。
可見，熵在物理中有明確的定義。給定一種概率分布，就可以從數(shù)學(xué)上定義對(duì)應(yīng)的熵。然而，熵與其他物理量的一個(gè)明顯不同是，它不對(duì)應(yīng)于一個(gè)可觀測物理量。在量子統(tǒng)計(jì)中，可觀測量和狀態(tài)分別由算符和密度矩陣描述，然而熵不對(duì)應(yīng)于任何一個(gè)算符。從定義中已經(jīng)看出，實(shí)際上，熵是一個(gè)狀態(tài)的性質(zhì)，定義一個(gè)狀態(tài)，就可以定義相應(yīng)的熵。
有了玻爾茲曼公式，熱力學(xué)第二定律就是說一個(gè)孤立系統(tǒng)獲得了一個(gè)演化方向，即具有更多微觀狀態(tài)數(shù)(更大自由度)的方向，這就是常說的熵增原理。熵增原理也可以表述成所謂的最大熵原理：孤立系統(tǒng)在達(dá)到平衡時(shí)熵傾向于最大化。然而熵增原理在物理中引入了不可逆過程，從而定義了時(shí)間箭頭，這與一些基本物理原理矛盾。
在經(jīng)典統(tǒng)計(jì)力學(xué)里，一個(gè)統(tǒng)計(jì)力學(xué)體系的微觀狀態(tài)由相空間里的一個(gè)點(diǎn)描述：ω =(q3N , p3N ) 。這樣，微觀狀態(tài)不再是可數(shù)的離散變量，微觀狀態(tài)數(shù)則要由相空間體積(測度)給出。隨著時(shí)間，狀態(tài)演化由相空間里點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)描述?？紤]一個(gè)給定能量的體積元：dω =δ[E -H(ω)] d3Nq d3Np/N!，這定義了一個(gè)相空間上的測度。經(jīng)典力學(xué)的劉維爾(Liouville)定理說：dω =dω(t) 。即：給定能量，相空間體積在時(shí)間演化過程中不變。由于熵對(duì)應(yīng)于相空間體積，因此，熵在時(shí)間演化中是常數(shù)。這與熱力學(xué)第二定律矛盾。
另一方面，龐加萊(Poincaré)回歸定理說：一個(gè)有限測度空間上的保測度變換具有無限回歸的性質(zhì)。熱力學(xué)體系的相空間是一個(gè)有限的測度空間，應(yīng)滿足龐加萊回歸定理。因此，在充分長時(shí)間后，熱力學(xué)體系將回歸相空間的初始點(diǎn)，從而與演化開始時(shí)具有近似相等的熵，這又與熱力學(xué)第二定律矛盾。
在量子統(tǒng)計(jì)中，由薛定諤(Schr?dinger)方程可知，隨時(shí)間演化，密度矩陣滿足：
這里已取普朗克常數(shù)為1。演化算符的幺正性使得密度矩陣的本征值不隨時(shí)間改變。而從熵的馮·諾依曼公式知道，熵只依賴于密度矩陣的本征值，因此熵在時(shí)間演化中不變。這樣，量子力學(xué)的基本方程與熱力學(xué)第二定律矛盾。
這些矛盾的根源在于物理學(xué)從微觀到宏觀過渡時(shí)描述方法的改變，涉及到一個(gè)叫作粗?；?coarse graining)的概念，這是由玻爾茲曼的學(xué)生埃倫費(fèi)斯特(Ehrenfest)最早指出的。
在微觀層次上，量子力學(xué)的幺正性保證了信息守恒，以及微觀狀態(tài)演化的相空間體積守恒。然而，從玻爾茲曼的熵公式((1)式)已經(jīng)知道，由于W 是滿足給定宏觀約束下的微觀狀態(tài)數(shù)，所以熵是一個(gè)定義于某個(gè)宏觀尺度的物理量。當(dāng)我們計(jì)算熵時(shí)，需要去數(shù)滿足宏觀約束的微觀狀態(tài)數(shù)，或者說計(jì)算相應(yīng)的相空間體積，這時(shí)候，由于解析精度不夠，有一些信息會(huì)對(duì)我們隱藏起來。換言之，在一些尺度之下，由于我們無法解析出完整的狀態(tài)信息，帶來了熵計(jì)算時(shí)微觀信息的丟失。承認(rèn)對(duì)這些微觀信息的無知，我們?cè)谶@些小尺度上假設(shè)對(duì)應(yīng)于最大熵的等概率分布。這一過程就是相空間的粗?；骄^程，具體而言，讓我們把相空間Ω 劃分成若干格子Ωi 。每一個(gè)格子內(nèi)，因?yàn)闊o法解析出更多信息，假定概率分布是均勻的，因此定義粗粒化密度分布：
