一詠三嘆 且行且思
-------關(guān)于“數(shù)學(xué)文化”的三次探索、實(shí)踐與思考
張齊華
數(shù)學(xué)是一種文化，它是人類文明的重要組成部分。而在當(dāng)下的數(shù)學(xué)課堂，原本屬于文化范疇的數(shù)學(xué)，如今正漸漸喪失著它的文化性，變得不那么“文化”了。教育語(yǔ)境下的數(shù)學(xué)，已經(jīng)開(kāi)始和文化背道而馳。對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)積累、數(shù)學(xué)技巧訓(xùn)練等工具性價(jià)值的過(guò)分關(guān)注，正在使數(shù)學(xué)本該擁有的文化氣質(zhì)和氣度一點(diǎn)點(diǎn)剝落、喪失。 “讓數(shù)學(xué)變得文化些，還數(shù)學(xué)以文化之本來(lái)面目”，已經(jīng)成為數(shù)學(xué)教育亟須關(guān)注、思考和探索的問(wèn)題。
2002年秋，一個(gè)偶然的機(jī)會(huì)，我開(kāi)始了關(guān)于“文化數(shù)學(xué)”的探索與實(shí)踐。如今，3年已過(guò)去?；仡欉@段時(shí)日，梳理走過(guò)的探索之路，收獲和成長(zhǎng)自在不言間。
“躊躇滿志”
——關(guān)于“走進(jìn)圓的世界”的嘗試
為了把握數(shù)學(xué)文化的內(nèi)涵，我開(kāi)始認(rèn)真閱讀大量有關(guān)數(shù)學(xué)文化方面的文獻(xiàn)資料，其間，西方數(shù)學(xué)教育中關(guān)于數(shù)學(xué)文化的論述給了我不小的影響。2003年秋季，適逢筆者參加某大型數(shù)學(xué)教學(xué)研討活動(dòng)。以“追尋數(shù)學(xué)課堂的文化意韻”為意圖，我選擇以“圓的認(rèn)識(shí)”這一經(jīng)典數(shù)學(xué)課例為藍(lán)本，進(jìn)行了新的探索和嘗試。
〔案例1〕“走進(jìn)圓的世界”及思考
片斷一: 師:其實(shí)，早在二千多年前，我國(guó)古代就有了關(guān)于圓的精確記載。墨子在他的著作中這樣描述:“圓，一中同長(zhǎng)也。”你能理解其中的意思嗎?
生:一中是指一個(gè)圓心，同長(zhǎng)則是指半徑或直徑同樣長(zhǎng)。
師:而中國(guó)古代的這一發(fā)現(xiàn)，要比西方整整早一千多年。聽(tīng)到這里，同學(xué)們感覺(jué)如何?
生:特別自豪和驕傲。
生:我覺(jué)得我國(guó)古代的人民非常有智慧。
師:其實(shí)，我國(guó)古代關(guān)于圓的研究和記載還遠(yuǎn)不止這些?！吨芘扑憬?jīng)》中有這樣一個(gè)記載，“圓出于方，方出于矩”，是說(shuō)最初的圓是由正方形不斷地切割而來(lái)(動(dòng)畫(huà)演示漸變過(guò)程)。現(xiàn)在，如果告訴你正方形的邊長(zhǎng)是0厘米，你能獲得關(guān)于圓的哪些信息?
