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典型例題分析：

已知函數(shù)f（x）=2x/lnx．

（1）求曲線y=f（x）與直線2x+y=0垂直的切線方程；

（2）求f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；

（3）若存在x0∈[e，+∞），

使函數(shù)g（x）=aelnx+x2/2－（a+e）/2·lnx·f（x）≤a成立，

求實數(shù)a的取值范圍．

解：（1）f（x）=2x/lnx，f′（x）=2（lnx－1）/（lnx）2，

設(shè)出切點坐標(biāo)（a，2a/lna），

而曲線y=f（x）與直線2x+y=0垂直的切線的斜率k=1/2，

故2（lna－1）/（lna）2=1/2，

解得：a=e2，

故切點坐標(biāo)是：（e2，e2），

故切線方程是：y﹣e2=（x﹣e2）/2，

即x/2﹣y+e2/2=0；

（2）f′（x）=2（lnx－1）/（lnx）2，

由f′（x）＜0，得0＜x＜1或1＜x＜e，

所以函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（0，1）和（1，e）；

（3）因為g（x）=aelnx+x2/2﹣（a+e）x，

由已知，若存在x0∈[e，+∞），

使函數(shù)g（x）=aelnx+x2/2﹣（a+e）/2·lnx·f（x）≤a成立，

則只需滿足當(dāng)x∈[e，+∞），g（x）min≤a即可，

又g（x）=aelnx+x2/2﹣（a+e）x，

則g′（x）=（x－a）（x－e）/x，

a≤e，則g′（x）≥0在x∈[e，+∞）上恒成立，

∴g（x）在[e，+∞）上單調(diào)遞增，

∴g（x）min=g（e）=﹣e2/2，

∴a≥﹣e2/2，

∵a≤e，

∴﹣e2/2≤a≤e，

a＞e，則g（x）在[e，a）上單調(diào)遞減，在[a，+∞）上單調(diào)遞增，

∴g（x）在[e，+∞）上的最小值是g（a），

∵g（a）＜g（e），a＞e，

∴滿足題意，

綜上所述，a≥﹣e2/2．

考點分析：

利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值；利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程．

題干分析：

（1）設(shè)出切點坐標(biāo)，求出切線方程即可；

（2）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，由f′（x）＜0得0＜x＜1或1＜x＜e，即可求出單調(diào)遞減區(qū)間；

（3）由已知，若存在x0∈[e，+∞），使函數(shù)g（x）≤a成立，則只需滿足當(dāng)x∈[e，+∞），g（x）min≤a即可．