該粗?；x的密度分布被用于計(jì)算對(duì)應(yīng)的熵，而描述該粗?；芏确植嫉倪\(yùn)動(dòng)方程將不再是經(jīng)典力學(xué)中的哈密頓(Hamilton)方程，或量子力學(xué)中的薛定諤方程。取而代之，我們用隨機(jī)方程描述粗?；瘜哟紊蠣顟B(tài)的運(yùn)動(dòng)，例如玻爾茲曼方程?；诜肿踊煦绾蛦瘟Ｗ雨P(guān)聯(lián)函數(shù)，玻爾茲曼方程可以推導(dǎo)出不可逆的熵增。因此，概括起來，相空間解析精度導(dǎo)致的粗?；骄斐闪擞?jì)算宏觀量熵時(shí)微觀世界信息的丟失，乃至于宏觀世界描述的隨機(jī)性特點(diǎn)，而隨機(jī)性導(dǎo)致了宏觀尺度的不可逆性，表現(xiàn)為熵增原理?？梢?，粗?；菂f(xié)調(diào)上述微觀和宏觀矛盾的關(guān)鍵。
熵增原理第一次在物理學(xué)中引入了時(shí)間箭頭，經(jīng)典力學(xué)以及量子力學(xué)里物理過程的時(shí)間可逆性被破壞。玻爾茲曼在熵增問題上有深邃的思考，他意識(shí)到熵的增加只是在概率的意義之下，并通過他的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程推導(dǎo)出了H 定理(玻爾茲曼H函數(shù)(負(fù)熵)隨時(shí)間不會(huì)增加，即dH/dt ≤ 0 )?？墒窃谀莻€(gè)年代，連原子論都尚未被廣泛接受，因此玻爾茲曼的思想超前了，不能被物理學(xué)界廣泛接受。另一方面，玻爾茲曼在表達(dá)自己的想法時(shí)也有模糊不清及前后矛盾之問題。據(jù)說，他講課時(shí)學(xué)生表示內(nèi)容太難難以聽懂，玻爾茲曼便在下一次上課時(shí)，于繼續(xù)講述繁難的問題后，在黑板上寫下1+1=2，轉(zhuǎn)身對(duì)學(xué)生說：“我講的是多么簡單啊”。
長期的不被理解最終釀成了悲劇，玻爾茲曼在一次次辯論之后精疲力盡，也許他感到了一種深深的絕望，最后在意大利的里雅斯特附近的杜伊諾以自殺的極端方式告別了這個(gè)世界。今天，玻爾茲曼上吊自殺的地方被保留下來，成為一個(gè)供游人參觀的景點(diǎn)。
遺憾的是，玻爾茲曼的學(xué)生埃倫費(fèi)斯特也是以自殺的方式告別這個(gè)世界。埃倫費(fèi)斯特生于奧地利，在維也納大學(xué)就讀期間受教于玻爾茲曼，對(duì)分子運(yùn)動(dòng)論的學(xué)習(xí)啟發(fā)了他對(duì)理論物理的濃厚興趣。在布拉格期間，埃倫費(fèi)斯特結(jié)識(shí)了愛因斯坦，并從此成為忠誠的朋友。后來，他接任洛倫茲(Lorentz)任荷蘭萊頓大學(xué)教授，在萊頓成立了一個(gè)國際理論物理學(xué)校，與世界上頂尖的理論物理學(xué)家保持著緊密的聯(lián)系，同時(shí)，對(duì)熱愛理論物理的年輕人埃倫費(fèi)斯特總是不遺余力地給予幫助和鼓勵(lì)。
在日常生活中，人們很容易區(qū)分過去和未來。例如，打碎的雞蛋不會(huì)再重新組合復(fù)原。如果你觀察雞蛋打碎的過程錄像，很容易判別錄像是正放還是倒放的。換句話說，在我們的宇宙里時(shí)間是單向的。