生:陰陽(yáng)太極圖。
師:細(xì)細(xì)看來(lái)，陰陽(yáng)太極原來(lái)是由一個(gè)大圓和兩個(gè)同樣大的小圓組合而成?，F(xiàn)在，如果告訴你小圓的半徑是3厘米，你又能知道什么呢? （有點(diǎn)看不懂，要看視頻。）
片斷二: 師:其實(shí)，又何止是大自然對(duì)圓情有獨(dú)鐘，在我們生活的每一個(gè)角落，圓都扮演著重要的角色，并成為美的使者和化身。讓我們一起來(lái)欣賞—
(伴隨著優(yōu)美的音樂(lè)，如下的畫(huà)面一一展現(xiàn)在學(xué)生眼前:生活中的圓形拱橋、世界著名的圓形建筑、中國(guó)著名的圓形景德鎮(zhèn)瓷器、中國(guó)民間的圓形中國(guó)結(jié)、中國(guó)傳統(tǒng)的圓形剪紙、世界著名的圓形標(biāo)志設(shè)計(jì)等等。)
[思考]
研討活動(dòng)中，“走進(jìn)圓的世界”以其鮮明的“數(shù)學(xué)文化”特色而獲得成功。于是，作為反思和總結(jié)，我在教學(xué)后記中寫(xiě)下這樣一段:
“‘走進(jìn)圓的世界’一課，表達(dá)的正是對(duì)數(shù)學(xué)這樣一種文化的解讀。教學(xué)伊始，我們從最常見(jiàn)的自然現(xiàn)象引人，既巧妙滲透了圓的神奇魅力，激發(fā)了學(xué)生對(duì)圓的向往，又無(wú)形中滲透了‘大自然本身遵循一定的數(shù)學(xué)規(guī)律’這一西方數(shù)學(xué)文化的經(jīng)典思想;探究結(jié)束，我們介紹了中國(guó)古代關(guān)于圓的記載，從宏觀的歷史視野豐富學(xué)生的認(rèn)識(shí)視域，拓展了學(xué)生的精神世界;最后，我們更是借助‘解釋自然中的圓’和‘欣賞人文世界中的圓’等活動(dòng)，幫助學(xué)生在豐富多彩的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中層層鋪染、不斷推進(jìn)，努力使圓所具有的文化特性浸潤(rùn)于學(xué)生的心間，成為學(xué)生數(shù)學(xué)成長(zhǎng)的不竭動(dòng)力源泉，讓數(shù)學(xué)課堂擺脫原有的習(xí)慣思維與陰影，真正美麗、動(dòng)人起來(lái)。由此看來(lái)，要真正體現(xiàn)數(shù)學(xué)的文化特性，我們應(yīng)該對(duì)數(shù)學(xué)的發(fā)展史、數(shù)學(xué)的美以及數(shù)學(xué)與人類社會(huì)各領(lǐng)域的緊密聯(lián)系予以相當(dāng)?shù)年P(guān)注，這些都是體現(xiàn)數(shù)學(xué)文化的重要因素，是構(gòu)成數(shù)學(xué)文化內(nèi)涵的核心組成部分。”
“峰回路轉(zhuǎn)”
——因“軸對(duì)稱圖形”而引發(fā)的思考
2004年10月，在蘇州舉行的江蘇省青年教師數(shù)學(xué)教學(xué)研討會(huì)上，筆者有幸再度執(zhí)教觀摩課。為了彰顯一年多來(lái)在“數(shù)學(xué)文化”領(lǐng)域所作的探索，接到任務(wù)后，筆者十分自然地對(duì)本課教學(xué)作出了“充分展現(xiàn)數(shù)學(xué)文化的魅力”這一定位，并進(jìn)行了細(xì)致的思考。最終將課題定為“軸對(duì)稱圖形”，也是因?yàn)檫@一課例相對(duì)而言本身就具備較濃郁的文化要素，對(duì)于體現(xiàn)“數(shù)學(xué)文化”這一主題有一定的優(yōu)勢(shì)。
〔案例2〕為了彰顯“軸對(duì)稱圖形”的文化內(nèi)涵，類似地，筆者搜集了大量有關(guān)“軸對(duì)稱圖形”的資料，有自然景觀、有民間工藝、有商標(biāo)集錦、有經(jīng)典圖案……應(yīng)該說(shuō)，軸對(duì)稱圖形的美感及其文化內(nèi)涵在這一設(shè)計(jì)中得到了相當(dāng)充分的體現(xiàn)。
