黎曼猜想是唯一一個現(xiàn)在還未解決的世界七大數(shù)學(xué)難題（千禧年大獎難題）。黎曼猜想起源于素?cái)?shù)的分布問題。
大約公元前350年，歐幾里得證明了每一個大于1的計(jì)數(shù)數(shù)要么是素?cái)?shù)，要么具有唯一的素?cái)?shù)分解。這稱為算術(shù)基本定理。掌握了某個整數(shù)的唯一素?cái)?shù)分解就能知道這個整數(shù)的許多數(shù)學(xué)性質(zhì)。
那么“黎曼假設(shè)”又是什么呢？
猜想的誕生
黎曼于1826年9月出生于漢諾威王國（現(xiàn)屬德國）的布雷斯倫茨（Breslenz）的一個小鎮(zhèn)。1847年，黎曼完成了在哥廷根大學(xué)的第一年學(xué)習(xí)，然后轉(zhuǎn)去了柏林大學(xué)。在柏林大學(xué)，他接受了許多世界級數(shù)學(xué)家的指導(dǎo)，如斯坦納、雅可比、愛森斯坦及狄利克雷，特別是狄利克雷對黎曼的影響最大。數(shù)學(xué)家克萊因?qū)懙馈?/span>
……黎曼被狄利克雷所深深吸引。狄利克雷喜歡在一種直覺的基礎(chǔ)上弄清事物，與此同時(shí)他會對基本的問題給出精確的、合乎邏輯的分析，并會盡量避免冗長的運(yùn)算。他這樣的方式很適合黎曼，于是黎曼采用了這種方式……。
縱觀一生，黎曼主要以一種直覺的方式在研究，他對嚴(yán)格邏輯論據(jù)從未感到過興趣，這是黎曼最終成功的必不可缺的條件。對許多數(shù)學(xué)家來說“依賴于直覺”只能偶然獲得成功，但黎曼的數(shù)學(xué)直覺卻是令人難以置信地準(zhǔn)確，他的結(jié)論通常被后人證明是正確的。
1849年，黎曼回到哥廷根大學(xué)攻讀博士學(xué)位，他得到了高斯的指導(dǎo)。在黎曼遞交博士論文之后，高斯將這篇論文形容為，
一個輝煌而豐富的創(chuàng)舉。
黎曼完成論文之時(shí)，一場關(guān)于數(shù)學(xué)觀念的革命正接近高潮，數(shù)學(xué)的焦點(diǎn)不再是計(jì)算，而是系統(tǒng)地理解抽象的概念。在這次革命的影響下，證明不再是一件按照規(guī)則來轉(zhuǎn)換術(shù)語的事，而是一個對概念進(jìn)行邏輯推理的過程。
狄利克雷認(rèn)為，所謂函數(shù)是一種規(guī)則，而這種規(guī)則并不一定需要代數(shù)式子來規(guī)定。只要是取定一類對象并從中產(chǎn)生出新的對象的規(guī)則就是函數(shù)。
這一思想在微積分的發(fā)展中富有成果。數(shù)學(xué)家把函數(shù)視作抽象概念，研究它們的連續(xù)性和可微性。法國的柯西給出了關(guān)于連續(xù)性和可微性的著名定義，
這給微積分打下了堅(jiān)實(shí)的理論基礎(chǔ)?！袄杪孪搿睂儆诮馕鰯?shù)論中范疇。在解析數(shù)論中，微積分的方法被用來求得關(guān)于正整數(shù)的結(jié)果。黎曼在1859年發(fā)表的題為“論小于給定值
素?cái)?shù)知多少？
不難發(fā)現(xiàn)，數(shù)字越大，素?cái)?shù)出現(xiàn)的頻率就越低。10以下的整數(shù)中有4個素?cái)?shù)，100以下的素有25個，而1000以下的素?cái)?shù)只有168個。要計(jì)算小于一個數(shù)N的素?cái)?shù)的密度，只要把小于N的素?cái)?shù)的個數(shù)P（N）除以N，即得到
下面是1到10，1到100，1到1000，1到10000，1到100 000和1到1000 000的素?cái)?shù)密度，
越往后，密度便越小。這樣的減小是一直持續(xù)，還是當(dāng)?shù)竭_(dá)某一點(diǎn)時(shí)開始逆轉(zhuǎn)？或者到達(dá)某一點(diǎn)后便不再有素?cái)?shù)？素?cái)?shù)分布是否有某種規(guī)律？這些問題讓古希臘人著迷，并從此讓數(shù)學(xué)家欲罷不能。
