證明的概念在17世紀得到了顯著的發(fā)展。這個時期最有影響的數(shù)學發(fā)展是，牛頓和萊布尼茲同時創(chuàng)立的無窮小計算，這引進全新的概念如"不可分量"。
不可分量的基本思想是把面積看成無窮多個直線段的總和，體積則看成無窮多個面積的總和。在這一類證明中，歐幾里得式的幾何證明的規(guī)則已經(jīng)被完全違反了，這就使這些證明在許多人眼中成了不可接受的了。
歐幾里得式的幾何證明所確立的界限在另一方向上也被跨越了，這就是在笛卡兒的幾何的代數(shù)化。笛卡兒采取的基本步驟是引入單位線段作為用于幾何證明的圖形的關(guān)鍵元素。這一步驟所蘊含的根本性的創(chuàng)新在于允許對于線段進行種種運算。例如給出下圖的兩個線段 BD，BE，則BC就表示 BE 除以 BD的商。 圖中的AB就是單位長。
從表面上看這個證明是歐幾里得式的幾何證明（因為這里有附圖，并且應用了相似三角形），但是引進單位長度，并且用它來定義一種運算，就使它與歐幾里得式的幾何證明從根本上區(qū)分了，而且為幾何證明打開了完全的新天地。這不僅是因為迄今在歐幾里得式的證明里面從來沒有出現(xiàn)過長度的量度，還由于這些運算存在，傳統(tǒng)上與幾何定理聯(lián)系在一起的必不可少的維度失去了意義。幾何學的代數(shù)化，特別是可以用代數(shù)程序來證明幾何事實這樣一個新的可能性，是與以下的事實強烈地相關(guān)的，這就是當時把代數(shù)式子看成自立的數(shù)學實體。這個思想直到1591年左右才完全成熟。但是并非17世紀所有的數(shù)學家都看到了與代數(shù)思想相關(guān)的重要進展。一個著名的反對偏離歐幾里得方法的人不是別人，就是牛頓，他在《萬有算術(shù)》一書里很肯定地表達了自己的觀點：方程式是算術(shù)計算的表達式，在幾何學中沒有地位，除非是利用它們來證明真正的幾何量（直線、曲面、立體和比例）彼此相等。乘法、除法和這一類計算近年來被引入了幾何學，輕率而且違反了科學的最初的原理……所以，這兩門科學不應該搞混，而最近幾代人，因為把它們搞混了，已經(jīng)失去了簡單性，而幾何學的全部優(yōu)雅盡在于此。
數(shù)學分析成了18世紀數(shù)學家的首要的關(guān)注點。自微積分發(fā)展以來，關(guān)于分析基礎(chǔ)的問題就產(chǎn)生了，一直到19世紀晚期才塵埃落定。這些問題在相當大的程度上都涉及數(shù)學證明的本質(zhì)。長期以來幾何學作為數(shù)學的確定性的基礎(chǔ)地位是無爭議的，現(xiàn)在，關(guān)于分析基礎(chǔ)的辯論，在破壞這種地位上起了重要作用，而這種基礎(chǔ)的地位，現(xiàn)在被賦予了算術(shù)。這個過程的第一個重要的階段，是歐拉對于微積分的重新陳述。微積分一旦從它的純粹幾何的根源分離開來，就以代數(shù)指向的函數(shù)概念為中心。這種置代數(shù)于幾何之上的潮流，在歐拉的繼承人那里得到了進一步的推動。例如，達朗貝爾就把數(shù)學的確定性與代數(shù)相聯(lián)系（因為代數(shù)有更高的一般性和抽象性），然后才是幾何與力學。在拉格朗日手上，這個趨勢達到了高峰而且成了經(jīng)過仔細構(gòu)思的綱領(lǐng)，他在自己1788年的《解析力學》一書的序言里表達了一種激進的觀點，對于怎樣才能達到數(shù)學科學的確定性，并與幾何學保持距離，他說過一段非常著名的話：在本書里，找不到圖形，我所詳細解釋的方法，既不需要作圖，也不需要幾何和力學的論證，而只需要代數(shù)運算，服從于一個正規(guī)的均勻的進程。
