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世間萬事不變中有變，變中亦有不變！年年有春夏秋冬四季，但年年有所不同，或春季更長(zhǎng)或秋季更短，或夏天更熱或冬天更冷，但支配其變化的因素往往又是不變的。

數(shù)學(xué)亦如此，既要關(guān)注由于題目細(xì)微變化所帶來的數(shù)、形的變化，也要善于從變化中尋找不變的量、不變的關(guān)系。

2017年松江二模第25題

如圖，已知Rt△ABC 中，∠ACB=90°，BC=2，AC=3，以點(diǎn)C為圓心、CB為半徑的圓交AB于點(diǎn)D，過點(diǎn)A作AE∥CD，交BC延長(zhǎng)線于點(diǎn)E.若點(diǎn)P是 CE延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，直線AP、CD交于點(diǎn)Q. 如果以點(diǎn)A為圓心，AQ為半徑的圓與⊙C相切，求CP的長(zhǎng)（經(jīng)改編，選取最后一問）

處理圓圓關(guān)系問題，關(guān)鍵要梳理三條信息：兩圓半徑與圓心距，就本題而言，圓C的半徑=2，AC=3，如果設(shè)所求的CP長(zhǎng)為x，則本題的關(guān)鍵是用x表示圓A的半徑長(zhǎng)AQ。

根據(jù)題意，重新畫圖，能初步判斷何為定點(diǎn)。① 直角三角形ABC；② 以C為圓心BC為半徑確定做圓交邊AB于點(diǎn)D（點(diǎn)D是定點(diǎn)?。?/strong>；③ 過點(diǎn)A做AE∥DC交BC延長(zhǎng)線于點(diǎn)E（點(diǎn)E是定點(diǎn)）；④ 在CE延長(zhǎng)線上取點(diǎn)P，聯(lián)結(jié)PA并延長(zhǎng)交CD延長(zhǎng)線于點(diǎn)Q（點(diǎn)P、Q是動(dòng)點(diǎn)）。

只要“定”就可以“求出”！如下圖，由于DC=BC，所以AE=BE，設(shè)CE=x，在Rt△ACE中運(yùn)用勾股定理列出方程：9 x^2=(2 x)^2，解得CE=x=5/4

繼而根據(jù)A字型，即可表述出AQ的長(zhǎng)。

隨即根據(jù)AQ=1（外切），AQ=5（內(nèi)切）解方程即可，最終由于外切的方程無解，只留下兩圓內(nèi)切時(shí)的解。

2017年青浦二模第25題

如圖，已知扇形MON的半徑為√2，∠MON=90°  ，點(diǎn)B在弧MN上移動(dòng)，聯(lián)結(jié)BM，作OD⊥BM，垂足為點(diǎn)D，C為線段OD上一點(diǎn)，且OC=BM，聯(lián)結(jié)BC并延長(zhǎng)交半徑OM于點(diǎn)A，設(shè)OA= x，∠COM的正切值為y． ……

（2）求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式并寫出定義域

（3）……

本題筆者一開始竟然一籌莫展，“恥辱”地翻開答案，答案中給出的輔助線是：取AM的中點(diǎn)E，聯(lián)結(jié)DE，

于是AM=√2-x，OE=(√2 x)/2，

y=tan∠COM=DM:OD=(1/2)BM:OD

=(1/2)OC:OD=(1/2)OA:OE

=x/(√2 x) (0<x≤√2)

看到答案后，筆者雖然會(huì)做了，但更困惑于這條“神奇”的輔助線，難道僅僅是因?yàn)橹悬c(diǎn)，加的中位線嗎？直覺告訴筆者，本題有更大的秘密有待挖掘，于是筆者從重新標(biāo)注條件著手，開始探索……

本題對(duì)于∠COM而言，已經(jīng)有了現(xiàn)成的直角三角形（Rt△ODM），

所以tan∠COM=DM:OD=(1/2)BM:OD=(1/2)OC:OD，

其實(shí)要求的就是線段OD上的分點(diǎn)C，將線段OD分成了幾比幾？

再看看周圍，點(diǎn)D是線段BM的中點(diǎn)，OA:AM=x:(√2-x)，再排除干擾因素半圓和半徑OB，問題的本質(zhì)浮出水面（如下圖）：

直線AB截△ODM，交邊OM、OD和線段MD的延長(zhǎng)線分別于點(diǎn)A、C、B，已知DB:BM=1:2,OA:AM=x:(√2-x)，

求OC:OD(用含有x的代數(shù)式表示）

這就是典型梅氏截線型，在上海教材中屬于需要掌握的重點(diǎn)問題，通?？梢酝ㄟ^十幾種加平行線的方法解決，筆者僅在此列舉三種比較便捷的方法。由此可見答案中的解法僅是十幾種平行線添加法中的一種而已。

注：'梅氏截線型'是作者對(duì)于這類圖形的個(gè)人稱呼，因其背后“藏著”梅涅勞斯定理而得名，其本質(zhì)描述的是直線截三角形三邊（或其延長(zhǎng)線），每條邊上的分點(diǎn)到這條邊的兩個(gè)頂點(diǎn)的距離比之間的確定的數(shù)量關(guān)系，可通過定理或添加平行輔助線，知二求三。

其實(shí)這類型題目筆者之前多次撰文，但落腳點(diǎn)都在于歸類整理這些問題的十多種解法，（可參考筆者之前的原創(chuàng)推文：一道普通比例線段問題的三種不同“玩法”）主要可分三類：運(yùn)用梅涅勞斯定理、添加平行線、面積法（可能會(huì)用到消點(diǎn)法）。然而實(shí)際上如何從復(fù)雜的題目中發(fā)現(xiàn)梅氏截線型更為重要，筆者就此再舉幾道今年來上海中考和二模中類似的問題，供大家參考學(xué)習(xí)。

2016年浦東中考模擬卷第25題

（當(dāng)時(shí)被譽(yù)為“神題”）

第一步 補(bǔ)形

根據(jù)∠MON是45°和題目已有垂直關(guān)系可以補(bǔ)成兩種不同的等腰直角三角形

第二步 剖析

本題有十幾種解法，其中一類解法即可視其梅氏截線型，即△OPE被直線AD所截，繼而通過添加平行線來處理。

2010年上海中考數(shù)學(xué)第25題

如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°.半徑為1的圓A與邊AB相交于點(diǎn)D，與邊AC相交于點(diǎn)E，連結(jié)DE并延長(zhǎng)，與線段BC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)P.

（1）當(dāng)……

（2）若CE=2，BD=BC，tan∠BPD的值；

（3）……

設(shè)BD=CB=x，在Rt△ABC中，已知AC=3，AD=1，通過AB^2=AC^2 BC^2，解方程得：x=4，于是可將此題第二問，視為△ABC被直線DA相截，其中已知AE:EC=1:2，AD:DB=1:4，求BP:CP，爾后就會(huì)有十幾種平行線的添加方法供選擇。

以筆者看，數(shù)學(xué)的核心是推理、分析，數(shù)學(xué)的問題的本質(zhì)是“定”！即在“紛繁復(fù)雜”的問題中尋求不變量和不變關(guān)系，而在幾何中，最有效的探索方式就是畫圖與標(biāo)圖，通過畫圖能確定的點(diǎn)其背后往往就是不變量，通過標(biāo)圖發(fā)現(xiàn)直角三角形、相似三角形或梅氏截線型等，其內(nèi)部蘊(yùn)藏的就是不變關(guān)系，圖便是幾何的魂，抓住了圖就抓住的幾何教與學(xué)的關(guān)鍵！