如前所述，時(shí)間單向這個(gè)基本事實(shí)在熱力學(xué)里被總結(jié)為熱力學(xué)第二定律，我們通過定義熵這一單向增加的物理量來描述單向的時(shí)間箭頭。并且，也通過粗粒化的策略協(xié)調(diào)了熵增與基礎(chǔ)物理理論之間的矛盾。然而，由熵增就真的可以解釋我們宇宙里時(shí)間的單向性嗎？
有一個(gè)人對(duì)這個(gè)基本問題進(jìn)行了持續(xù)和認(rèn)真的思考，此人還是玻爾茲曼。玻爾茲曼堅(jiān)信原子論，他相信熱現(xiàn)象一定可以由大量原子的運(yùn)動(dòng)進(jìn)行解釋。在玻爾茲曼對(duì)熱現(xiàn)象的思考里，一個(gè)熱力學(xué)體系具有微觀自由度，即大量原子的位置和動(dòng)量。如前所述，玻爾茲曼發(fā)現(xiàn)，如果將熵和給定宏觀狀態(tài)的微觀自由度數(shù)目聯(lián)系起來，就可以對(duì)熵增這一事實(shí)給出一個(gè)概率論意義下的解釋。簡而言之，事情向更可能的方向演化。在給定宏觀約束下，一個(gè)熱力學(xué)體系將向與該約束相容的更多微觀自由度(即更大相空間，更大概率)的方向演化，如果定義熵與微觀自由度數(shù)目正相關(guān)，就可以解釋為什么會(huì)有熵增。這一想法體現(xiàn)于熵的玻爾茲曼公式(1)中。并且玻爾茲曼就熵增證明了H 定理。然后，有了熵增，熵增導(dǎo)致我們?cè)谌粘Ｉ罾矬w驗(yàn)到的時(shí)間箭頭，解釋結(jié)束。
可是，進(jìn)一步思考會(huì)發(fā)現(xiàn)，在這種解釋里存在一個(gè)漏洞[2]。既然大概率的事件傾向于發(fā)生，那么，在一個(gè)熱力學(xué)體系中，小概率的事件發(fā)生機(jī)會(huì)很少。如果你在此刻看向過去和未來，應(yīng)該都看到更大的熵。因此，在這種思考里，并沒有時(shí)間箭頭。換言之，由于微觀自由度的運(yùn)動(dòng)方程是時(shí)間反演對(duì)稱的，在相空間中，考慮此刻的微觀狀態(tài)點(diǎn)，誠然，面向未來會(huì)傾向于運(yùn)動(dòng)向一個(gè)更大的相空間，獲得更大的熵；可是，這一論斷同樣適用于面向過去的運(yùn)動(dòng)，狀態(tài)點(diǎn)在向過去的運(yùn)動(dòng)中也會(huì)是熵增的過程。這樣，你并沒有通過概率的方法打破時(shí)間反演對(duì)稱，并沒有解釋宇宙中的時(shí)間箭頭[3]。
玻爾茲曼深刻地認(rèn)識(shí)到了這個(gè)漏洞，并且被此深深困擾。他最后的解決方法是創(chuàng)造一個(gè)特殊的初始條件，人為地打破時(shí)間反演對(duì)稱。熱力學(xué)第二定律告訴我們，宇宙是熵增的單向過程。這樣的話，如果追溯宇宙的起源，即看向過去，必然有一個(gè)熵極小的宇宙狀態(tài)。假設(shè)存在一個(gè)這樣的早期宇宙低熵狀態(tài)，那么結(jié)合概率論，宇宙向更大概率的高熵狀態(tài)演化，宇宙中的時(shí)間箭頭就可以得到解釋。
這一解決方法稱作玻爾茲曼的盒子(Boltzmann′s box)?？紤]一個(gè)盒子，盒子里有大量的物質(zhì)，例如原子。規(guī)定在起始時(shí)刻，所有的原子集合在盒子的一個(gè)角落，這對(duì)應(yīng)一個(gè)低熵狀態(tài)。隨著時(shí)間演化，概率論告訴我們，原子將從角落開始向整個(gè)盒子擴(kuò)散，因?yàn)檫@樣的狀態(tài)對(duì)應(yīng)更多的微觀狀態(tài)，有更大的概率。在某些時(shí)刻，有趣的事情會(huì)發(fā)生，這些原子會(huì)組織形成一些結(jié)構(gòu)。然而，隨著進(jìn)一步的演化，這些結(jié)構(gòu)將消失，體系最后抵達(dá)熵極大的均勻分布狀態(tài)，原子均勻分布在盒子里，沒有任何有趣的事情再發(fā)生，體系達(dá)到了熱平衡。
