拓?fù)鋵W(xué)是純數(shù)學(xué)的重要分支，在物理學(xué)中有很多應(yīng)用，比如晶體的拓?fù)淙毕?、二維體系的拓?fù)湎嘧?、量子霍爾效?yīng)的拓?fù)湓忈尩鹊取?016年，諾貝爾物理學(xué)獎就被授予給在這些方面做出原始創(chuàng)新的三位理論學(xué)家。2005年前后，在一系列的理論工作中，凝聚態(tài)物理學(xué)家們進(jìn)一步認(rèn)識到，對稱性和拓?fù)鋵W(xué)的概念結(jié)合起來可以帶來新的物理。具體來說，人們在理論上證明，二維或三維的絕緣體（或半導(dǎo)體）中，如果具有時間反演不變性（也就是要求沒有磁性，也沒有外加磁場），那么存在一個新的“拓?fù)洳蛔兞俊?。這個新的量子數(shù)體現(xiàn)了系統(tǒng)中所有電子波函數(shù)的整體性質(zhì)，當(dāng)這個量子數(shù)不為零時，該絕緣體（或半導(dǎo)體）就有了非平凡的拓?fù)湫再|(zhì)，被稱為“拓?fù)浣^緣體”。拓?fù)浣^緣體發(fā)現(xiàn)沒多久，人們就意識到，“時間反演不變性能夠帶來新的拓?fù)洳蛔兞俊边@一事實，不過是一大類普遍現(xiàn)象的冰山一角：對于幾乎任何常見的對稱性，比如晶體中的平移、鏡面反射、旋轉(zhuǎn)……都有可能存在其對應(yīng)的新的拓?fù)洳蛔兞俊ふ易匀唤缰行碌耐負(fù)洳蛔兞?，以及具備了這些拓?fù)洳蛔兞康牟牧?，是過去十幾年中凝聚態(tài)物理研究中的熱點問題。
認(rèn)識到電子的波函數(shù)可能具有某種特殊的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，這固然是物理理論的一大進(jìn)展，但是跟我們的實際生活有多大聯(lián)系呢？一般認(rèn)為，拓?fù)洳牧系倪吔鐟B(tài)具有“背散射通道禁閉”等特點，可以用來制作超低能耗的電子元件；有人在利用拓?fù)洳牧线吔鐟B(tài)電子的“動量-自旋鎖合”的特點設(shè)計自旋電子器件；還有人設(shè)想利用拓?fù)涑瑢?dǎo)體邊界的“馬約拉那零模式”來設(shè)計量子比特等等……因此，研究拓?fù)洳牧?，或者說具有非零的拓?fù)洳蛔兞康牟牧希哂谢A(chǔ)科學(xué)和應(yīng)用技術(shù)的雙重意義。
要研究拓?fù)洳牧?，第一步就是要將它們從浩如煙海的化合物中尋找出來。究竟具有什么樣的化學(xué)式，擁有哪樣的晶體結(jié)構(gòu)的材料才會有非零的拓?fù)洳蛔兞磕?？這個問題長期困擾著領(lǐng)域內(nèi)的科學(xué)家。從原理上講，拓?fù)洳蛔兞康男畔⒁呀?jīng)包含在了所有價帶的電子波函數(shù)中，而后者可以用第一性原理計算的方法得到。但在實際操作中，由于某些拓?fù)洳蛔兞康谋磉_(dá)式非常繁難，此類計算需要具有深厚材料物理和拓?fù)湮锢韺W(xué)背景的專家，同時也會耗費大量的時間。事實上，每一類新的拓?fù)洳牧系某晒︻A(yù)言，都在領(lǐng)域內(nèi)引起了廣泛關(guān)注。在“艱難搜索”拓?fù)洳牧系倪^程中，多數(shù)科學(xué)家在直覺上認(rèn)為拓?fù)湫再|(zhì)是在自然界中是罕見的，需要構(gòu)成原子的外層電子軌道、晶體結(jié)構(gòu)、自旋軌道耦合等種種因素的巧妙平衡。