即使如此，證明的基本概念在18世紀里變化并不很大。那個時代的哲學家、特別是康德，對于這些概念提出了很有力的展望。康德對于那個時代的科學、特別是數(shù)學、有很深刻的知識。他對于一方面的哲學論據(jù)和另一方面的幾何證明作了什么樣的對比？前者關(guān)心的是一般的觀念、后者則是求助于“視覺的直覺”研究具體的然而是非經(jīng)驗的觀念。這個區(qū)別被概括在他的《純粹理性批判》里面的一段很有名的話里：設把一個三角形的概念給了哲學家，讓他以自己的方式去找出三角形的內(nèi)角和與直角的關(guān)系。他除了有三條直線圍成的有三個角的圖形這個觀念以外，什么都沒有。不論他對這個觀念沉思多久，他也永遠不會產(chǎn)生出任何新東西。他可以分析或澄清直線或者角或者這個數(shù)的觀念，但是他永遠得不出尚未包含于這些觀念之內(nèi)的東西。現(xiàn)在讓幾何學家來對待這個問題，他會馬上就作出一個三角形來。因為他知道兩直角之和恰好等于兩個相鄰的角之和，這兩相鄰的角是他在直線上取一點作出來的，于是他把他的三角形的一邊延長而得到兩個相鄰角，它們加起來等于兩直角．然后他用平行于對邊的平行線把外角分開，而且看到有一個相鄰的外角等于一個內(nèi)角，如此等等。用這種方式通過一個自始至終由直覺引導的推斷的鏈條，他得到了問題的充分明顯而且普遍有效的解答。
簡而言之，對于康德，數(shù)學證明的實質(zhì)使它區(qū)別于其他種類的演繹論證之處，就在于圖形的中心地位和所起的作用。正如在《幾何原本》中，圖形是一種“直覺”，是數(shù)學思想的一個奇異的體現(xiàn)，這個思想不僅存在于空間里，而且存在于時間里。正是圖形作為“可視的直覺”所起的作用為康德提供了一種解釋，說明為什么幾何學不是一門經(jīng)驗科學。按照他的觀點， 幾何證明受到邏輯的制約，但遠遠不只是對于所用的名詞的邏輯分析。這個觀點是一種新穎的哲學分析的核心，它的起點正是關(guān)于什么是數(shù)學證明的當時已經(jīng)根深蒂固的觀念。19世紀的數(shù)學和關(guān)于證明的形式觀念19世紀，幾何學和數(shù)學的各個分支里都有了重要的發(fā)展，不僅是在其方法上，它們的目的也有了變化。作為一個知識領(lǐng)域，邏輯也經(jīng)歷了顯著的變化。所以，到了19世紀末，證明的概念及其在數(shù)學中的作用都有了深刻的變化，1854年、黎曼在哥廷根作了具有首創(chuàng)意義的演說："論作為幾何基礎(chǔ)的假設"。大約同時，波爾約和羅巴切夫斯基在非歐幾何上的工作，以及高斯的有關(guān)思想，于1830年代開始為公眾所知曉。一種相容的但是不相同的幾何學的存在，迫切地需要重新修正關(guān)于幾何知識的本質(zhì)的觀念，其中當然也包括證明和數(shù)學嚴格性的作用。這方面更值得注意的是射影幾何學的重新興起。在彭賽列的著作《論圖形的射影性質(zhì)》在1822年出版以后，射影幾何學又變成了一個很活躍的研究領(lǐng)域，有自己的未解決的研究課題以及基礎(chǔ)問題。射影幾何學加到了許多別的幾何學的展望之中，更是促進了一種把各種幾何學統(tǒng)一起來并加以分類的努力，其中最有意義的是那些以群論為基礎(chǔ)的思想，尤其是克萊因和李在1870年代的著作最值得注意。