盡管學(xué)了不少相關(guān)的運(yùn)算律，向量感覺(jué)還是很難去運(yùn)算的一種量，因?yàn)殡y以與實(shí)數(shù)建立聯(lián)系。而把代數(shù)問(wèn)題實(shí)數(shù)化的方法，其實(shí)也就是幾何和代數(shù)兩種。其中幾何的方法都非常有趣。
先看一道比較簡(jiǎn)單的題目：
很顯然，觀察到向量的模，常規(guī)方法都是兩邊直接平方，將絕對(duì)值符號(hào)去掉之后構(gòu)造關(guān)于t的函數(shù)，再利用恒成立問(wèn)題的思路解決問(wèn)題。然而這種方法計(jì)算量還是有些大，于是嘗試幾何方法。先把題目條件都轉(zhuǎn)化為幾何條件。很明顯向量的模就是表示它的線(xiàn)段的長(zhǎng)度。于是可以知道有一條線(xiàn)段長(zhǎng)度為定值1，不妨設(shè)這條線(xiàn)段為e。而對(duì)于不等式的意義，先整體觀察到兩邊絕對(duì)值內(nèi)的都是兩個(gè)向量的差，于是嘗試構(gòu)造另一個(gè)與e同起點(diǎn)的向量a。對(duì)于右邊，把它們的終點(diǎn)相連，此時(shí)得到的這條新的線(xiàn)段長(zhǎng)度，就是不等式右邊的模的意義。而對(duì)于左邊，觀察到e作了數(shù)乘運(yùn)算，從幾何意義上說(shuō)，它就是被伸縮了（可以正向，也可以反向）。所以這個(gè)新產(chǎn)生的線(xiàn)段與e的交點(diǎn)是在e所在的直線(xiàn)上移動(dòng)的，另外一個(gè)端點(diǎn)就是a的終點(diǎn)。把圖構(gòu)造出來(lái)：
再觀察這個(gè)不等式，就可以意識(shí)到實(shí)際上它描述的是一個(gè)定點(diǎn)（a的終點(diǎn)）到定直線(xiàn)（e所在直線(xiàn)）的最短的狀態(tài)。所以就有了垂線(xiàn)段最短的想法，于是可以知道最小狀態(tài)就是垂直時(shí)，再結(jié)合互相垂直的向量數(shù)量積為零，得到答案為C。
這道題比較好想，求最值的情況也比較方便，幾何法是可有可無(wú)的，然而下面這道題就需要兜更大的圈子了。
同樣的，先把題目轉(zhuǎn)變?yōu)閹缀伪磉_(dá)。不妨設(shè)表示a的線(xiàn)段為AB，表示b的線(xiàn)段為AC（把它們放在同一個(gè)三角形內(nèi)比較簡(jiǎn)潔）于是得到：
AB=AC=1且AB⊥AC，也就是ABC是個(gè)等腰直角三角形。而對(duì)于后面這個(gè)數(shù)量積為零的式子，由于這兩個(gè)向量都可以表示為a,b與c之間的減法，所以不妨設(shè)表示c的線(xiàn)段為AD。于是可以知道a-c對(duì)應(yīng)的線(xiàn)段是BD，b-c對(duì)應(yīng)的線(xiàn)段是CD?？紤]數(shù)量積為零的幾何意義，就可以得到BD⊥CD。那么，D就在以BC為直徑的圓上，也就是說(shuō)，D是該圓上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)。
問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為了求BD的長(zhǎng)度的最大值，也就是圓上一點(diǎn)（D）到一個(gè)定點(diǎn)（B）的最大值，那么就是當(dāng)BD過(guò)圓心時(shí)取得（兩邊之和大于第三邊）。所以答案為根號(hào)2。
觀察條件，發(fā)現(xiàn)前兩個(gè)條件有幾何意義，但是不能確定多少圖形的畫(huà)法，并且最后一個(gè)式子看不出幾何意義。說(shuō)明這道題并不是一開(kāi)始就能用幾何法解決。于是嘗試先把題目代數(shù)化，而在代數(shù)做法里面，比較簡(jiǎn)單的是坐標(biāo)表示，所以先嘗試用坐標(biāo)表示。由于e是個(gè)單位向量，那么不妨設(shè)e=(1,0), b=(x,y)。處理最后面的式子，得到：
觀察中間的式子，發(fā)現(xiàn)x,y最高次都是二次，前面系數(shù)相同，并且不存在x,y相乘的情況，可以聯(lián)想到這可能是個(gè)圓的方程，嘗試配方：
于是就可以判斷這是個(gè)圓心為(2,0)，半徑為1的圓的方程。也就是說(shuō)，b的終點(diǎn)的軌跡是這個(gè)圓。而對(duì)于a，由于它與e的夾角為60°，e=(1,0)，所以它與x軸正方向的夾角也是60°。可以用傾斜角和斜率的關(guān)系求得a的終點(diǎn)的軌跡：
設(shè)a的終點(diǎn)為A，b的終點(diǎn)為B，最終求的目標(biāo)就轉(zhuǎn)化為AB的最小值。在平面直角坐標(biāo)系中畫(huà)出圖：
于是問(wèn)題就轉(zhuǎn)化成了求定直線(xiàn)上一點(diǎn)（A），到定圓上一點(diǎn)（B）的距離。由于這個(gè)圖象關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，只考慮x軸上方的一支直線(xiàn)會(huì)更方便。
那么先嘗試構(gòu)造定值，于是連結(jié)BC，而A,B,C三點(diǎn)又構(gòu)成三角形，由于BC是定值，這時(shí)求AB的最小值就是求AC的最小值（因?yàn)锳B+BC>=AC）。也就是求直線(xiàn)上的一點(diǎn)（A）到直線(xiàn)外一定點(diǎn)的最短距離，所以只要用點(diǎn)到直線(xiàn)距離公式即可：
總結(jié)一下，這三道題目，如果用代數(shù)方法做，實(shí)際上都算比較復(fù)雜的，而用幾何方法做，不僅簡(jiǎn)潔，而且不容易犯錯(cuò)。
而對(duì)于幾何解法來(lái)說(shuō)，可以發(fā)現(xiàn)它的解題大概遵循一個(gè)過(guò)程：
1.把向量條件轉(zhuǎn)化為幾何語(yǔ)言。
2.根據(jù)幾何語(yǔ)言畫(huà)出幾何圖形。
3.通過(guò)明確要求的幾何最值，尋找最值的模型。從而解出最值。
實(shí)際上最關(guān)鍵的就是1和3，尤其是1，從第二題和第三題就可以發(fā)現(xiàn)幾何語(yǔ)言的轉(zhuǎn)化并不是很容易，有時(shí)甚至需要參數(shù)的引入，通過(guò)解析幾何來(lái)解決。
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