數(shù)學(xué)中的伽羅瓦群概念，來源于19世紀(jì)的法國(guó)數(shù)學(xué)家埃瓦里斯特·伽羅瓦，他在短暫的生涯中，創(chuàng)造了這個(gè)具有深遠(yuǎn)影響的理論。伽羅瓦群聯(lián)系起了代數(shù)和群論兩大數(shù)學(xué)分支，幫助我們深入理解了多項(xiàng)式方程的解的結(jié)構(gòu)，并且解決了一個(gè)被稱為"根式可解問題"的古老數(shù)學(xué)問題。要深入理解伽羅瓦群，需要對(duì)一些基本的數(shù)學(xué)概念有所理解。

群

在數(shù)學(xué)中，群是一種基本的代數(shù)結(jié)構(gòu)。群論是研究群及其性質(zhì)的一個(gè)重要的數(shù)學(xué)分支，廣泛應(yīng)用于各種數(shù)學(xué)領(lǐng)域，如抽象代數(shù)、代數(shù)拓?fù)?，以及物理學(xué)等領(lǐng)域。

一個(gè)群由一個(gè)集合以及一個(gè)二元運(yùn)算符構(gòu)成，需要滿足以下四個(gè)條件：

1. 封閉性：集合中任意兩個(gè)元素通過二元運(yùn)算，結(jié)果仍然在這個(gè)集合中。

2. 結(jié)合律：集合中任意三個(gè)元素a，b，c，有 (a * b) * c = a * (b * c) （"*" 表示二元運(yùn)算）。

3. 單位元存在：存在一個(gè)元素e，對(duì)集合中的任意元素a，有 e * a = a * e = a。

4. 逆元存在：集合中的任意元素a，都存在一個(gè)元素b（通常被稱為a的逆元），滿足 a * b = b * a = e，其中e是單位元。

在這些條件下，群的結(jié)構(gòu)可以非常復(fù)雜也可以非常簡(jiǎn)單。例如，整數(shù)集合配上加法運(yùn)算就構(gòu)成了一個(gè)群，其中單位元是0，每個(gè)數(shù)的逆元是其相反數(shù)。

需要注意的是，群的二元運(yùn)算不必滿足交換律。也就是說，對(duì)于群中的元素a和b，ab=ba不一定成立。如果對(duì)于群中的所有元素a和b，都有ab=ba，那么這個(gè)群被稱為阿貝爾群或交換群。

域

在代數(shù)中，域（Field）是一個(gè)非常重要的基本概念，它是一個(gè)包含加法和乘法運(yùn)算的集合。在這個(gè)集合中，加法和乘法滿足交換律、結(jié)合律和分配律，且存在加法和乘法的單位元和逆元（除了零沒有乘法逆元）。實(shí)數(shù)、復(fù)數(shù)、有理數(shù)等都是典型的域的例子。

分裂域（Splitting field）是代數(shù)擴(kuò)張的一種，通常與多項(xiàng)式和代數(shù)方程的解有關(guān)。對(duì)于某一給定的多項(xiàng)式，如果在某一域中該多項(xiàng)式不能被因式分解，但在其某一擴(kuò)張域中可以被完全分解為線性因子，那么這樣的擴(kuò)張域就稱為原多項(xiàng)式的分裂域。分裂域的概念在伽羅華理論中起到關(guān)鍵作用，用于研究一元多項(xiàng)式的根的結(jié)構(gòu)。

比如說，考慮多項(xiàng)式x^2 + 1。在實(shí)數(shù)域R中，這個(gè)多項(xiàng)式無法被分解成線性因子。但是在復(fù)數(shù)域C中，這個(gè)多項(xiàng)式可以被分解為(x - i)(x + i)，因此我們可以說復(fù)數(shù)域C是這個(gè)多項(xiàng)式在實(shí)數(shù)域R上的分裂域。

群和域的區(qū)別

群和域都是數(shù)學(xué)中的代數(shù)結(jié)構(gòu)，它們有一些共同的特性，但也有一些關(guān)鍵的區(qū)別。

• 操作的數(shù)量：一個(gè)群是由一個(gè)集合和一個(gè)滿足特定屬性的二元運(yùn)算（比如加法或乘法）組成的，而一個(gè)域包含兩個(gè)運(yùn)算：加法和乘法。

• 運(yùn)算的性質(zhì)：在群中，對(duì)于任何元素，必須存在一個(gè)逆元，使得元素與其逆元的運(yùn)算結(jié)果為單位元。在域中，對(duì)于加法，任何元素都有一個(gè)加法逆元（相反數(shù)），對(duì)于乘法，除了0之外的任何元素都有一個(gè)乘法逆元（倒數(shù)）。