1882年，帕施（德國數(shù)學家）發(fā)表了一部有影響的關(guān)于射影幾何學的著作：《新幾何學講義》，致力于系統(tǒng)地探討射影幾何學的公理基礎(chǔ)和基本定理的相互關(guān)系。帕施的書也試圖把多年來所發(fā)現(xiàn)的歐幾里得幾何的邏輯漏洞填補起來。他比19世紀同時代的所有數(shù)學家都更系統(tǒng)地強調(diào)，幾何學的所有結(jié)果都應該從公理開始，經(jīng)由嚴格的邏輯演繹得出，而不應依賴于解析的手段，特別是不應求助于圖形以及所涉及的圖形的性質(zhì)。由于認識到可視的圖形潛在的局限性（以及可能有誤導的影響）。帕施比起他的前人更加強調(diào)證明的純粹邏輯結(jié)構(gòu)。盡管如此。帕施還沒有走到對于幾何學的完全形式主義的觀點。他對于幾何學的起源和意義，一貫地還是采取了一種經(jīng)驗主義的途徑，還達不到公然宣布圖形只有啟發(fā)作用的地步。他說：幾何學的基本命題，沒有相應的圖形是無法理解的，圖形表示的是從某些確定的簡單的事實所觀察到的東西。說定理不是觀察出來的，而是證明出來的更為恰當。在演繹中所完成的每一項推斷都必須要在圖形中確認一下，但是它并非由圖形來論證，而只能用以前的某個命題（或定義）來論證。
對于圖形在幾何證明中失去中心地位，而讓位于純粹的演繹關(guān)系，帕施的工作肯定是有貢獻的，但是他的工作還沒有直接引導到對于公理在幾何學中的地位做徹底的重估，也還沒有改變以下的觀念，即幾何學研究的基本上是空間的視覺的直覺。19世紀幾何學最重要的發(fā)展，在多個因素的聯(lián)合作用下，才在證明的觀念上產(chǎn)生出顯著的變化。數(shù)學分析仍然是第一位的研究領(lǐng)域，對它的基礎(chǔ)的研究必然越來越強烈地成為對算術(shù)的嚴格性的研究，而不再是對幾何的嚴格性的研究。這個轉(zhuǎn)變是受到諸如柯西、魏爾斯特拉斯、康托、戴德金這樣一些數(shù)學家的工作的驅(qū)使，這些工作的目標是消除直覺的論證和概念，代之以越來越基本的命題和定義。研究數(shù)學理論的公理基礎(chǔ)，不論是幾何、代數(shù)還是算術(shù)，以及探尋另外的可能的公設系統(tǒng)。這樣的思想在整個19世紀一直有數(shù)學家們在追求。一個主要轉(zhuǎn)折點的是意大利的佩亞諾的工作。1899年，佩亞諾給出了他的著名的自然數(shù)的公設。帕施關(guān)于射影幾何的公理系統(tǒng)的工作是對佩亞諾的人造語言的一項挑戰(zhàn)。于是他就著手來研究在幾何學的演繹結(jié)構(gòu)中涉及的邏輯名詞與幾何名詞之間的關(guān)系。在這個背景下，他提出了獨立的公理之集合的概念，并且把這個概念用于他自己的射影幾何公理系統(tǒng)。在佩亞諾的影響下，皮耶里（意大利數(shù)學家）發(fā)展了一種符號系統(tǒng)來掌握抽象形式理論。皮耶里和佩亞諾與帕施不同，他前后一貫地在推講這樣一個觀點，即把幾何看成純粹邏輯系統(tǒng)，而定理則由假設的前提導出，而且基本的名詞都沒有任何經(jīng)驗的或直覺的意義。19世紀最后一年，出版了希爾伯特的《幾何基礎(chǔ)》一書，打開了幾何學和幾何證明歷史的新篇章。這本書綜合了前面所說的幾何研究的各種潮流，并使它們完備。在這部著作中，希爾伯特能夠?qū)ι溆皫缀蔚幕窘Y(jié)果的邏輯關(guān)系作全面的分析，而且特別注意到連續(xù)性在這些證明中的作用。