這是一個(gè)不錯(cuò)的解決方案。用現(xiàn)代宇宙學(xué)的語言來說，它對(duì)應(yīng)的是宇宙大爆炸理論。宇宙起源于一個(gè)高溫致密的奇點(diǎn)，這是一個(gè)低熵的狀態(tài)。宇宙大爆炸導(dǎo)致宇宙的膨脹和冷卻，在這個(gè)過程中，在引力的作用下，各種星系結(jié)構(gòu)形成了，進(jìn)而是黑洞的形成，對(duì)應(yīng)于我們今天的宇宙狀態(tài)。在未來，所有的結(jié)構(gòu)都會(huì)蒸發(fā)消失，宇宙將歸于熱平衡(圖2)。
圖2 宇宙的演化
一切都挺好。可是，還是玻爾茲曼自己，清醒地認(rèn)識(shí)到了這種論斷里的致命漏洞。這個(gè)漏洞的根源仍然是概率論帶來的。玻爾茲曼已經(jīng)知道，在概率論的意義下，熵只是幾乎總是增加的。但如果給足夠長的時(shí)間，小概率的事件原則上是可以發(fā)生的。因此，在玻爾茲曼盒子里，熱平衡之后的均勻狀態(tài)不會(huì)是最后的故事。只要等足夠長的時(shí)間，從這種平衡態(tài)里可以漲落出一個(gè)小概率低熵的原子分布狀態(tài)。注意，這個(gè)低熵態(tài)來自于高熵平衡態(tài)里的隨機(jī)漲落(random fluctuation)，因此它是不同于一開始的起始低熵態(tài)的(這個(gè)起始態(tài)是我們?nèi)藶榫臏?zhǔn)備來打破時(shí)間反演對(duì)稱的)。當(dāng)然，這對(duì)應(yīng)于動(dòng)力學(xué)理論中的龐加萊回歸現(xiàn)象：體系在足夠時(shí)間后總會(huì)回到起始點(diǎn)的附近。這樣，玻爾茲曼盒子里就有這種回歸現(xiàn)象：從平衡態(tài)里隨機(jī)漲落出來的低熵狀態(tài)進(jìn)一步演化，熵增，平衡，漲落出新的低熵態(tài)，熵增，漲落……
由上分析：(1) 如果宇宙對(duì)應(yīng)的是從平衡態(tài)漲落出來的低熵態(tài)，則我們的宇宙不會(huì)有時(shí)間箭頭，因?yàn)槊嫦蜻^去(平衡態(tài))和未來(平衡態(tài))熵都將增加；(2) 這個(gè)隨機(jī)漲落的低熵宇宙是什么樣的？答案是玻爾茲曼的大腦(Boltzmann′s brain)：宇宙中只有一個(gè)孤獨(dú)的大腦在游蕩。這是一個(gè)基于人擇原理(anthropic principle)的結(jié)果。因?yàn)椋?a) 既然此刻宇宙中有一個(gè)對(duì)于熵增現(xiàn)象發(fā)問的意識(shí)存在，則根據(jù)人擇原理，盡管是小概率事件，但是一定已經(jīng)從高熵的平衡態(tài)漲落出了一個(gè)發(fā)問的意識(shí)結(jié)構(gòu)；(b) 如果漲落出一個(gè)意識(shí)是目標(biāo)，較之于目前包括大量星系和生命的宇宙狀態(tài)，一個(gè)孤零零的大腦更為簡單，因此具有更大的可能性，即更大的熵。如果是隨機(jī)漲落的話，漲落出一個(gè)孤零零的大腦概率要大得多。所以，在這些來自隨機(jī)漲落的宇宙結(jié)構(gòu)中，只有一個(gè)孤零零的大腦存在，它發(fā)問，并且很快就會(huì)消失而重新歸于高熵的平衡。
