你真的會(huì)解方程嗎？今天我們從簡(jiǎn)單的解方程開始，為大家介紹一位英年早逝的數(shù)學(xué)家的工作，從這些工作中我們將看到優(yōu)美的對(duì)稱性，以及蘊(yùn)含在其中的和諧奧妙。
尼爾斯·亨里克·阿貝爾
1824年，一位年輕的挪威數(shù)學(xué)家尼爾斯·亨里克·阿貝爾取得了一個(gè)與某類方程相關(guān)的令人震驚的結(jié)果。不久之后，法國(guó)天才數(shù)學(xué)家埃瓦里斯特·伽羅瓦以深入的眼光證明了這一結(jié)果為什么是正確的——并在這個(gè)過程中開創(chuàng)了用數(shù)學(xué)研究對(duì)稱性的先河?？上扇硕加⒛暝缡?，沒有來得及享受他們的工作帶來的好處。阿貝爾于1829年死于肺結(jié)核和貧困，時(shí)年26歲。伽羅瓦死于1832年，他在一場(chǎng)據(jù)稱是為了爭(zhēng)奪一個(gè)女人而進(jìn)行的決斗中被殺死。當(dāng)時(shí)他只有二十歲。
那么他們做出了什么樣的工作？方程和對(duì)稱性又有什么關(guān)系？
解方程
Solving Equations
最著名的公式之一是二次方程的通解公式，如果方程寫為：
那么通解公式就可以告訴我們方程的解為：
以及
無論a，b，c的值是多少，這個(gè)公式都可以告訴你解是多少。它們使用起來很方便。
這有一個(gè)類似的但復(fù)雜得多的公式可以告訴你三次方程的通解，方程的形式為：
還有一些更復(fù)雜的方程可以告訴你四次方程的通解，這些方程可以寫為：
雖然關(guān)于二次，三次，四次方程的通解公式看起來有些復(fù)雜，但是它們只包含了有限個(gè)運(yùn)算操作：加、減、乘、除、開平方、開三次方、開四次方。
很顯然，你接下來會(huì)問，我們可以為五次方程找到一個(gè)類似的通解公式嗎？
更一般的，包含x高階項(xiàng)的多項(xiàng)式方程的通解公式長(zhǎng)什么樣子？
伽羅瓦畫像 在他死后16年的1848年，由他的兄弟根據(jù)記憶所作
我們想要的是一個(gè)公式，這個(gè)公式只包含加減乘除和求根操作。如果一個(gè)方程具有這樣一個(gè)通解公式，那么我們說這個(gè)方程是有根式解的。
1824年阿貝爾證明的結(jié)論是：對(duì)于一般的五次方程，不存在根式解。當(dāng)然，這并不意味所有的五次方程都是沒有根式解的。例如，多項(xiàng)式方程：
擁有一個(gè)解：
但是對(duì)于一般的五次方程，確實(shí)不存在一個(gè)普適的根式解公式。
阿貝爾證明了這一結(jié)果，但幾年后，伽羅瓦才真正意識(shí)到為什么五次方程不存在根式解。伽羅瓦常被認(rèn)為群論的奠基人，群論是一門研究對(duì)稱性的數(shù)學(xué)。 我們通常認(rèn)為對(duì)稱性是一種視覺現(xiàn)象：一幅畫或圖案可能是對(duì)稱的。但是對(duì)稱性和方程有什么關(guān)系呢？答案有些微妙，但非常美麗。
不變的對(duì)稱性
Unchanging Symmetry
首先，讓我們思考對(duì)稱性真正的含義。我們說一個(gè)正方形是對(duì)稱的是因?yàn)槲覀儗⑺@著中心軸旋轉(zhuǎn)90度，或者將它對(duì)于各種軸做反射操作并不會(huì)改變它的外觀。所以對(duì)稱性意味著沒有變化：如果我們對(duì)某個(gè)物體進(jìn)行某種操作之后并沒有改變它，那么它就具有對(duì)稱性。
當(dāng)我們思考二次方程式，我們可以發(fā)現(xiàn)少許對(duì)稱性。例如，二次方程