歐幾里得回答了其中的一個問題。他證明了素?cái)?shù)有無窮多個。而另一類關(guān)于素?cái)?shù)模式（規(guī)律）的問題則非常棘手。其中有兩個至今都沒有解決，它們便是孿生素?cái)?shù)猜想和哥德巴赫猜想。
攣生素?cái)?shù)猜想是指是否有無窮多個素?cái)?shù)"孿生對"，即僅相隔2的兩個素?cái)?shù)，如11和13，17和19，還有更大的素?cái)?shù)孿生對，如
哥德巴赫猜想是1742年由業(yè)余數(shù)學(xué)家哥德巴赫提出的，它說每一個比2大的偶數(shù)都是兩個素?cái)?shù)之和。最接近這個猜想的證明是由中國數(shù)學(xué)家陳景潤于1966年給出的，他證明從某個數(shù)N開始，每一個比2大的偶數(shù)要么是兩個素?cái)?shù)之和，要么是一個素?cái)?shù)和兩個素?cái)?shù)的乘積之和。（他的證明并沒有告訴你N是多少，而僅僅是證明了存在這樣一個數(shù)。）
有關(guān)素?cái)?shù)模式的最深入
如果用圖表現(xiàn)素?cái)?shù)，簡單的方法是在x軸上標(biāo)出素?cái)?shù)，
這是一群離散的點(diǎn)，而函數(shù)l x的函數(shù)圖是一條光滑連續(xù)的曲線，
問題是∶為什么圖x軸上這些間距不規(guī)則的點(diǎn)與這條光滑的曲線會有聯(lián)系？函數(shù)lnx怎么會告訴我們關(guān)于素?cái)?shù)分布模式的事情？
數(shù)的地形
職業(yè)數(shù)學(xué)家用地理學(xué)的方式看待抽象數(shù)學(xué)從而對其進(jìn)行大量的研究。例如，下圖是函數(shù)z=sin（xy）的函數(shù)圖
函數(shù)z=sin（xy）的圖像。
這個公式十分抽象，需要訓(xùn)練和努力學(xué)習(xí)才能理解。但從它的函數(shù)圖像中一眼就能看出很多東西。數(shù)學(xué)家開始意識到，理解整數(shù)（計(jì)數(shù)數(shù)）性質(zhì)最好的方法是在一個合適的地形（也就是幾何）背景中觀察它們。這個背景被稱作復(fù)平面。
最基本的數(shù)是計(jì)數(shù)數(shù)。大約到公元前700——前500年，古希臘人開始發(fā)展他們的數(shù)學(xué)時(shí)，才從計(jì)數(shù)數(shù)擴(kuò)展到分?jǐn)?shù)（有理數(shù)）。有了分?jǐn)?shù)，我們可以計(jì)算或測量整體中的部分了。起初，希臘人認(rèn)為有理數(shù)足夠讓人們完全精確地測量長度，但后來發(fā)現(xiàn)，兩條直角邊都是1個單位長度的直角三角形，它的斜邊長度就不是一個有理數(shù)。
為了測量所有的幾何長度，數(shù)學(xué)家不得不發(fā)展出一套更為豐富的數(shù)字系統(tǒng)，它不僅包括自然數(shù)和有理數(shù)，還有許多其他的數(shù)。所有這些數(shù)統(tǒng)稱為實(shí)數(shù)。
實(shí)數(shù)作為一條連續(xù)直線上的點(diǎn)這種圖示直觀自然，但從數(shù)學(xué)上予以理解就成了一件棘手的事。雖然后來古希臘人和此后所有的數(shù)學(xué)家都使用實(shí)數(shù)，但直到19世紀(jì)下半葉，人們對實(shí)數(shù)才有了全面深入的理解。同樣是到19世紀(jì)，數(shù)學(xué)家才終于認(rèn)可負(fù)數(shù)是真正的數(shù)。
16世紀(jì)，對于如
這樣的方程，數(shù)學(xué)家認(rèn)為不可能有解，，至少不可能有實(shí)數(shù)解。但是存在著這種方程有物理意義的情況，在這些情況下，這個方程應(yīng)該有解。
歐拉于1770 年在他的著作《代數(shù)》（Algebra）中首先將負(fù)數(shù)的平方根稱為“虛數(shù)”。他指出，“諸如，
這樣的數(shù)，是不存在的數(shù)，或者說是虛數(shù)。
