在學(xué)習(xí)了作軸對(duì)稱圖形之后，人教版八年級(jí)上冊(cè)P42，有這樣一個(gè)問(wèn)題：
這種模型就是著名的“將軍飲馬”問(wèn)題：
解決方法如上面圖（2），作點(diǎn)B（點(diǎn)A也行）關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)B′,連接A B′交直線l于點(diǎn)C，則點(diǎn)C就是要找的使輸氣管道最短的位置。其原理就是“三角形任意兩邊之和大于第三邊”(北師大版七下第五章123頁(yè)第5題類(lèi)似)。
求兩線段之和最小是最值問(wèn)題中很基本的一個(gè)模型，一般已知兩定點(diǎn)一動(dòng)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)在某條定線上，兩定點(diǎn)在定線同側(cè)。求解步驟為：①利用軸對(duì)稱作其中任一定點(diǎn)關(guān)于定線的對(duì)稱點(diǎn)；②連接對(duì)稱點(diǎn)和另外一個(gè)定點(diǎn)，交定直線于某點(diǎn)，此點(diǎn)即為所求；③利用勾股定理等知識(shí)求解算出答案。
這一類(lèi)問(wèn)題也是當(dāng)今中考的熱點(diǎn)題型之一，通常會(huì)以角、三角形、四邊形、圓、坐標(biāo)軸、拋物線為載體出題。
還有一種類(lèi)型是固定長(zhǎng)度線段MN在直線l上滑動(dòng)，求AM MN BN的最小值。這時(shí)需平移BN（或AM），轉(zhuǎn)化為求解決，如下圖所示．
本文講練結(jié)合，對(duì)線段和最小值問(wèn)題的原理、常見(jiàn)題型及解法思路層層剖析，后面附有練習(xí)題和配套答案，力求能使大家熟練掌握這種求最值的方法。
【典例】
1、如下圖，在△ABC中，AC＝BC＝2，∠ACB＝90°，D是BC邊的中點(diǎn)，E是AB邊上一動(dòng)點(diǎn)，則EC＋ED的最小值為_(kāi)______。
解析：如下圖，過(guò)點(diǎn)C作CO⊥AB于O，延長(zhǎng)CO到C′，使OC′=OC，連接DC′，交AB于E，連接CE，此時(shí)DE CE=DE EC′=DC′的值最?。?/p>
連接BC′，由對(duì)稱性可知∠C′BE=∠CBE=45°，∴∠CBC′=90°，∴BC′⊥BC，∠BCC′=∠BC′C=45°，
∴BC=BC′=2，∵D是BC邊的中點(diǎn)，∴BD=1，根據(jù)勾股定理可得DC′=√5，故答案為：√5.
2、如下圖，在邊長(zhǎng)為2㎝的正方形ABCD中，點(diǎn)Q為BC邊的中點(diǎn)，點(diǎn)P為對(duì)角線AC上一動(dòng)點(diǎn)，連接PB、PQ，則△PBQ周長(zhǎng)的最小值為_(kāi)___________㎝（結(jié)果不取近似值）.
解析：因?yàn)锽Q是定值，所以求△PBQ周長(zhǎng)的最小值就是在AC上求一點(diǎn)P，使PB PQ的值最小即可，依然是標(biāo)準(zhǔn)的軸對(duì)稱模型，如果你能這樣考慮，恭喜你答對(duì)了，下面就按照此類(lèi)模型的標(biāo)準(zhǔn)解法做就行了。
如下圖，因?yàn)辄c(diǎn)B關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)是D點(diǎn)，所以連接DQ，與AC的交點(diǎn)P就是滿足條件的點(diǎn)DQ = PD PQ = PB PQ，故DQ的長(zhǎng)就是PB PQ的最小值，在直角△CDQ中，CQ = 1 ，CD = 2，根據(jù)勾股定理，得，DQ = √5
3、如下圖，兩條公路OA、OB相交，在兩條公路的夾角中有一個(gè)油庫(kù)，設(shè)為點(diǎn)P，如在兩條公路上各設(shè)置一個(gè)加油站，，請(qǐng)你設(shè)計(jì)一個(gè)方案，把兩個(gè)加油站設(shè)在何處，可使運(yùn)油車(chē)從油庫(kù)出發(fā)，經(jīng)過(guò)一個(gè)加油站，再到另一個(gè)加油站，最后回到油庫(kù)所走的路程最短。
解析： 這是一個(gè)實(shí)際問(wèn)題，需要把它轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，經(jīng)過(guò)分析，知道此題是求運(yùn)油車(chē)所走路程最短，OA與OB相交，點(diǎn)P在∠AOB內(nèi)部，通常我們會(huì)用軸對(duì)稱模型，分別做點(diǎn)P關(guān)于直線OA和OB的對(duì)稱點(diǎn)P?、P? ，連結(jié)P?P?分別交OA、OB于C、D，C、D兩點(diǎn)就是使運(yùn)油車(chē)所走路程最短的地點(diǎn).