因此，這種回歸現(xiàn)象將導(dǎo)致玻爾茲曼的大腦，而這樣的宇宙里沒有單向的熵增，沒有時(shí)間箭頭，這也不是我們目前的宇宙。玻爾茲曼發(fā)現(xiàn)了自己對(duì)于時(shí)間箭頭基于概率論解釋的問題。且不說那個(gè)人為引入的起始低熵宇宙狀態(tài)是怎么來的(別忘了概率論傾向于高熵態(tài))，就算是可以有這樣一個(gè)宇宙的低熵起點(diǎn)，來自于平衡態(tài)隨機(jī)漲落的回歸現(xiàn)象導(dǎo)致的玻爾茲曼大腦也是該解釋的致命之處。
在玻爾茲曼的年代，原子論還沒有被廣泛接受，并且人們對(duì)于宇宙的看法是，宇宙是永恒的，因此玻爾茲曼的工作和思考被物理學(xué)界深深懷疑和拒絕。他最后選擇了自殺。遺憾的是，僅僅在其自殺后的數(shù)年里，原子論就通過一系列的工作被物理學(xué)界所接受，熱質(zhì)說宣告破產(chǎn)。宇宙學(xué)的研究中發(fā)現(xiàn)了宇宙微波背景輻射(宇宙大尺度的均勻和各向同性)，以及宇宙加速膨脹，這些觀察使人們認(rèn)識(shí)到宇宙可能是有一個(gè)起點(diǎn)的，這產(chǎn)生了宇宙大爆炸理論。如前所述，這為玻爾茲曼低熵起始態(tài)的思考提供了一定的支持。
從分析中可以看出，如果可以避免回歸現(xiàn)象，那么在一次性的宇宙演化中，通過引入宇宙起始的低熵假設(shè)，就可以通過熵增的過程產(chǎn)生目前的宇宙，進(jìn)而宇宙走向平衡，這里有一個(gè)明確的由過去低熵，未來高熵決定的時(shí)間箭頭。不會(huì)再有玻爾茲曼大腦帶來的問題。所以，問題的關(guān)鍵除了低熵起源的不自然性之外，就是我們只要有一個(gè)一次性的、不回歸的宇宙模型，就可以回答時(shí)間箭頭之謎。那么，現(xiàn)代宇宙學(xué)里對(duì)這個(gè)問題是否已經(jīng)解決了呢？答案是，仍然沒有。
在目前的宇宙大爆炸理論里，宇宙起始于一個(gè)低熵高溫致密奇點(diǎn)，大爆炸，膨脹冷卻，星系形成。取決于暗能量，即宇宙學(xué)常數(shù)，的正負(fù)，有一個(gè)開放或者封閉的宇宙模型。在我們的宇宙里，宇宙學(xué)常數(shù)是正的，因此宇宙將是開放的和始終膨脹的，這被哈勃觀察遙遠(yuǎn)星系的紅移現(xiàn)象所證實(shí)。根據(jù)哈勃定律， v =HR ，其中， v 是宇宙膨脹中星系遠(yuǎn)離我們的速度， R 是星系距離我們的尺度， H 是一個(gè)正的哈勃常數(shù)。顯然， R 大則v 大，遠(yuǎn)離的星系將有更大的速度?？紤]一個(gè)極限，何時(shí)v 抵達(dá)光速c ？很容易算出R0 =c/H 。此后， R >R0 ， v >c ，我們將不再能收到任何該星系的信息。而這個(gè)距離R0 給出了宇宙的視界。
宇宙視界的存在使得宇宙形成了一個(gè)類似于玻爾茲曼盒子的構(gòu)造。隨著宇宙的演化，星系將蒸發(fā)成質(zhì)子等基本粒子，進(jìn)而這些物質(zhì)將隨著宇宙膨脹運(yùn)動(dòng)到視界之外，宇宙將空無一物。如果故事停在這里，我們會(huì)有一個(gè)一次性宇宙模型，有一個(gè)低熵起點(diǎn)導(dǎo)致的時(shí)間箭頭。遺憾的是，量子力學(xué)告訴我們，在宇宙視界附近會(huì)有由于量子不確定性原理帶來的大量粒子存在(這類似于黑洞附近的霍金輻射)，而這些粒子將在隨機(jī)漲落中帶來回歸現(xiàn)象，創(chuàng)造出玻爾茲曼的大腦。因此，我們?cè)僖淮位氐讲柶澛暮凶?，被玻爾茲曼大腦所困。
現(xiàn)代宇宙學(xué)的研究中，人們正在構(gòu)造更多的宇宙模型以理解時(shí)間箭頭之謎。
黑洞熵是如何從量子漲落和熱漲落的聯(lián)姻中產(chǎn)生的呢？