那么，這些虛數(shù)的本質(zhì)又是什么呢？為了使一種在其他方面完全能讓人接受的計(jì)算有意義，數(shù)學(xué)家發(fā)明了復(fù)數(shù)。為得到復(fù)數(shù)，需要先假設(shè)一個新的數(shù)i，它具有性質(zhì)
i不是實(shí)數(shù)，這意味著它并不是實(shí)數(shù)軸上的點(diǎn)。但你可以把i與任意實(shí)數(shù)k相乘形成一個新數(shù)ik。用這種方法得到的數(shù)叫做虛數(shù)。如5i就是一個虛數(shù)。在幾何上，全體虛數(shù)組成了第二條直線，與實(shí)數(shù)軸垂直，
一個實(shí)數(shù)和一個虛數(shù)相加得到復(fù)數(shù)。從幾何上說，復(fù)數(shù)是二維平面上的點(diǎn)，其x軸是實(shí)數(shù)軸，y軸則是虛數(shù)軸。實(shí)數(shù)也必然都是復(fù)數(shù)（虛部為0）。
最近幾十年，復(fù)數(shù)已在數(shù)學(xué)、物理學(xué)與工程的大量領(lǐng)域中展現(xiàn)出其無與倫比的作用。i還出現(xiàn)在了量子力學(xué)最基本的方程中。可以證明，與實(shí)數(shù)相比，用復(fù)數(shù)進(jìn)行研究最顯要的好處是，每一個算術(shù)（即多項(xiàng)式）方程都會有解。
從幾何上來說，復(fù)數(shù)也遠(yuǎn)比實(shí)數(shù)優(yōu)越。實(shí)數(shù)并不具有真正的幾何；它們只是直線上的點(diǎn)。你唯一所能做的是測量直線上的距離。而復(fù)數(shù)形成一個二維平面，那意味著你能做某種真正的幾何。在19世紀(jì)研究出來的復(fù)平面幾何學(xué)是數(shù)學(xué)中最豐富、最美麗的一個部分，而它的應(yīng)用遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出了16世紀(jì)最早發(fā)現(xiàn)復(fù)數(shù)的數(shù)學(xué)家的想象。
用威力強(qiáng)大的微積分技術(shù)所加強(qiáng)的幾何方法，使得人們發(fā)現(xiàn)了關(guān)于復(fù)平面的一些最深刻的結(jié)果。
黎曼zeta函數(shù)
既然自然數(shù)都是復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)（它們都在x軸的正半軸上），研究復(fù)平面性質(zhì)的時(shí)候，我們有時(shí)能推導(dǎo)出關(guān)于自然數(shù)的事情。用微積分分析某些復(fù)變函數(shù)的性質(zhì)以研究自然數(shù)是數(shù)學(xué)的主要領(lǐng)域之一，被稱作解析數(shù)論。黎曼問題就是解析數(shù)論中的一個問題。
用解析數(shù)論去研究素?cái)?shù)模式的關(guān)鍵是找到一個能提供素?cái)?shù)信息的函數(shù)。迄今已發(fā)現(xiàn)了幾個這樣的函數(shù)。第一個是由著名的瑞士數(shù)學(xué)家歐拉發(fā)現(xiàn)的，
如果s小于等于1，所得出的和將是無窮大。也如果s大于1，和將是有限值。這就是為什么歐拉限定函數(shù)只能用于s大于1的情況。當(dāng)s=2時(shí)，歐拉算出，
但zeta函數(shù)與素?cái)?shù)有什么關(guān)系呢？歐拉證明了對大于1的任意實(shí)數(shù)s，zeta（s）等于無窮乘積，
這個積就是所有形如
的項(xiàng)相乘所得的積，其中p為全體素?cái)?shù)。
盡管無窮和的定義看似復(fù)雜，但函數(shù)有不少良好的數(shù)學(xué)性質(zhì)。特別是，其圖像是光滑的，因此可以用微積分的方法對其進(jìn)行研究。