他的分析是基于引入一種廣義的解析幾何、其中的坐標可以取自不同的數(shù)域，而不僅是實數(shù)。這樣一個途徑就對任意一種給定的幾何學創(chuàng)造了一個純綜合的算術(shù)化，這樣也就澄清了歐幾里得幾何學作為一個演繹系統(tǒng)的邏輯結(jié)構(gòu)。這部書也澄清了歐幾里得幾何和各種已知的幾何學——非歐幾何、射影幾何和非阿基米德幾何的關(guān)系。這種對于邏輯的專注，意味著圖形被貶為僅具有啟發(fā)的作用。事實上，雖然在《幾何基礎(chǔ)》的很多證明里仍然有附圖，但是邏輯分析的整個目的就在于避免為圖形所誤導。證明，特別是幾何證明，就這樣變成了純粹的邏輯論證，而不是對于圖形的論證。同時，作為相關(guān)問題推導的出發(fā)點的公理，其本質(zhì)和作用也有了變化。希爾伯特引入了幾何學的新的公理系統(tǒng)，目的在于填補先前的系統(tǒng)遺留下來的邏輯空隙。這些公理分成五組——關(guān)聯(lián)公理、順序公理、合同公理、平行公理以及連續(xù)公理，每一組公理都表示了空間直覺在我們的理解中的特殊的展現(xiàn)方式。公理是對三種基本類型的對象提出的：點、直線、平面。這些對象則是無定義的，而公理就意味著為它們提供了隱定義。換句話說，不是先定義點、直線和平面，然后給出它們應該滿足的公理，而是不去定義它們，只說它們是一些滿足所設定的公理系統(tǒng)的實體。此外，希爾伯特要求，一個系統(tǒng)里的各個公理應該是互相獨立的，而且引進了一種方法來檢驗這個要求是否得到滿足。為此，他建立了一種新幾何學的模型，使這個新幾何學只是不滿足系統(tǒng)中的某一個給定的公理，但滿足其他公理。希爾伯特也要求這些規(guī)律是相容的，而在他的公理系統(tǒng)中，這種相容性又被證明為依賴于算術(shù)的相容性。一開始，他以為證明算術(shù)的相容性并不是大的障礙，很久以后才發(fā)現(xiàn)情況并非如此。希爾伯特在一開始還對公理系統(tǒng)提出了兩個附加的要求：簡單性和完全性。所謂簡單性，基本上就是要求一個公理不包含多于“單一的”一個概念。然而，系統(tǒng)中的各個公理都應該是“簡單的”這一要求，在希爾伯特和他的后繼者的工作里，都從未清楚地定義過，也沒有系統(tǒng)地追求過。最后一個要求，即完全性，希爾伯特在1900年對其的理解是：一個數(shù)學領(lǐng)域的充分的公理化，應該允許導出這個領(lǐng)域的所有已知的定理。希爾伯特宣稱，他的公理確實能夠給出歐幾里得幾何的所有已知的結(jié)果。但是他不能形式地證明這一點。事實上，因為對于任意已給的公理系統(tǒng)，"完全性"這個性質(zhì)都不可能形式地加以核驗。 所以，完全性就沒有成為對于公理系統(tǒng)的標準要求。重要的是要注意，1900年希爾伯特所使用的完全性概念，和現(xiàn)在被接受的模型論的完全性概念完全不同。后者出現(xiàn)得晚得多，相當于要求在一個公理系統(tǒng)中，每一個真命題，不論是已知還是未知都應該是可證明的。應用無定義元素以及隨之而來的公理作為隱定義這個概念，對于把幾何看作如皮耶里所設計的邏輯系統(tǒng)起了重大的推動作用，而且最終改變了什么是數(shù)學的真理性，什么是數(shù)學證明的觀念。希爾伯特在不同的場合宣布過，在他的系統(tǒng)里，"點、直線、平面"這些詞可以換成"椅子、桌子、啤酒杯”，而在任何意義下都不影響理論的邏輯結(jié)構(gòu)。