河圖洛書是中華文化，陰陽(yáng)五行術(shù)數(shù)之源。最早記錄在《尚書》之中，其次在《易傳》之中，諸子百家多有記述。太極、八卦、周易、六甲、九星、風(fēng)水、等等皆可追源至此。1987年河南濮陽(yáng)西水坡出土的形意墓，距今約6500多年。墓中用貝殼擺繪的青龍、白虎圖像栩栩如生，與近代幾無(wú)差別河圖四象、28宿俱全。其布置形意，上合天星，下合地理，且埋葬時(shí)已知必被發(fā)掘。同年出土的安徽含山龜腹玉片，則為洛書圖像，距今約5000多年?？芍菚r(shí)人們已精通天地物理，河圖、洛書之?dāng)?shù)了。據(jù)專家考證，形意墓中之星象圖可上合二萬(wàn)五千年前。這說(shuō)明邵庸等先哲認(rèn)為'河圖、洛書乃上古星圖'，其言不虛。
【釋義】
一，河圖之象
河圖用十個(gè)黑白園點(diǎn)表示陰陽(yáng)、五行、四象，其圖為四方形。如下：
北方：一個(gè)白點(diǎn)在內(nèi)，六個(gè)黑點(diǎn)在外，表示玄武星象，五行為水。
東方：三個(gè)白點(diǎn)在內(nèi)，八個(gè)黑點(diǎn)在外，表示青龍星象，五行為木。
南方：二個(gè)黑點(diǎn)在內(nèi)，七個(gè)白點(diǎn)在外，表示朱雀星象，五行為火。
西方：四個(gè)黑點(diǎn)在內(nèi)，九個(gè)白點(diǎn)在外，表示白虎星象，五行為金。
中央：五個(gè)白點(diǎn)在內(nèi)，十個(gè)黑點(diǎn)在外，表示時(shí)空奇點(diǎn)，五行為土。
?。ㄆ渲?，單數(shù)為白點(diǎn)為陽(yáng)，雙數(shù)為黑點(diǎn)為陰。四象之中，每象各統(tǒng)領(lǐng)七個(gè)星宿，共28宿。）以上為《河圖》。其中四象，按古人座北朝南的方位為正位就是：前朱雀，后玄武，左青龍，右白虎。此乃風(fēng)水象形之源也。
二，河圖之?dāng)?shù)
1，天地之?dāng)?shù)：河圖共有10個(gè)數(shù)，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10。其中1，3，5，7，9，為陽(yáng)，2、4、6、8、10，為陰。陽(yáng)數(shù)相加為25陰數(shù)相加得30，陰陽(yáng)相加共為55數(shù)。所以古人說(shuō)：'天地之?dāng)?shù)五十有五'，即天地之?dāng)?shù)為55，'以成變化而行鬼神也'。即萬(wàn)物之?dāng)?shù)皆由天地之?dāng)?shù)化生而已
2，萬(wàn)物生存之?dāng)?shù)：天一生水，地六成之；地二生火天七成之；天三生木，地八成之；地四生金，天九成之；天五生土，地十成之。所以一為水之生數(shù)，二為火之生數(shù)，三為木之生數(shù)，四為金之生數(shù)，五為土之生數(shù)。六為水之成數(shù)，七為火之成數(shù)，八為木之成數(shù)，九為金之成數(shù)，十為土之成數(shù)。萬(wàn)物有生數(shù)，當(dāng)生之時(shí)方能生；萬(wàn)物有成數(shù)，能成之時(shí)方能成。所以，萬(wàn)物生存皆有其數(shù)也。
3，五行之?dāng)?shù)：五行之?dāng)?shù)即五行之生數(shù)，就是水一、火二、木三、金四土五，也叫小衍之?dāng)?shù)。一、三、五、為陽(yáng)數(shù)，其和為九，故九為陽(yáng)極之?dāng)?shù)。二、四為陰數(shù)，其和為六，故六為陰之極數(shù)。陰陽(yáng)之?dāng)?shù)合而為15數(shù)，故化為洛書則縱橫皆15數(shù)，乃陰陽(yáng)五行之?dāng)?shù)也。
4，大衍之?dāng)?shù)：大衍之?dāng)?shù)50即五行乘土之成數(shù)10；同時(shí)也是天地之?dāng)?shù)的用數(shù)。天地之?dāng)?shù)55，減去小衍之?dāng)?shù)5得大衍之?dāng)?shù)50，其中小衍為天地之體數(shù)大衍為天地之用數(shù)。所謂'大衍之?dāng)?shù)50其用49'，就是用大衍之?dāng)?shù)預(yù)測(cè)的占筮之法：以一為體，四十九為用，故其用四十又九。