• 結(jié)構(gòu)的復(fù)雜性：一般來說，域的結(jié)構(gòu)比群的結(jié)構(gòu)更復(fù)雜。域必須滿足更多的條件，例如加法和乘法的分配律。

比如，整數(shù)集合配上加法運(yùn)算構(gòu)成一個(gè)群，但它并不構(gòu)成一個(gè)域，因?yàn)檎麛?shù)集合中的元素（除了1和-1）沒有乘法逆元。另一方面，有理數(shù)、實(shí)數(shù)、復(fù)數(shù)等都是域的例子，它們既滿足群的性質(zhì)，又滿足域的性質(zhì)。

簡(jiǎn)單地說，群強(qiáng)調(diào)了一種運(yùn)算的對(duì)稱性和逆運(yùn)算性，而域則是一種更復(fù)雜的結(jié)構(gòu)，它涵蓋了兩種運(yùn)算，這兩種運(yùn)算既相互獨(dú)立，又相互關(guān)聯(lián)。因此，域在很多數(shù)學(xué)領(lǐng)域，如代數(shù)、分析、幾何等都有重要應(yīng)用，而群則是理解對(duì)稱性和結(jié)構(gòu)性的關(guān)鍵工具。

總的來說，域是一種更復(fù)雜的結(jié)構(gòu)，它實(shí)際上包含了兩個(gè)群：一個(gè)是關(guān)于加法的群，另一個(gè)是關(guān)于乘法的群（不包括0）。

自同構(gòu)

簡(jiǎn)單來說，自同構(gòu)（Automorphism）是一個(gè)集合到其自身的雙射，且這個(gè)映射保持集合中的結(jié)構(gòu)不變。

為了具體化這個(gè)概念，我們需要明確什么是"結(jié)構(gòu)"，這取決于我們正在討論的對(duì)象類型。在不同的數(shù)學(xué)領(lǐng)域，結(jié)構(gòu)的概念可能有所不同。

• 在群論中，群的自同構(gòu)是一個(gè)將群映射到自身的雙射，它滿足對(duì)群的所有元素x和y，都有f(xy) = f(x)f(y)。換句話說，它保持群的運(yùn)算不變。

• 在圖論中，圖的自同構(gòu)是一種頂點(diǎn)的置換，它保持了圖的邊連接關(guān)系不變。

• 在拓?fù)鋵W(xué)中，拓?fù)淇臻g的自同構(gòu)是一種雙射，它保持了開集的結(jié)構(gòu)。

• 在幾何學(xué)中，一個(gè)幾何對(duì)象的自同構(gòu)是一種保持所有幾何性質(zhì)（如距離、角度等）不變的變換。

所以，自同構(gòu)是對(duì)某種結(jié)構(gòu)的一種保持。自同構(gòu)的集合本身也構(gòu)成一個(gè)群，這對(duì)于理解和研究這些數(shù)學(xué)對(duì)象的對(duì)稱性特別有用。

伽羅瓦群

伽羅瓦群的概念是由法國(guó)數(shù)學(xué)家伽羅瓦在19世紀(jì)早期提出的，他用這個(gè)概念解決了一個(gè)古老的問題：確定一個(gè)多項(xiàng)式方程是否可以通過基本代數(shù)運(yùn)算和有理數(shù)來解決。

給定一個(gè)多項(xiàng)式方程和它的一個(gè)分裂域（也就是一個(gè)包含了所有該方程根的域），伽羅瓦群就是這個(gè)分裂域上所有保持基域元素固定的自同構(gòu)（也就是保持結(jié)構(gòu)的映射）構(gòu)成的群。伽羅瓦群的元素是這些自同構(gòu)，群的運(yùn)算是函數(shù)的復(fù)合。

伽羅瓦群的重要性在于，它提供了一個(gè)橋梁，將一個(gè)代數(shù)方程的解與一個(gè)群（更具體地說，與這個(gè)群的結(jié)構(gòu)）聯(lián)系起來。通過研究伽羅瓦群的性質(zhì)，我們可以得到關(guān)于代數(shù)方程解的深刻洞見。例如，伽羅瓦發(fā)現(xiàn)，一個(gè)一元n次多項(xiàng)式方程可以用根式解當(dāng)且僅當(dāng)其伽羅瓦群是可解群。這一理論解答了被稱為"根式可解問題"的古老數(shù)學(xué)問題。