此外，按照希爾伯特在關(guān)于集合論的悖論的討論，他強力地強調(diào)：由公理來隱定義的概念的邏輯相容性，正是數(shù)學存在性的本質(zhì)。在這些觀點的影響下，由于希爾伯特引入的新方法論的影響，以及由此得到的對于幾何基礎(chǔ)的成功的概述。另一方面，在20世紀初，在美國繁榮起來的由E.H.摩爾領(lǐng)導的一個潮流，把對于公設系統(tǒng)的研究本身變成了一個自身有意義的數(shù)學領(lǐng)域，而與這個系統(tǒng)所定義的領(lǐng)域的研究無關(guān)。例如。這些數(shù)學家定義了群、域、射影幾何等學科的獨立的公設系統(tǒng)的最小集合，而不繼續(xù)研究群、域、射影幾何這些個別的學科。另一方面，許多著名的數(shù)學家開始接受和發(fā)展關(guān)于數(shù)學真理和數(shù)學證明的更加形式主義的觀點，并且把它們用到越來越多的數(shù)學領(lǐng)域里去。激進的現(xiàn)代主義數(shù)學家豪斯道夫的工作就是這個潮流的重要例子，他是一貫地把希爾伯特的成就與對于幾何學的形式主義觀點聯(lián)系起來的第一批數(shù)學家之一。例如，在1904年他就寫道：自康德以來的哲學辯論中，數(shù)學，至少是幾何學，總是被看成受制于其他因素，即依賴于外來的因素，這種因素沒有更好的名稱，我們也就稱之為直覺，可能是純粹的或經(jīng)驗的，可能是主觀的或經(jīng)過科學改進的，可能是內(nèi)生的或后天獲得的?，F(xiàn)代數(shù)學最重要的也是最基本的任務，一直是使它從這種依賴性下解放出來，奮斗出一條從受治到自治的道路。
在1918年左右，希爾伯特也追隨過這樣一種觀點，那時，他正置身于關(guān)于算術(shù)的相容性的辯論，并且提出他的"有窮論"的綱領(lǐng)。這個綱領(lǐng)確實采取了強烈的形式主義觀點，他是要解決算術(shù)的相容性這個特定的問題。重要的是要強調(diào)，希爾伯特關(guān)于幾何的觀念本質(zhì)上經(jīng)驗主義的，他從來沒有把對于幾何學的公理化分析看成一種對于數(shù)學的整體的形式主義觀念。希爾伯特關(guān)于證明的概念的公理化途徑，對于數(shù)學中的證明和真理性的隱含的意義，在一些數(shù)學家里引起了強烈的反響，最著名的是弗雷格。弗雷格的邏輯學是現(xiàn)代數(shù)理邏輯的先驅(qū)之一，他提出了一種新的數(shù)理邏輯體系，被稱為“謂詞邏輯”或“一階邏輯”，這個體系已經(jīng)成為了現(xiàn)代邏輯學的基礎(chǔ)。然而，邏輯學向一種新的形式的概念前進的最有意義的一步，是對于邏輯量詞在形成現(xiàn)代的數(shù)學證明中的作用的進一步了解。量詞第一次被形式化地定義，并且系統(tǒng)地列為條文，是弗雷格在他1879年所寫的《概念手稿》一書中。弗雷格的系統(tǒng)以及稍后由佩亞諾和羅素提出的類似系統(tǒng)，把量詞和命題連詞的區(qū)別，以及邏輯符號與代數(shù)或算術(shù)符號的區(qū)別，清楚地放在我們面前。弗雷格提出了形式系統(tǒng)的概念。在這樣的系統(tǒng)里，所有的演繹都可以按照句法來檢驗，換句話說，都可以用純粹的形式的手段來檢驗。在這種系統(tǒng)的基礎(chǔ)上，弗雷格的目的是要生產(chǎn)出其證明沒有邏輯漏洞的理論。這不僅適用于分析及其算術(shù)基礎(chǔ)，還要適用于隨時間演進的幾何學的新系統(tǒng)。 