活動(dòng)如期舉行。如我所愿，本課教學(xué)同樣獲得成功。然而，由于活動(dòng)本身在于交流、研討，活動(dòng)結(jié)束后，由此而引發(fā)的關(guān)于“如何體現(xiàn)數(shù)學(xué)文化”的討論、爭(zhēng)鳴在更大范圍內(nèi)得以展開(kāi)，交流也更為深入、深刻。當(dāng)所有觀點(diǎn)交互碰撞、所有爭(zhēng)鳴趨于平靜后，一種關(guān)于“數(shù)學(xué)文化”的見(jiàn)解浮出水面，并對(duì)我原有的觀念造成沖擊。這里，僅擇主要觀點(diǎn)，以便論述。
觀點(diǎn)1:教學(xué)過(guò)程過(guò)分關(guān)注了“軸對(duì)稱圖形”的文化特性，“色彩”太濃，文化味太重，而相應(yīng)的數(shù)學(xué)味沒(méi)有得到應(yīng)有的體現(xiàn)，數(shù)學(xué)課堂“著力培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思考”這一目標(biāo)沒(méi)有得到足夠重視，課堂教學(xué)呈現(xiàn)出本末倒置的傾向。
觀點(diǎn)2:在一般人看來(lái)，這節(jié)課的最大看點(diǎn)似乎在大量對(duì)稱圖案、標(biāo)志、建筑的介人以及最后桂林山水和生物對(duì)稱性的滲透。這些固然很好地體現(xiàn)了軸對(duì)稱圖形的美與和諧，然而，我們以為，本課最為成功也最能充分彰顯數(shù)學(xué)文化魅力的地方不在于此，反而在認(rèn)識(shí)概念后師生圍繞“5個(gè)圖形中哪些是軸對(duì)稱圖形”所展開(kāi)的那一段精彩的教學(xué)對(duì)話。粗粗看來(lái)，內(nèi)容樸素?zé)o華，似與文化相去甚遠(yuǎn)，然而細(xì)細(xì)琢磨，這當(dāng)中所體現(xiàn)出的對(duì)于數(shù)學(xué)思維的有效關(guān)注和巧妙引導(dǎo)，對(duì)于數(shù)學(xué)思維品質(zhì)及數(shù)學(xué)思辯能力的培養(yǎng)，以及由思考而帶來(lái)的智力愉悅，恰恰彰顯了更為本質(zhì)的數(shù)學(xué)文化魅力。（要想實(shí)現(xiàn)對(duì)數(shù)學(xué)文化魅力的彰顯，其著重點(diǎn)并不在于對(duì)圖形美的欣賞與數(shù)學(xué)歷史性知識(shí)的滲透與傳達(dá)，而應(yīng)在于對(duì)數(shù)學(xué)思維的有效關(guān)注與巧妙引導(dǎo)，對(duì)數(shù)學(xué)思維品質(zhì)及數(shù)學(xué)思考的培養(yǎng)，以及由此所帶來(lái)的情感體驗(yàn)。）
觀點(diǎn)3:文化不是外在的附屬品。同樣，數(shù)學(xué)的文化訴求不應(yīng)從數(shù)學(xué)之外去找尋。從這一意義上講，本課對(duì)于軸對(duì)稱圖形所作的拓展與升華，固然為本課學(xué)習(xí)增添了亮色，但卻沒(méi)有涉及數(shù)學(xué)文化的本質(zhì)。數(shù)學(xué)最內(nèi)在的文化特性應(yīng)該是數(shù)學(xué)本身，應(yīng)該反映數(shù)學(xué)的個(gè)性，體現(xiàn)數(shù)學(xué)的思維魅力。如果數(shù)學(xué)課堂使學(xué)生真正感受到了思維的快樂(lè)，并且因?yàn)樗季S品質(zhì)的優(yōu)化和思維能力的提升，而使學(xué)習(xí)個(gè)體的本質(zhì)力量得到體現(xiàn)，那么，數(shù)學(xué)的文化張力也就真正得到了彰顯。這里，我們同樣欣賞師生圍繞“5個(gè)圖形是否為軸對(duì)稱圖形”所作的交流，因?yàn)樗w現(xiàn)了數(shù)學(xué)內(nèi)在的文化力量。
應(yīng)該說(shuō)，倘若沒(méi)有這些評(píng)論，我一定會(huì)忽略關(guān)于“5 個(gè)平面圖形”的討論這一環(huán)節(jié)。至少，我不會(huì)將其和“數(shù)學(xué)文化”聯(lián)系在一起。于是，為了印證這些評(píng)述，我對(duì)照光盤(pán)，翔實(shí)記錄下了這段對(duì)話。
片斷三:
認(rèn)識(shí)軸對(duì)稱圖形的概念后，教師出示如下5個(gè)平面圖形:
師:觀察這些平面圖形，你覺(jué)得哪些是軸對(duì)稱圖形，哪些不是?
