福利總是留給
瀏覽到底的人
唐朝詩人李頎的詩《古從軍行》開頭兩句說:'白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河。'詩中隱含著一個有趣的數(shù)學問題。
傳說亞歷山大城有一位精通數(shù)學和物理的學者，名叫海倫。一天，一位羅馬將軍專程去拜訪他，向他請教一個百思不得其解的問題。
將軍每天從軍營A出發(fā)，先到河邊飲(yìn)馬，然后再去河岸同側的B地開會，應該怎樣走才能使路程最短?
從此，這個被稱為'將軍飲馬'的問題廣泛流傳。
這個問題的解決并不難，據(jù)說海倫略加思索就解決了它。
抽象為數(shù)學模型：直線l同側有兩個定點A、B,請在直線l上找一點C,使AC+BC最小。
假設點A、B在直線l的異側就好了，這樣我們就可以利用【點到點最值模型：兩點之間線段最短】找到點C的位置了。即連接AB交直線l于點C。
因此，我們可以找點A關于直線l的對稱點，再連接A’B交直線l于點C，點C即為所求！
如果將軍在河邊的另外任一點C'飲馬，
所走的路程就是AC'+C'B但是，AC'+C'B=A'C'+C'B>A'B=A'C+CB=AC+CB.故在點C處飲馬，路程最短。
掌握了這個“將軍飲馬模型”的原理和結論后，我們來具體挑戰(zhàn)一下吧！
第一關：角中應用
1、如圖，已知兩點P、Q在銳角∠AOB內(nèi)，分別在OA、OB上求點M、N，使PM＋MN＋NQ最短．
解析：如圖，分別作點P、點Q關于OA、OB的對稱點P’,Q’,分別交OA、OB于點M、點N。
PM＋MN＋NQ=P’M+MN+N’Q,當點Q’,P’,M,N共線時，最小為P’Q’。
第二關：三角形中應用
2、已知，如圖△ABC為等邊三角形，高AH=10cm，P為AH上一動點，D為AB的中點，則PD+PB的最小值為______cm.
解析：連接PC，∵△ABC為等邊三角形，
D為AB的中點，
∴PD+PB的最小值為：
PD+PB=PC+PD=CD=AH=10cm.
第三關：四邊形中應用
3、如圖,正方形ABCD的邊長為8,M在DC上,且DM=2,N是AC上一動點,則DN+MN的最小值為
解析：如圖，連接BM，
∵點B和點D關于直線AC對稱，
∴NB=ND，
則BM就是DN+MN的最小值，
∵正方形ABCD的邊長是8，DM=2，
∴CM=6，
∴由勾股定理得BM=10，
∴DN+MN的最小值是10.
第四關：圓中應用
4、如圖,MN是O的直徑,MN=2,點A在O上,∠AMN=30°，B為弧AN的中點，P是直徑MN上一動點，則PA+PB的最小值為___.
解析：作點B關于MN的對稱點C，連接AC交MN于點P，則P點就是所求作的點。
此時PA+PB最小，且等于AC的長。
連接OA，OC，
∵∠AMN=30°，
∴∠AON=60°，
∴弧AN的度數(shù)是60°，
則弧BN的度數(shù)是30°，
根據(jù)垂徑定理得弧CN的度數(shù)是30°，
則∠AOC=90°，又OA=OC=1，
則AC=√2
第五關：二次函數(shù)中應用
5、如圖，在直角坐標系中，點A，B，C的坐標分別為（-1，0），（3，0），（0，3），過A，B，C三點的拋物的對稱軸為直線l，D為對稱軸l上一動點．
（1）求拋物線的解析式；
（2）求當AD+CD最小時點D的坐標；
解析：（1）設y=a(x+1)(x-3),將（0，3）代入得a=-1,故y=-(x+1)(x-3)
(2)在x軸上任找一點D,連接AD、BD,則AD=BD，故AD+CD=BD+CD最小值為BC,易得直線BC的表達式為y=-x+3，對稱軸x=1,則y=-1+3=2,故此時D(1，2)
#福利#
僅限500位粉絲，加滿即止！
VOA數(shù)學（學生qq群）:646642709
VOA數(shù)學（教師qq群）:796780274
傳播數(shù)學文化，點亮校園生活！
聯(lián)系客服