由于量子力學(xué)的不確定性原理，一對(duì)共軛量的不確定性之積被普朗克常數(shù)定義了下限，例如能量和時(shí)間：ΔEΔt ≥h/4π 。所以，在極短的時(shí)間里，能量守恒可以不必滿足，允許有極大的能量漲落。根據(jù)愛因斯坦的質(zhì)量—能量關(guān)系：E =mc2 。若Δt 小到使得ΔE >mc2 ，能量漲落就足以產(chǎn)生物質(zhì)。這表現(xiàn)為真空中極短時(shí)間內(nèi)產(chǎn)生的正反粒子對(duì)。這些正反粒子只是電荷相反，卻都具有正質(zhì)量，因此是正能量。
可是，長的時(shí)間里能量需要守恒。因此由量子力學(xué)不確定性原理憑空借來的能量，還要還給真空，這就是正反粒子對(duì)的湮滅。真空里充滿了這樣的由不確定性原理所引起的正反粒子對(duì)的產(chǎn)生和湮滅。從以上分析，只要是正反粒子都有正能量，這就沒問題，真空是穩(wěn)定的，能量借了再通過湮滅還，時(shí)間平均來看真空仍然是空的。這樣的過程，也使得一個(gè)量子體系的自由度(對(duì)應(yīng)于粒子數(shù))是不定的無窮多，因此，要引入處理無窮自由度的場描述，這就是量子場論。
會(huì)不會(huì)有這樣的局面，其中正反粒子對(duì)中一個(gè)仍是正能量，而另一個(gè)變成負(fù)能量？這樣粒子對(duì)的能量和就變成零，量子漲落借來的能量不用再通過正反粒子湮滅歸還給真空。也就是說，真空可以通過量子漲落產(chǎn)生粒子。
答案是“有”。這個(gè)過程發(fā)生在黑洞的視界附近。
黑洞(圖3)是引力塌縮的結(jié)果，其中心是愛因斯坦廣義相對(duì)論的奇點(diǎn)，離開奇點(diǎn)有一個(gè)特殊距離：
稱作史瓦西(Schwarzschild)半徑，是為紀(jì)念德國物理學(xué)家卡爾·史瓦西(Karl Schwarzschild)而命名。史瓦西在一戰(zhàn)的戰(zhàn)壕里閱讀了愛因斯坦1915 年11月發(fā)表的廣義相對(duì)論論文，并驚人地迅速發(fā)現(xiàn)了場方程在球?qū)ΨQ情形下的解。在史瓦西半徑處粒子逃逸速度等于光速；小于RS ，逃逸速度大于光速，粒子無法逃出，這就是黑洞解。史瓦西半徑定義了黑洞的視界，視界是當(dāng)你坐飛船去探索黑洞時(shí)，再也不能送回信號(hào)的地方，跨越這里，你將消失不見。
圖3 黑洞示意圖
在視界外部，雖然在廣義相對(duì)論中時(shí)間和空間統(tǒng)一成了一個(gè)時(shí)空，對(duì)應(yīng)的能量和動(dòng)量統(tǒng)一成了一個(gè)能動(dòng)量張量，然而時(shí)間和空間性質(zhì)不同：時(shí)間是單向的，空間是雙向的；在時(shí)間軸上粒子無法如在空間軸上一樣前后移動(dòng)，結(jié)果導(dǎo)致能量是個(gè)標(biāo)量，只能為正，而動(dòng)量則是一個(gè)可取正負(fù)的矢量。然而，在視界內(nèi)部情形不同，強(qiáng)大的引力使得能量獲得了類似動(dòng)量的性質(zhì)，變成可正可負(fù)。
考慮黑洞視界附近，量子漲落產(chǎn)生正反粒子對(duì)，其中一個(gè)粒子迅速進(jìn)入視界內(nèi)部，也就是掉入黑洞，這樣該粒子能量可以為負(fù)。因此粒子對(duì)能量和變?yōu)榱?，不用再通過湮滅的方式來滿足能量守恒了。在視界外的粒子，由于逃逸速度小于光速，可以帶著正能量逃逸出去，這就好像是黑洞在產(chǎn)生輻射。這個(gè)現(xiàn)象是劍橋大學(xué)著名物理學(xué)家霍金做出的，稱為霍金輻射(圖4)。隨著霍金輻射的進(jìn)行，負(fù)能量粒子進(jìn)入黑洞，使得黑洞的能量或者質(zhì)量越來越小，就像是黑洞在蒸發(fā)。
圖4 霍金輻射示意圖