5，天干交合之?dāng)?shù)：河圖之?dāng)?shù)十，乃十天干之?dāng)?shù)也。交合之?dāng)?shù)為：一、六共宗，二、七同道，三、八為朋，四、九為友，五、十同德。正是萬(wàn)物生存之?dāng)?shù)。所以甲己合為一、六共宗，乙庚合為二、七同道，丙辛合為三、八為朋，丁壬合為四、九為友，戊癸合為五、十同德。十天干經(jīng)交合之后，化為天干交合之五行，將河圖五行之體化為天干五行之用。
6，六甲納音之?dāng)?shù)：天地之?dāng)?shù)55加上五行之?dāng)?shù)5，合化為60甲子五行納音之?dāng)?shù)。十天干之陰陽(yáng)五行與萬(wàn)物相交，同氣相求，同聲相應(yīng)各發(fā)出12種聲音，無(wú)聲無(wú)音不計(jì)，按河圖北、東、南、西、中成象五位五行共60納音乃天地五行聲音之?dāng)?shù)也。
7,九宮數(shù)學(xué)
河圖洛書和二十八星宿有密切聯(lián)系，和西方的黃道十二宮也是相同自然規(guī)律的不同表述：
神秘河圖、洛書傳說(shuō)的背后，竟蘊(yùn)含著美麗的數(shù)學(xué)！
在我國(guó)古老的著作《易經(jīng)系辭傳》中有一句話是：“河出圖，洛出書，圣人則之?！边@里的圣人指的是伏羲氏。到了北宋時(shí)代就編造出了一個(gè)神話：在伏羲氏時(shí)代，從黃河跳出一匹龍馬，背上有一幅圖。這幅圖隱含著很多天機(jī)上面有黑白點(diǎn)（圈）55個(gè)，用直線連接成10個(gè)數(shù)，被稱為“河圖”（如圖1）。根據(jù)河圖伏羲氏才畫出了八卦；又在夏禹治水的時(shí)候，洛水里出現(xiàn)了一只大烏龜,其背上有文字。上面有黑白圈45個(gè)，用直線連成9個(gè)數(shù)稱為“洛書”（如圖2）。
圖1 河圖
圖2 洛書
也有傳說(shuō)認(rèn)為“河圖”就是“周易”的來(lái)源；而“洛書”就是天帝賜給大禹治水用的《洪范九疇》?！稘h書·五行志》載:“劉歆以為伏羲氏系天而王，河出圖，則而畫之，八卦是也；禹治洪水，賜洛書，法而陣之，洪范是也。
還有傳說(shuō)認(rèn)為神龜負(fù)文而出，列于背，有數(shù)從一而至九。這個(gè)傳說(shuō)倒是值得重視的。甲骨文的發(fā)現(xiàn)，可以說(shuō)明“龜背刻字”并非虛妄。這樣，刻著圖形數(shù)字的龜背浮在水面上被人拾到，也是有可能的。
河圖中的黑圓點(diǎn)表示陰數(shù)，陰數(shù)皆為偶數(shù)；白圓點(diǎn)表示陽(yáng)數(shù)，陽(yáng)數(shù)皆為奇數(shù)圖中數(shù)字共分三層：最外層四數(shù)之和為30；中層四數(shù)之和為10； 內(nèi)層三數(shù)之和為15。三層數(shù)相加得55。30、10、15均為5的倍數(shù)，說(shuō)明以5為中心。圖中1至9除了5之外都是不重復(fù)的數(shù)，只有5例外，共有三個(gè)5。如果把其中兩個(gè)5合并為10，也即1至10的和是：
這是等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最典型例子。
洛書是把一至九這9個(gè)數(shù)字?jǐn)[成方陣，而以五為中心。對(duì)洛書的解釋為形如圖3的三階方陣，南宋數(shù)學(xué)家稱此圖為“縱橫圖”，又稱“九宮圖”。此圖中任意一行、任意一列以及兩條對(duì)角線的數(shù)字之和都是15。這種縱橫圖是世界上最早的矩陣，又稱方陣或幻方。它的研究屬于一個(gè)數(shù)學(xué)分支——組合數(shù)學(xué)，歐洲人直到14世紀(jì)才開始研究幻方，比我國(guó)遲了近兩千年。
圖3