生1:我覺(jué)得五邊形和圓是軸對(duì)稱圖形，其他都不是。
生2:我認(rèn)為這5個(gè)圖形都是軸對(duì)稱圖形。
生3:我覺(jué)得第一個(gè)和第三個(gè)不是，其余都是……
師:同學(xué)們就這一問(wèn)題發(fā)表了不同見(jiàn)解。那究竟該聽(tīng)誰(shuí)的?
生4:動(dòng)手試一試吧。
師:對(duì)呀。當(dāng)意見(jiàn)出現(xiàn)分歧時(shí)，不如親自動(dòng)手試一試，用事實(shí)來(lái)說(shuō)話! (學(xué)生拿出這5個(gè)圖形動(dòng)手操作、驗(yàn)證。)
師:動(dòng)手實(shí)驗(yàn)后，大家對(duì)這一問(wèn)題一定有了更加深入的認(rèn)識(shí)。誰(shuí)來(lái)說(shuō)說(shuō)?
生5:一開(kāi)始，我以為這個(gè)三角形是軸對(duì)稱圖形，現(xiàn)在我認(rèn)為它不是了。因?yàn)榘讶切螌?duì)折后，發(fā)現(xiàn)兩邊沒(méi)有完全重合，所以它不是軸對(duì)稱圖形。
生6:我想說(shuō)這個(gè)平行四邊形。原以為它是軸對(duì)稱圖形，可是把它對(duì)折后，我才發(fā)現(xiàn)它并不是。
生7:老師，我不同意他(生6)的觀點(diǎn)。我也把平行四邊形對(duì)折，它是一個(gè)軸對(duì)稱圖形。
師:關(guān)于平行四邊形，出現(xiàn)了兩種截然不同的觀點(diǎn)。(教師統(tǒng)計(jì)全班的觀點(diǎn))兩種觀點(diǎn)勢(shì)均力敵，那就用事實(shí)來(lái)說(shuō)話吧。正方先亮出你們的觀點(diǎn)。
生8:我把這個(gè)平行四邊形對(duì)折后，發(fā)現(xiàn)兩邊是兩個(gè)完全一樣的梯形，所以我們認(rèn)為它是一個(gè)軸對(duì)稱圖形。
生9:我們反對(duì)。雖然對(duì)折后兩邊大小一樣，但并沒(méi)有完全重合，你看，這邊多出了一些，而那邊又少了一些，不符合軸對(duì)稱圖形的定義。
師:嗯，抓住軸對(duì)稱圖形的特點(diǎn)進(jìn)行分析。
生10:我反對(duì)。雖然對(duì)折后兩邊沒(méi)有完全重合，但只要我們沿著折痕剪開(kāi)，換一個(gè)方向后兩邊就能完全重合了，所以我們認(rèn)為它是一個(gè)軸對(duì)稱圖形。
生9:可是，黑板上寫(xiě)得清清楚楚，只有對(duì)折后兩邊完全重合，才算是軸對(duì)稱圖形。剪開(kāi)后兩邊重合是不算的。
生11:(補(bǔ)充)不然，黑板上應(yīng)該寫(xiě)“對(duì)折剪開(kāi)后兩邊完全重合”了。
生12:再說(shuō)，如果剪開(kāi)的話，原來(lái)圖形的特點(diǎn)已經(jīng)被破壞了，最多只能說(shuō)現(xiàn)在的圖形是軸對(duì)稱圖形而已。
師:在這么多事實(shí)面前，你們(另一方)還有什么想 說(shuō)的嗎?
生8:我也同意它不是軸對(duì)稱圖形了。(這時(shí)，他的同桌又將手高高舉起。)
生13:我還有補(bǔ)充。如果平行四邊形的四條邊長(zhǎng)度一樣，變成一個(gè)菱形的話，那它就是一個(gè)軸對(duì)稱圖形。 (面對(duì)他突如其來(lái)的補(bǔ)充，筆者也頗感意外，并臨時(shí)剪了一個(gè)菱形。)
師:請(qǐng)你給大家說(shuō)說(shuō)，為什么它是一個(gè)軸對(duì)稱圖形。
生13:(邊折邊說(shuō))把它對(duì)折后，兩邊完全重合，所以它是一個(gè)軸對(duì)稱圖形。
師:你的發(fā)現(xiàn)告訴了我們，也許一般的平行四邊形不是軸對(duì)稱圖形，但有些特殊的平行四邊形卻是軸對(duì)稱圖形，比如菱形。
生14:我覺(jué)得還有長(zhǎng)方形和正方形，它們對(duì)折后也能完全重合。
生15:既然這樣，我覺(jué)得屏幕上這個(gè)三角形雖不是軸對(duì)稱圖形，但有些特殊的三角形卻是的，比如等腰三角形和等邊三角形。
(教師給出這兩種三角形，引導(dǎo)學(xué)生上臺(tái)操作)
師:能從平行四邊形自覺(jué)聯(lián)想到三角形，這是多么有益的一種學(xué)習(xí)方法啊!