4、如下圖，村莊A、B位于一條小河的兩側(cè)，若河岸a、b彼此平行，現(xiàn)在要建設(shè)一座與河岸垂直的橋CD，問(wèn)橋址應(yīng)如何選擇，才能使A村到B村的路程最近？
（類(lèi)似的問(wèn)題在北師大版8下第三章90頁(yè)第18題，課本上還多一問(wèn)：橋建在何處才能使A、B到橋的距離相等？你怎么回答？）
作法：設(shè)a、b的距離為h。
①把點(diǎn)B豎直向上平移h個(gè)單位得到點(diǎn)B'；
②連接AB'交a于C；
③過(guò)C作CD⊥b垂足為D；
④連接BD。
證明：∵BB'∥CD且BB'＝CD，
∴四邊形BB'CD是平行四邊形，∴CB'＝BD
∴AC＋CD＋DB＝AC＋CB'＋B'B＝AB'＋B'B
在a上任取一點(diǎn)C'，作C'D'，連接AC'、D'B，C'B'
同理可得AC'＋C'D'＋D'B＝AC'＋C'B'＋B'B
而AC'＋C'B'>A B'
∴AC＋CD＋DB最短。
點(diǎn)評(píng)：本題是研究AC＋CD＋DB最短時(shí)的C、D的取法，而ＣＤ是定值，所以問(wèn)題集中在研究AC＋DB最小上。但AC、DB不能銜接，可將BD平移B＇---C處，則AC＋DB可轉(zhuǎn)化為AC＋CB'，要使AC＋CB'最短，顯然，A、C、B'三點(diǎn)要在同一條直線上。
講這么多了，該一試身手了
【強(qiáng)化練習(xí)】
1、如下圖，在等邊△ABC中，AB = 6，AD⊥BC，E是AC上的一點(diǎn)，M是AD上的一點(diǎn)，且AE = 2，求ME MC的最小值。
2、如下圖，在平面直角坐標(biāo)系中，有A（3，－2），B（4，2）兩點(diǎn)，現(xiàn)另取一點(diǎn)C（1，n），當(dāng)n =______時(shí)，AC BC的值最小．
3、如下圖，一次函數(shù)y=kx b的圖象與x、y軸分別交于點(diǎn)A（2，0），B（0，4）．
（1）求該函數(shù)的解析式；
（2）O為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)OA、AB的中點(diǎn)分別為C、D，P為OB上一動(dòng)點(diǎn)，求PC＋PD的最小值，并求取得最小值時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)．
4、如下圖，A、B是直線a同側(cè)的兩定點(diǎn)，定長(zhǎng)線段PQ在a上平行移動(dòng)，問(wèn)PQ移動(dòng)到什么位置時(shí)，AP PQ QB的長(zhǎng)最短？
【答案】
1、因?yàn)辄c(diǎn)C關(guān)于直線AD的對(duì)稱點(diǎn)是點(diǎn)B，所以連接BE，交AD于點(diǎn)M，則ME MD最小，如下圖，過(guò)點(diǎn)B作BH⊥AC于點(diǎn)H，則EH = AH – AE = 3 – 2 = 1，根據(jù)勾股定理可得BH = 3√3，在直角△BHE中，可求得BE = 2√7
2、點(diǎn)C（1，n），說(shuō)明點(diǎn)C在直線x=1上，所以作點(diǎn)A關(guān)于直線x=1的對(duì)稱點(diǎn)A'，連接A'B，交直線x=1于點(diǎn)C，則AC BC的值最小，設(shè)直線A'B的解析式為y=kx b，則-2=-k b，
2=4k b，解：k = (4/5) b = - (6/5) 所以：y = (4/5)x-(6/5)
當(dāng)x = 1時(shí)，y = -(2/5) 故當(dāng)n = -(2/5)時(shí)，AC BC的值最小
3、(1)由題意得：0 = 2x b 4 = b 解得 k = -2，b= 4，所以 y = -2x 4
(2)如下圖，作點(diǎn)C關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)C'，連接C'D，交y軸于點(diǎn)P，則C'D = C'P PD = PC PD
C'D就是PC PD的最小值，連接CD，則CD = 2，CC' = 2，在直角△C'CD中，根據(jù)勾股定理
C'D = 2√2 求直線C'D的解析式，由C'(-1，0)，D(1，2)
所以，有0 = -k b 2 = k b
解得 k = 1，b = 1，所以 y = x 1 當(dāng)x = 0時(shí)，y =1，則P(0，1)
4、作法：(假設(shè)P'Q'就是在直線L上移動(dòng)的定長(zhǎng)線段)
1)過(guò)點(diǎn)B作直線L的平行線,并在這條平行線上截取線段BB',使它等于定長(zhǎng)P'Q'；
2)作出點(diǎn)A關(guān)于直線L的對(duì)稱點(diǎn)A'，連接A'B'，交直線L于P；
3)在直線L上截取線段PQ=P'Q..
則此時(shí)AP PQ BQ最小.
略證：由作法可知PQ=P'Q'=BB'，四邊形PQBB'與P'Q'BB'均為平行四邊形.
下面只要說(shuō)明AP BQ
點(diǎn)A與A'關(guān)于直線L對(duì)稱，則AP=A'P,AP'=A'P'.
故:AP BQ=A'P B'P=A'B'; AP' BQ'=A'P' B'P'.
顯然,A'B'
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