那么這種幻方是怎樣構(gòu)造出來(lái)的呢？1275年南宋數(shù)學(xué)家揚(yáng)輝在《續(xù)古摘奇算法》中談到了對(duì)洛書的構(gòu)造法：“九子斜排，上下對(duì)易，左右相更，四維挺出。載九屨一，左三右七，二四為肩，六八為足也?！奔聪劝?，2，3，…，9這9個(gè)數(shù)排成如圖4的斜直線三排，然后上下對(duì)易，左右相更而構(gòu)成洛書（如圖5）。
圖4
圖5
河圖、洛書是我國(guó)數(shù)學(xué)發(fā)展的標(biāo)志，說(shuō)明當(dāng)時(shí)我國(guó)對(duì)組合數(shù)學(xué)思想已經(jīng)有了認(rèn)識(shí)。楊輝在《續(xù)古摘奇算法》一書中，進(jìn)一步構(gòu)造出了4~10階方陣。實(shí)際上，若設(shè)方陣的階數(shù)為n，各行、各列、各條對(duì)角線上所有數(shù)字的和為Pn則有公式
我國(guó)發(fā)現(xiàn)了方陣后，曾傳到國(guó)外，引起了國(guó)內(nèi)外的數(shù)學(xué)愛好者的興趣。據(jù)說(shuō)現(xiàn)在美國(guó)有一個(gè)13歲的少年已經(jīng)排出了105行105列的方陣, 即105階的幻方
內(nèi)蒙古哲里木畜牧學(xué)院物理教師韓永賢經(jīng)過(guò)50年的潛心研究，于1988年在《內(nèi)蒙古社會(huì)科學(xué)》上發(fā)表了論文《無(wú)文字時(shí)代的兩大發(fā)明 —— 揭開河圖洛書千古之謎》。該文章首次破譯河圖、洛書，認(rèn)為伏羲確有其人。河圖是游牧?xí)r期的氣象圖，洛書是當(dāng)時(shí)的一張方位圖。圖中的圓點(diǎn)表示雨點(diǎn)、雨量圓圈表示太陽(yáng)、干燥。韓永賢的論文，在國(guó)內(nèi)外引起了強(qiáng)烈的反響。英國(guó)皇家科學(xué)院中國(guó)自然學(xué)史專家李約瑟來(lái)電：“河、洛一文很有價(jià)值?，F(xiàn)已藏于劍橋東亞科學(xué)史圖書館。美國(guó)麻省理工學(xué)院高秉浩博士亦備加贊賞?！?/span>
河圖、洛書實(shí)際是組合數(shù)學(xué)的雛形。洛書便是一個(gè)三階方陣（西方稱之為“幻方”），它的各行、各列及對(duì)角線上三數(shù)之和皆為15。而對(duì)于n行,n列及對(duì)角線也具有此性質(zhì)的幻方稱之為“n階幻方”?；梅皆勾髷?shù)學(xué)家歐拉、著名物理學(xué)家富蘭克林很感興趣.
河圖、洛書皆是以“五”為中心，古人有“五瓣梅花天地方”之句，正包含了這樣的意思。八卦云：“天數(shù)五，地?cái)?shù)五，五位相得而各有合。天數(shù)二十五，地?cái)?shù)三十，凡天地之?dāng)?shù)五十有五，此所以成變化而行鬼神也?！?/span>
美國(guó)1977年發(fā)射的尋求外星文明的宇宙飛船旅行者1號(hào)、2號(hào)上，除了有向宇宙人致意的問(wèn)候信號(hào)外，還帶有一些圖片。這些圖片中，就有一張是四階幻方圖（如圖6）。
圖6
從數(shù)學(xué)美的角度來(lái)看，由于河圖所進(jìn)行的數(shù)字排列，使得對(duì)這些數(shù)進(jìn)行簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)運(yùn)算，例如加法、減法、乘法、數(shù)列運(yùn)算，得到了各種結(jié)果，這些結(jié)果都包含了一定的規(guī)律性。對(duì)河圖的數(shù)學(xué)研究，不但是一種思維體操，而且有著強(qiáng)烈的數(shù)學(xué)美感。電子計(jì)算機(jī)出現(xiàn)以后，古老的河圖、洛書中所包含的數(shù)學(xué)美學(xué)原理，在程序設(shè)計(jì)、實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)和圖論方面得到了應(yīng)用和發(fā)展。
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