生10:我想說(shuō)這個(gè)正五邊形。通過(guò)對(duì)折，我發(fā)現(xiàn)它是一個(gè)軸對(duì)稱圖形，但如果它不是正五邊形，那它就不是了。
(正在這時(shí)，筆者發(fā)現(xiàn)有位學(xué)生畫(huà)了這么一個(gè)五邊形 ，教師順勢(shì)拿起這個(gè)圖形，放在實(shí)物展臺(tái)上。)
師:瞧，這位同學(xué)畫(huà)了這樣一個(gè)五邊形，想象一下，它是軸對(duì)稱圖形嗎?(是！)看來(lái)，除了正五邊形外，有些特殊的五邊形同樣也是軸對(duì)稱圖形。
生17:我認(rèn)為圓是一個(gè)軸對(duì)稱圖形，因?yàn)榘阉鼘?duì)折后兩邊能完全重合。而且圓的直徑就是它的對(duì)稱軸。
師:能和圓的其他知識(shí)聯(lián)系起來(lái)進(jìn)行思考，真不錯(cuò)。不過(guò)，準(zhǔn)確地說(shuō)，直徑所在的直線才是圓的對(duì)稱軸， 你們說(shuō)是嗎?(是。) （這一知識(shí)學(xué)生是無(wú)法自己用語(yǔ)言表達(dá)出來(lái)的，所以教師在充分肯定該學(xué)生的發(fā)言的同時(shí)，又給出了正確的說(shuō)法。這樣既沒(méi)有打擊學(xué)生的積極性，又使學(xué)生明白了數(shù)學(xué)本身所具有的邏輯性和數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)的準(zhǔn)確性。）
生18:我還想補(bǔ)充，不管什么圓，它都是軸對(duì)稱圖形。
師:你的補(bǔ)充很有見(jiàn)地。討論平行四邊形、梯形、三角形時(shí)，我們既要考慮一般的情況，又要考慮特殊的情形。但圓就不同，所有的圓都是軸對(duì)稱圖形，不存在什么特殊的情況?？磥?lái)，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，具體的問(wèn)題還真得具體對(duì)待。你的補(bǔ)充讓我們的思考又向前邁進(jìn)了一步! （從這個(gè)案例中，我們不難看出教者對(duì)學(xué)生的評(píng)價(jià)與點(diǎn)撥是如此的恰到好處！值得學(xué)習(xí)?。?div style="height:15px;">
[思考]
透過(guò)樸實(shí)無(wú)華的教學(xué)實(shí)錄本身，我們發(fā)現(xiàn)，短短的教學(xué)時(shí)空里，學(xué)生不僅對(duì)“5個(gè)平面圖形中哪些是軸對(duì)稱圖形，哪些不是”這一問(wèn)題獲得了清晰、深刻的認(rèn)識(shí)，更由此引申開(kāi)去，在對(duì)話和思辯中獲得了對(duì)一般和特殊的辯證思考，對(duì)直覺(jué)猜測(cè)與實(shí)踐驗(yàn)證復(fù)雜統(tǒng)一性的深刻體會(huì)，對(duì)思維全面性和深刻性的豐富體驗(yàn)等。（這是本環(huán)節(jié)中最大的收獲。）特定的時(shí)空里，學(xué)生的思維始終處于積極活躍的狀態(tài)，他們盡享因數(shù)學(xué)思考而帶給他們的思維的確定性、變通性、靈活性、辯證性。數(shù)學(xué)的真理感、數(shù)學(xué)思考的內(nèi)在美、數(shù)學(xué)豐富的思維方式等，正是在這樣一種潤(rùn)物無(wú)聲的對(duì)話和思辯過(guò)程中悄悄滋潤(rùn)著學(xué)生心靈，化作學(xué)生思考的力量源泉。
清楚地記得，當(dāng)執(zhí)教完“走進(jìn)圓的世界”一課后，有人提出，“雖然這節(jié)課的文化味體現(xiàn)得很充分，但普通的數(shù)學(xué)課，比如計(jì)算，比如應(yīng)用題，再比如一般的概念教學(xué)，如何體現(xiàn)數(shù)學(xué)的文化特性?”那一刻，我無(wú)以答復(fù)。如今想來(lái)，當(dāng)時(shí)的無(wú)言以對(duì)，背后折射出的恰恰是自己對(duì)數(shù)學(xué)文化片面、狹隘的理解。
