正當人們對光的本質感到困惑之時，一些更讓人吃驚的現(xiàn)象陸續(xù)被發(fā)現(xiàn)。
1924年，法國物理學家德布羅意提出一個大膽的假設：不僅光具有波動性，一切微觀粒子都具有波動特征，并推導出粒子波的波長公式λ=h/p。其中，λ是粒子波長，h是普郎克常量，p是粒子動量（利用愛因斯坦質能方程E=mc2和光量子假設E=hν就可以直接推導出來）。三年之后，戴維孫和革末以及后來的湯姆遜設計實驗，得到了電子衍射圖像，從而證實了德布羅意假設，即微觀粒子也具有波粒二象性。
人們將德布羅意提出的波稱為物質波或德布羅意波。后來的實驗還證實，其他實物粒子如原子，分子，質子，中子等也同樣具有波動性，并且也符合德布羅意公式（運動的宏觀物體也具有波粒二相性，但因為其波長相對于物體的尺寸來說太小，完全可以忽略不計，所以感覺不到）。
物質波的發(fā)現(xiàn)，革命性地改變了人們對物質本質的看法。因為，波本質上是物質的振動，或者說是能量在空間中的傳播，它與實物粒子大不相同，實物粒子遵循經典力學定律，而波卻不是。相反，波有些獨特特性是實物粒子所不具備的，比如疊加、頻率、波長等等。例如，海森堡（W.Heisenberg）從粒子的波粒二相性出發(fā)，于1927年推導出測不準關系。他得出粒子在某時刻的位置不確定量Δx和動量的不確定量Δp的乘積大于等于常量：
ΔxΔp ≥ ?
其中， ? 等于普朗克常量除以2π. 這意味著，位置和動量如果有一個測量更精確了（Δx或Δp越?。硗庖粋€必定更加不確定（Δp或Δx越大）。這與經典物理的認識大相徑庭，經典物理認為一切物理量至少在理論上是可以精確測量知曉的。但是，測不準原理卻指出，對于粒子的基本物理量不能精確確定。測不準關系是物質波動性質引起的，它揭示了在微觀領域，一些基本的物理量（比如粒子的位置）是不可以精確知曉的，這些物理量存在不確定性，所以測不準關系又稱為不確定性原理。如果粒子位移和動量不能精確的知曉，經典力學的定律將對其失效，因為在經典力學中，一個系統(tǒng)的任意時刻的運動狀態(tài)可以用坐標、動量以及運動軌跡來描述。所以，因為物質波的存在，我們不能將微觀粒子視為像宏觀物體一樣的實物去研究了，需要構造新的力學模型來解釋微觀粒子的運動規(guī)律，這就是量子力學的產生背景。
既然微觀粒子具有波動特征，接下來的問題就是如何去描述粒子的波動？對于機械波，距離振源x遠處的質點振動方程可以寫為
其中，ν是波的頻率，A是波的振幅，函數(shù)值y表示距離振源x遠處的質點在t時刻的位移（位置和移動方向）?？梢詤⒖枷旅鎴D示
沿x軸傳播的平面余弦機械波。在距離震源O點x遠處的質點，在t時刻正在向上移動。當它移動到A高度后，開始向下移動，直到移動到y(tǒng)軸反方向的A高度后，再調轉方向，如此循環(huán)。但這個質點不會在波的傳播方向x軸方向上有任何位移。
利用歐拉公式
上述x處質點振動函數(shù)可以改寫為復指數(shù)形式（復數(shù)的實部就是上述公式）：
其中，i為虛數(shù)單位，e為自然對數(shù)底。如果用光量子假設E=hν和德布羅意波長公式λ=h/p，代人上式，就可以仿照機械波，得到自由的實物粒子在x位置t時刻的波動方程(換個函數(shù)符號以和機械波區(qū)別):
與機械波不同的是，實物粒子的波函數(shù)的值是沒有什么直觀物理意義的。
波函數(shù)的值ψ代表了什么，一時間沒有人能解釋其物理意義。波恩（M.Born）在1926年給出了波函數(shù)的統(tǒng)計解釋，他認為波函數(shù)雖然沒有直觀物理意義，但是其模的平方（|ψ|2）卻表示粒子在空間中被發(fā)現(xiàn)的概率。波函數(shù)是一個關于時間和空間位置的數(shù)學函數(shù)，它描述在空間位置x處發(fā)現(xiàn)粒子的概率，它是一個概率波，對應的是大量粒子的統(tǒng)計結果，對于單個具體的粒子來說，仍然無法精確確定其位置，具體在哪里能找到它，還得碰運氣。所以，微觀粒子的波動性，就是體現(xiàn)在其物理屬性（比如位置）的不確定性上，而這種不確定性恰好以波動的形式存在。波恩的解釋與海森寶測不準關系相呼應。后來，薛定鄂在總結粒子波動性特征的基礎上，建立了薛定鄂方程。
薛定諤曾經提出的一個著名的思想實驗：將一只貓關在裝有少量鐳和氰化物的密閉容器里。鐳的衰變存在幾率，如果鐳發(fā)生衰變，會觸發(fā)機關打碎裝有氰化物的瓶子，貓就會死；如果鐳不發(fā)生衰變，貓就存活。根據(jù)量子力學理論，由于放射性的鐳處于衰變和沒有衰變兩種狀態(tài)的疊加，貓就理應處于死貓和活貓的疊加狀態(tài)。這只既死又活的貓就是所謂的“薛定諤貓”。
薛定鄂方程描述了波函數(shù)在時間上的變化和空間上變化之間的關系。薛定鄂方程描述了波函數(shù)必須滿足的種種條件，可以用于求解粒子的波動函數(shù)，已經成為量子力學的基礎。必須指出，與牛頓第二定律一樣，薛定鄂方程既不能由經典力學導出，也不能以邏輯推理加以證明，人們只能根據(jù)實驗結果憑借信心接受。
量子理論顛覆了人們對物質本質的認識，且會引發(fā)一些發(fā)生不可思議的現(xiàn)象，比如薛定諤貓就是一個例子，我們很難想象半死半活的貓是一種什么狀態(tài)，但它卻與量子理論不相違背。進一步的實驗表明，微觀尺度的物質特征確實和我們感受到的宏觀物質大相徑庭，牛頓經典力學定律對其無效，無法描述它們的運行。更加難以解釋的是，物質的表現(xiàn)行為與人的意識有關，比如薛定諤貓在沒有打開箱子觀察之前，是半死半活狀態(tài)，一旦有人打開箱子，貓只能是死或者活著的狀態(tài)。有人參與和無人參與完全是兩種不同的結果。