另一方面，在弗雷格看來，數(shù)學理論的公理體現(xiàn)了世界的真理。這就是他對希爾伯特的批評的基礎(chǔ)。弗雷格斷言，是公理的真理性確定了它們的相容性，而不是希爾伯特的“公理的相容性決定了它們的真理性”。我們這就看見了兩個分離的領(lǐng)域——幾何學和分析——的基礎(chǔ)研究，其靈感來自不同的方法論和不同的哲學觀點，卻在19世紀和20世紀之交匯合在一起，創(chuàng)造了對于數(shù)學證明的全新的觀念。按照這個觀念，數(shù)學證明被看成純粹的邏輯結(jié)構(gòu)，在純粹句法的意義下適用，而與來自圖形的視覺直覺無關(guān)。自那以后，這個觀念統(tǒng)治了數(shù)學。到了20世紀初，證明的概念已經(jīng)穩(wěn)定下來。1920年代早期，希爾伯特和他的合作者們發(fā)展了一種充分展開的數(shù)學理論，以"證明"為其主題，就是把"證明"本身變成研究的主題。這個理論，事先預設了關(guān)于證明的形式概念，是作為一個雄心勃勃的宏大綱領(lǐng)的一部分（希爾伯特計劃），意在給出算術(shù)的一個直接的有窮的相容性的證明，而算術(shù)是被表示成一個形式系統(tǒng)的。希爾伯特指出，正如物理學家要研究他們用來做實驗的儀器，哲學家要從事對于理性的批判一樣，數(shù)學家也應該能夠分析數(shù)學證明、而且要用嚴格的數(shù)學手段來做這件事。大約在這個綱領(lǐng)啟動十年左右，哥德爾提出了他的驚人的不完全性定理，非常著名地表明了"數(shù)學真理"和"可證明性"不是一回事。事實上，在任何一個相容的相當豐富的公理系統(tǒng)中，一定有不能證明的真數(shù)學命題。哥德爾的理論意味著希爾伯特的有窮論綱領(lǐng)太樂觀了，但是它同時也清楚地表明了從希爾伯特的證明論中可以得到多么深刻的數(shù)學洞察。還有一個重要的挑戰(zhàn)是，數(shù)學領(lǐng)域里的重要的證明變得越來越長。一個著名的例子是有限單群的分類，它的證明是由許多數(shù)學家把整個證明分成了許多部分來進行的。最后的論證，如果放在一起，將有一萬頁之多。一個證明長到讓單個人無法檢驗，這對于何時應該接受這樣的證明，甚至對于證明這個概念本身，也是一個挑戰(zhàn)。在不同的數(shù)學領(lǐng)域里都出現(xiàn)了一些基于概率考慮的證明，這里有數(shù)論、群論和組合學。有時候能夠證明一些數(shù)學命題，但證明并不具有完全的確定性，而只是證明了錯誤的概率極小，例如最多是十萬億分之一。在這樣由情況下，我們可能并沒有一個形式證明，但是把這個命題看成真命題。另一個挑戰(zhàn)來自引入了計算機輔助的證明。例如，Kenneth Appel和Wolfgang Haken 在1976年通過證明四色定理解決了一個老問題。他們借助于計算機完成了這件事情。一開始，這件事引起了一些辯論：這樣的證明是否合法？但是這個證明很快就被接受了，而且現(xiàn)在有好幾個問題都是這樣由計算機輔助證明的。有些數(shù)學家甚至相信將來這種計算機輔助證明，以及更重要的還有計算機生成的證明，是數(shù)學整個學科的未來，在這種觀點之下，我們現(xiàn)在關(guān)于什么是可接受的數(shù)學證明的觀點都會變成陳腐的觀點了。
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