的確，文化不是外在附屬品。數(shù)學(xué)文化也不是簡(jiǎn)單意義上的“數(shù)學(xué)十文化”。在關(guān)注數(shù)學(xué)歷史性和數(shù)學(xué)美的同時(shí)，我們更應(yīng)該對(duì)數(shù)學(xué)文化有一種更為家常的樸素理解:文化者，以文化人也。數(shù)學(xué)真正的文化要義在于，它可以最大限度地張揚(yáng)數(shù)學(xué)思考的魅力，并改變一個(gè)人思考的方式、方法、視角。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)一旦使學(xué)生感受到了思維的樂(lè)趣，使學(xué)生領(lǐng)悟了數(shù)學(xué)知識(shí)的豐富、數(shù)學(xué)方法的精巧、數(shù)學(xué)思想的博大、數(shù)學(xué)思考的美妙，那么，數(shù)學(xué)的文化價(jià)值必顯露無(wú)遺。(這是對(duì)數(shù)學(xué)文化的真正理解。而作為教育者應(yīng)使學(xué)生通過(guò)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)盡可能地感受到了思維的樂(lè)趣，領(lǐng)悟了數(shù)學(xué)知識(shí)的豐富、數(shù)學(xué)方法的精巧、數(shù)學(xué)思想的博大、數(shù)學(xué)思考的美妙。)從這一意義上講，數(shù)學(xué)文化又怎會(huì)僅屬于“圓”和“軸對(duì)稱圖形”?任何數(shù)學(xué)課堂.我們都可以觸摸到數(shù)學(xué)文化的脈搏，因?yàn)?，擁有思考，便擁有了?shù)學(xué)的文化力量。
“柳暗花明”
——“因數(shù)和倍數(shù)”一課及其他
為了使新的思考轉(zhuǎn)化為現(xiàn)實(shí)的課堂實(shí)踐，2005年春，我又開(kāi)始了新的關(guān)于數(shù)學(xué)文化的探索。這次選擇的是一節(jié)普通的數(shù)學(xué)概念課—“因數(shù)和倍數(shù)”，沒(méi)有圖形的直觀和具象，也沒(méi)有豐富、直接的現(xiàn)實(shí)背景作支撐，一切從樸素中開(kāi)始。限于篇幅，此處只呈現(xiàn)當(dāng)時(shí)的教學(xué)預(yù)案。
[案例3]“因數(shù)和倍數(shù)”預(yù)案及思考
活動(dòng)1:巧用模型，建構(gòu)意義
教師出示12個(gè)完全相同的小正方形，引導(dǎo)學(xué)生在頭腦中將它們擺成一個(gè)長(zhǎng)方形，并試著用乘法算式將相應(yīng)的擺法有序地表示出來(lái)。
在此基礎(chǔ)上，師生共同建構(gòu)因數(shù)和倍數(shù)的意義。在此基礎(chǔ)上，結(jié)合具體內(nèi)容，引導(dǎo)學(xué)生感受因數(shù)和倍數(shù)的相互依存性和辯證關(guān)系，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思考。
活動(dòng)2:自主探究，提升思考
明確概念內(nèi)涵后，教師引導(dǎo)學(xué)生自主研究“36的因數(shù)”和“3的倍數(shù)”?？紤]到學(xué)生在認(rèn)知背景、思維品質(zhì)及思維方式上的差異，學(xué)生中勢(shì)必會(huì)出現(xiàn)不一樣的思考過(guò)程和結(jié)果。此時(shí)，教師應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生將自己的數(shù)學(xué)思考展示出來(lái)，在師生之間多維地對(duì)話、思辯、質(zhì)疑、爭(zhēng)論的過(guò)程中，彼此取長(zhǎng)補(bǔ)短，相互吸納。