擁有兩個(gè)解
方程具有兩個(gè)離散的解，但是某種意義上，它們非常相似：只需在一個(gè)解上加上一個(gè)負(fù)號(hào)就可以得到另一個(gè)解。也許交換兩個(gè)解并不會(huì)帶來什么不同，就像對(duì)正方形做鏡像操作一樣意味著一種對(duì)稱性一樣，交換方程的兩個(gè)解也許也意味著某種對(duì)稱性。但究竟是哪種對(duì)稱性呢？
加入無理數(shù)
Including Irrationals
蝴蝶有對(duì)稱性，方程也有對(duì)稱性！
為了理解這些結(jié)果，讓我們考察一下方程所包含的數(shù)字：
方程的系數(shù)是1和-2：兩個(gè)系數(shù)都是有理數(shù)。但是它的解卻是兩個(gè)無理數(shù)：你無法將
讓我們把視野放寬一點(diǎn)。我們不光考察一組有理數(shù)（寫作
新的一組數(shù)是自包含的（ self-contained）：你可以將其中的兩個(gè)數(shù)相加、相減、乘或者相除，得到的結(jié)果仍然在這組數(shù)里。在數(shù)學(xué)中，
交換兩個(gè)解
Switching Solutions
現(xiàn)在我們回到將兩個(gè)解
將f作用在
很顯然，f并不改變域中的有理數(shù)，對(duì)于無理數(shù)，經(jīng)f作用后仍然處于
更進(jìn)一步，將f作用在
在某種意義上，函數(shù)f是方程
伽羅瓦群
Galois's Group
一個(gè)事物，無論它是一個(gè)圖形還是一個(gè)方程，它的對(duì)稱性的集合構(gòu)成一個(gè)群。這個(gè)系統(tǒng)是自包含的原因是兩個(gè)對(duì)稱變換的組合仍然構(gòu)成一個(gè)對(duì)稱變換。在我們的例子中，將對(duì)稱變換f連續(xù)兩次作用在一個(gè)數(shù)上不會(huì)改變這個(gè)數(shù)：
類似的，先作用f后作用g，或者先作用g后作用f的組合構(gòu)成了f，而g和g的組合仍然是g。我們的方程的對(duì)稱性構(gòu)成的群包含兩個(gè)
為什么你解不出一般的五次方程？
Why you can't solve the general quintic?
我們可以對(duì)其他任意多項(xiàng)式做類似的事情，例如對(duì)一個(gè)五次方程：
A，b，c，d，e和f是有理數(shù)。同樣的，我們可以將有理數(shù)域
就像我們對(duì)二次方程
紀(jì)念伽羅瓦的法國(guó)郵票
伽羅瓦所能證明的是，一個(gè)方程是否有根式解，取決于它的伽羅瓦群的結(jié)構(gòu)。有時(shí)候伽羅瓦群可以被分成更小的分量，它們和取n次方根有關(guān)。如果是這種情況，那么方程擁有根式解。
然而，如果它無法以恰當(dāng)?shù)姆绞椒直唤獬筛〉姆至?，如果你不能把?duì)稱性分離出來，那么你就找不到一個(gè)只涉及加、減、乘、除和求根的通解，在這種情況下，方程不存在根式解。
我們可以證明，五次方程并不能以恰當(dāng)?shù)姆绞椒纸?。因此，五次方程不存在根式通解?strong>對(duì)于包含x的更高次冪的多項(xiàng)式方程也是一樣的：它們沒有根式通解。用群論研究方程的解被稱為伽羅瓦理論，這一理論以其發(fā)明者的名字命名。
作者：Marianne Freiberger
翻譯：Nothing
審校：C&C
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