作為一個實(shí)數(shù)到實(shí)數(shù)的函數(shù)，zeta函數(shù)是個一維的對象。因此，雖然通過歐拉的無窮乘積可以讓它與素?cái)?shù)相聯(lián)系，但它沒有豐富的幾何結(jié)構(gòu)來幫助我們揭示素?cái)?shù)的模式。基于這樣的考慮，研究必須是二維的。黎曼就邁出了這關(guān)鍵的一步。他用復(fù)數(shù)z代替實(shí)數(shù)s，使zeta（z）函數(shù)的值也成為復(fù)數(shù)。
已經(jīng)證明歐拉的無窮和對某些復(fù)數(shù)并沒有意義。但是一種被稱為解析延拓的精巧數(shù)學(xué)方法解決了這個難題。
解析延拓的思想是，對于像zeta函數(shù)這樣的情況，有一種可供替代的求函數(shù)值的方法，它幾乎對所有的復(fù)數(shù)都適用。對于函數(shù)本身，這種可供替代的方法能讓我們計(jì)算任何復(fù)數(shù)z的zeta函數(shù)值（除了z=1這一特例之外）。從函數(shù)的初始定義到這種可供替代的方法的過程稱作解析延拓。因?yàn)槔杪亲龀鲞@種轉(zhuǎn)換的第一人，所以復(fù)變函數(shù)zeta通常也稱作黎曼zeta函數(shù)。在黎曼1859年的那篇著名論文中，他運(yùn)用了zeta函數(shù)來探討素?cái)?shù)的模式。
他的本意是為了證明高斯的猜想，即對于較大的數(shù)n，小于n的素?cái)?shù)的密度D_n被1/ln n所逼近，這結(jié)果是現(xiàn)在我們熟知的素?cái)?shù)定理。雖然他未達(dá)到證明的目的，但是他的工作提供了素?cái)?shù)與復(fù)平面幾何之間的堅(jiān)實(shí)聯(lián)系。不僅如此，他的方法還為阿達(dá)馬和普桑最終于1896年證明素?cái)?shù)定理打下了基礎(chǔ)。
黎曼發(fā)現(xiàn)zeta函數(shù)與素?cái)?shù)的關(guān)鍵聯(lián)系是∶密度函數(shù)D_n與方程zeta（z）=0的解有密切的關(guān)系。
由這個方程解出的任何復(fù)數(shù)都被稱作zeta函數(shù)的"零點(diǎn)"。在那篇僅有8頁的論文中，黎曼對zeta函數(shù)的零點(diǎn)作了大膽的猜測。他首先注意到-2，-4，-6，…都是零點(diǎn)。也就是說，當(dāng)z 是負(fù)偶數(shù)時(shí)，zeta（z）=0。他然后證明除了這些實(shí)數(shù)外，zeta函數(shù)還有無窮多個其他的復(fù)數(shù)零點(diǎn)。他猜測，所有這些其他的零點(diǎn)都可表示為,
的形式，其中b為實(shí)數(shù)，即它們的實(shí)部都是1/2。從幾何上來說，函數(shù)的所有非實(shí)數(shù)零點(diǎn)都位于復(fù)平面內(nèi)經(jīng)過x軸上1/2這一點(diǎn)的豎直線上，這條直線通常稱為臨界線，
黎曼函數(shù)的零點(diǎn)。對所有的負(fù)偶數(shù)n，zeta（n）=0。黎曼假設(shè)說，使得zeta（z）=0的無窮多個其他復(fù)數(shù)z都位于臨界線上。
阿達(dá)馬和普桑證明素?cái)?shù)定理時(shí)，并不需要這個關(guān)于零點(diǎn)的猜想（現(xiàn)在被稱為黎曼假設(shè)）。由黎曼zeta函數(shù)所提供的素?cái)?shù)與復(fù)平面幾何之間的聯(lián)系對他們證明素?cái)?shù)定理已經(jīng)足夠了。但如果黎曼的猜想是正確的，那么它將對我們關(guān)于素?cái)?shù)的知識產(chǎn)生重大的意義。黎曼證明如果函數(shù)的所有復(fù)（非實(shí)）零點(diǎn)都有實(shí)部1/2，則密度函數(shù)D_n與曲線1/In n之間的差異程度以一種系統(tǒng)的隨機(jī)方式變化。這意味著，雖然無法準(zhǔn)確地預(yù)測下一個素?cái)?shù)會在哪里出現(xiàn)，但總的來說素?cái)?shù)的模式是非常有規(guī)律的。
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