活動(dòng)3:激化沖突，活化思維
引導(dǎo)學(xué)生分別思考:在1-10這些自然數(shù)中，哪些數(shù)一定是20、口4和口口這些兩位數(shù)的因數(shù)。
開(kāi)放而充滿智力挑戰(zhàn)的問(wèn)題情境，學(xué)生在認(rèn)知沖突中展開(kāi)思維，尋求結(jié)論，并在思維和對(duì)話中使自身的認(rèn)識(shí)從粗放走向細(xì)膩和深刻，相應(yīng)的數(shù)學(xué)知識(shí)也在交流中得以有效滲透。
活動(dòng)4:探尋規(guī)律，感受奧秘教師引導(dǎo)學(xué)生利用9顆珠子，在計(jì)數(shù)器上分別撥出不同的兩位數(shù)。并引導(dǎo)他們觀察并思考，這些數(shù)和9 之間有沒(méi)有什么特殊的聯(lián)系?在此基礎(chǔ)上，再自然引導(dǎo)學(xué)生展開(kāi)聯(lián)想、猜測(cè):8顆、7顆,6顆……珠子撥出的兩位數(shù)，會(huì)不會(huì)也是8,7,6……的倍數(shù)。由此，開(kāi)放而充滿召喚的問(wèn)題情境，豐富而多變的數(shù)學(xué)規(guī)律，使原本枯燥、乏味的數(shù)字綻放神奇的力量。
活動(dòng)5:內(nèi)部拓展，彰顯魅力
先引導(dǎo)學(xué)生猜一猜100以內(nèi)的自然數(shù)中誰(shuí)的因數(shù)最多。當(dāng)最終的結(jié)果“60”出人意料地展現(xiàn)在學(xué)生面前時(shí)，教師再適時(shí)介紹((數(shù)字王國(guó)—世界共通的語(yǔ)言)(《數(shù)學(xué)王國(guó)——世界共通的語(yǔ)言》中是怎樣描述“時(shí)分秒進(jìn)率為60 ”的？)一書(shū)中關(guān)于“時(shí)分秒進(jìn)率為60”的原因的描述，并進(jìn)一步拓展到“1日＝24時(shí)”"1年=12月”中 24,12的來(lái)由。既激發(fā)學(xué)生的探究興趣，引領(lǐng)學(xué)生感受數(shù)字在人類歷史發(fā)展進(jìn)程中的神奇作用，更激活學(xué)生的辯證思考，體會(huì)數(shù)的大小與因數(shù)多少之間的復(fù)雜關(guān)系，獲得對(duì)于因數(shù)更為立體、更加深刻的理解。
接著，再引領(lǐng)學(xué)生走進(jìn)和因數(shù)有著密切關(guān)聯(lián)的另一特殊數(shù)學(xué)現(xiàn)象:“完美數(shù)”，(什么是“完美數(shù)”。)在認(rèn)一認(rèn)、找一找、比一比的過(guò)程中，引導(dǎo)學(xué)生感受完美數(shù)的美妙結(jié)構(gòu)，體會(huì)數(shù)學(xué)家對(duì)于完美數(shù)的無(wú)窮探究興趣(前100億個(gè)自然數(shù)中，只找到6個(gè)完美數(shù)，需要數(shù)學(xué)家們付出怎樣的執(zhí)著和艱辛)，間接體驗(yàn)數(shù)學(xué)的內(nèi)在魅力，以及數(shù)學(xué)家孜孜以求、不斷超越的數(shù)學(xué)探索精神。
活動(dòng)6:溝通聯(lián)系，豐富內(nèi)涵。從兩千多年前古希臘人最初從因數(shù)、倍數(shù)角度研究音樂(lè)，到希臘建筑中大量倍數(shù)關(guān)系的存在與其雄偉、牢固、美觀之間的內(nèi)在聯(lián)系。(倍數(shù)、因數(shù)與音樂(lè)建筑之間有著怎樣的聯(lián)系呢？)在此基礎(chǔ)上，再?gòu)?#8220;數(shù)論”(什么是數(shù)論？) 的角度重新關(guān)照“因數(shù)和倍數(shù)”，使新的知識(shí)在深度和高度上獲得提升。