既然有粒子的輻射，就有溫度，這就是熱漲落。所以，在黑洞附近，強(qiáng)大的引力使得量子漲落變成了熱漲落。有溫度，有能量，就有熵。因?yàn)閺臒崃W(xué)已經(jīng)知道，溫度就是能量對(duì)狀態(tài)數(shù)的變化率。所以，黑洞并非“無毛”的簡單物體，而是具有自由度，也就是具有熵。
黑洞熵是多少呢？這里做一番極為簡單的標(biāo)度估算。
黑洞能量：E =Mc2 ；
黑洞唯一的長度尺度：史瓦西半徑RS =2GM/c2 ；
由長度得出黑洞能量激發(fā)單元：Eb =hν =hc/λ =hc/(2RS) ；
激發(fā)粒子數(shù)：n =E/Eb ≈c3A/(Gh) ，這里黑洞表面積A ≈RS2；
微觀自由度數(shù)：W ≈2n ，這里2 代表每個(gè)激發(fā)粒子的內(nèi)部自由度，例如光子的兩個(gè)極化。
則黑洞熵由玻爾茲曼公式估算出：
黑洞熵公式最早是由貝肯斯坦(Bekenstein)在黑洞表面積始終增加的啟示下得出的，當(dāng)然推導(dǎo)過程不是這樣。黑洞熵公式的美妙在于，它將物理學(xué)中重要的基本常數(shù)h , k , c , G 結(jié)合于一起，反映了黑洞熵是量子場論、熱力學(xué)和統(tǒng)計(jì)力學(xué)，以及廣義相對(duì)論相結(jié)合的美妙結(jié)果。由(8)式可知，黑洞熵與黑洞表面積成正比，而不是與黑洞體積，這是一件不平凡的事情，蘊(yùn)含了全息原理：黑洞的信息都儲(chǔ)存在表面上，一個(gè)三維空間的引力理論等價(jià)于一個(gè)低一維(二維)空間的量子理論。
從量子力學(xué)和廣義相對(duì)論估算出了黑洞熵。結(jié)合熱力學(xué)，我們進(jìn)一步估算黑洞的溫度。因?yàn)闇囟仁悄芰繉?duì)于熵的變化率，因此大約有：
這里用到了A ≈RS2 。這就是霍金的黑洞溫度公式，該公式(準(zhǔn)確的含系數(shù)形式)鐫刻在了霍金的墓碑上(圖5)。從這里，我們看出黑洞溫度反比于質(zhì)量，因此通過霍金輻射、黑洞蒸發(fā)、質(zhì)量減小的過程，黑洞越來越熱。
圖5 霍金墓碑。上面鐫刻著霍金輻射的溫度公式
如上所述，黑洞物理奇妙地將廣義相對(duì)論、量子場論、熱力學(xué)和統(tǒng)計(jì)力學(xué)融合在了一起，這就是為什么黑洞在基礎(chǔ)物理中變得美妙且重要的原因。
本文從熱力學(xué)中熵作為一個(gè)狀態(tài)函數(shù)被引入以表述熱力學(xué)第二定律談起，講述了熵的統(tǒng)計(jì)力學(xué)定義，以及熵增原理與時(shí)間箭頭，介紹了如何在時(shí)間反演對(duì)稱的基礎(chǔ)物理理論中，通過相空間的粗?；楷F(xiàn)出熵增現(xiàn)象，進(jìn)而討論了玻爾茲曼在時(shí)間箭頭問題上的深入思考，以及玻爾茲曼想法的現(xiàn)代宇宙學(xué)證據(jù)，最后以黑洞熵的討論而結(jié)束。希望可以啟發(fā)人們對(duì)熵這一饒有趣味且內(nèi)涵豐富的概念進(jìn)行進(jìn)一步思考和研究。
參考文獻(xiàn)
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[2] Susskind L. Lecture at Santa Fe Institute，2013
[3] Penrose R. The Road to Reality：A Complete Guide to the Laws of the Universe. Jonathan Cape London，2004
本文選自《物理》2020年第4期
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