很難說(shuō)這是一次成功的探索，或者說(shuō)它已經(jīng)體現(xiàn)了數(shù)學(xué)文化之真義。但有兩點(diǎn)是可以肯定的。其一，擺脫“空間和圖形”領(lǐng)域，將探索觸角伸向“數(shù)與代數(shù)”，選擇枯燥的“因數(shù)和倍數(shù)”這一內(nèi)容，本身反映的便是一種求真、務(wù)實(shí)的研究態(tài)度，一種對(duì)各類型數(shù)學(xué)課堂中如何體現(xiàn)數(shù)學(xué)文化問(wèn)題的自覺(jué)追求。其二，在思考和研究這一課時(shí)，能自覺(jué)跳出“數(shù)學(xué)十文化”的窠臼，從更為開(kāi)闊、全面、辯證的視角理解并構(gòu)建數(shù)學(xué)文化課堂。尤其是從以往對(duì)數(shù)學(xué)歷史資料的簡(jiǎn)單引人，到本課全面關(guān)注學(xué)生數(shù)學(xué)思考的提升、數(shù)學(xué)思維方式的培養(yǎng)，關(guān)注數(shù)學(xué)精神品質(zhì)的有機(jī)滲透等(這些在教學(xué)預(yù)案中均有描述)。
不是尾聲
如今，細(xì)細(xì)想來(lái)，數(shù)學(xué)不只是知識(shí)和方法的簡(jiǎn)單匯聚，它應(yīng)該是一個(gè)開(kāi)放的文化體系，是人類智慧和創(chuàng)造力的結(jié)晶。它在給予我們知識(shí)與方法的同時(shí)，更以一種文化的姿態(tài)改變?nèi)祟惖乃伎计焚|(zhì)，拓展人類的視野，豐富人類的精神世界，增進(jìn)人的本質(zhì)力量。數(shù)學(xué)的文化特征不僅僅只在于數(shù)學(xué)的歷史性和美學(xué)價(jià)值，凝聚在數(shù)學(xué)之中的美妙絕倫的數(shù)學(xué)思維方法、探索不止的數(shù)學(xué)精神、求真臻善達(dá)美的數(shù)學(xué)品格，對(duì)于一個(gè)人全面和諧的發(fā)展，都具有極為重要的意義?？梢哉f(shuō)，數(shù)學(xué)是“真”、“善”、“美”的完美集合!因而，我們?cè)诔姓J(rèn)和弘揚(yáng)數(shù)學(xué)工具價(jià)值的同時(shí)，更應(yīng)該看到它的文化價(jià)值，并借助日常的數(shù)學(xué)教育實(shí)踐，使其外化為一種現(xiàn)實(shí)的數(shù)學(xué)影響，努力彰顯數(shù)學(xué)的文化品性，真正使數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)成為學(xué)生獲得知識(shí)、形成方法、感悟價(jià)值、提升精神的生命歷程。 （筆者從自身理解的什么是數(shù)學(xué)、數(shù)學(xué)的文化特征以及教師在教學(xué)中應(yīng)如何滲透數(shù)學(xué)文化的價(jià)值三個(gè)方面進(jìn)行了概述。比較深刻。）
閱讀感想：通過(guò)張老師對(duì)于“數(shù)學(xué)文化”的三次探索、實(shí)踐與思考，我們不難發(fā)現(xiàn)張老師是一位及實(shí)踐與思考于一身的研究型實(shí)踐者的教師。他那一路走來(lái)的歷程彰顯了他對(duì)“數(shù)學(xué)文化”理解的不斷深入。而同時(shí)我們也可以看出要想在數(shù)學(xué)教學(xué)中弘揚(yáng)數(shù)學(xué)工具價(jià)值的同時(shí)，又能使學(xué)生接收到數(shù)學(xué)文化價(jià)值的感染和熏陶，那么教師必須博古通今，具備廣博的數(shù)學(xué)知識(shí)和深厚的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。而事實(shí)上，也只有這樣的教師才能從數(shù)學(xué)的知識(shí)系統(tǒng)中看到它的文化價(jià)值，才能借助日常的數(shù)學(xué)教育實(shí)踐彰顯數(shù)學(xué)的文化品性。這是當(dāng)前的我所最最缺乏的，也必將是我今后學(xué)習(xí)和努力的方向。