2017年，“拓?fù)淞孔踊瘜W(xué)”【2】和“對稱性指標(biāo)理論”【3】的提出，讓人們看到了在“土法煉鋼”方法之外尋找拓?fù)洳牧峡赡苄?。這兩項工作表明，關(guān)于一個能帶系統(tǒng)的拓?fù)洳蛔兞康男畔?，有一大部分其實已?jīng)蘊含于在高對稱動量點的價帶電子波函數(shù)的對稱性之中；而后者——我們稱為能帶的對稱性數(shù)據(jù)，人們知道是可以通過全自動的方法計算得到的。2017年底，中科院物理所的研究小組，在上述工作的基礎(chǔ)上更進(jìn)一步，得到了從對稱性數(shù)據(jù)到所有拓?fù)洳蛔兞康耐暾麑?yīng)【4，5】。簡單來說，拓?fù)洳牧习床煌耐負(fù)洳蛔兞康娜≈涤兄M(jìn)一步的分類；而只有這些更細(xì)致的分類，才能表達(dá)材料全部的拓?fù)湫再|(zhì)。根據(jù)物理所研究組的新理論，不僅可以判斷一個材料是否具有拓?fù)湫再|(zhì)，還能指出具備（不具備）哪些拓?fù)湫再|(zhì)。該研究組將此成果稱為“拓?fù)湓~典”，其中對稱性數(shù)據(jù)是“詞”，拓?fù)洳蛔兞康娜≈凳恰傲x”。根據(jù)這本“詞典”，人們只需計算出任何材料的對稱性數(shù)據(jù)，就可以查出它的拓?fù)洳蛔兞縼怼?/p>
圖1： 知名的一些拓?fù)洳牧?。（a）量子反?；魻栃?yīng)態(tài)，也叫陳絕緣體。其特點是霍爾電導(dǎo)的值為e2/h的整數(shù)倍，同時邊界上有一個或數(shù)個單向行走的邊界態(tài)，它們被稱為手性邊界態(tài)。量子反?；魻栃?yīng)在磁性原子摻雜的三硒化二鉍薄膜中的發(fā)現(xiàn)，引起了國際學(xué)術(shù)界的轟動，該系列成果還榮獲了2018年度國家自然科學(xué)一等獎。（b）外爾半金屬。其特點是材料體內(nèi)的費米面由一系列“外爾點”（紅色和藍(lán)色的點）組成，每個外爾點都是貝里曲率的奇異點，可以帶來“量子反常”、“表面費米弧”等物理效應(yīng)。外爾半金屬在砷化鉭體系中的理論、實驗發(fā)現(xiàn)，被美國物理學(xué)會評選為125年來該學(xué)會旗下雜志發(fā)表的49項重要成果之一。
研究內(nèi)容
在“詞典”出版后的拓?fù)洳牧涎芯款I(lǐng)域可以說是“山雨欲來風(fēng)滿樓”，接下來需要做的事情已經(jīng)再顯然不過了：根據(jù)新的理論，設(shè)計一套全自動判別拓?fù)洳牧喜⒂嬎阃負(fù)洳蛔兞康乃惴ǎ缓笥盟鼇硪匀詣拥姆绞綄ふ倚碌耐負(fù)洳牧稀?018年年初，方辰研究員與翁紅明研究員、方忠研究員，以及博士研究生張?zhí)锾铩⑹Y毅、宋志達(dá)（現(xiàn)普林斯頓大學(xué)博士后）組成了研究團(tuán)隊，設(shè)計出了自動計算材料拓?fù)湫再|(zhì)的全流程。在這套流程中，通過一系列的邏輯判斷，我們給了每一種材料一個“拓?fù)錁?biāo)簽”。這個標(biāo)簽是以下8個之中的一個：“高對稱點半金屬”、“高對稱線半金屬”、“一般動量點半金屬”、“拓?fù)浣^緣體”、“拓?fù)渚w絕緣體”、“磁性材料”、“普通金屬”和“普通絕緣體”。其中，前五個標(biāo)簽表示該材料是拓?fù)洳牧希笕悶榉峭負(fù)洳牧希ɑ蛘呓袩o法判別其拓?fù)湫再|(zhì)的材料）。對于每類拓?fù)洳牧纤麄冇诌M(jìn)行了細(xì)分，就不在這里詳細(xì)寫出了。研究小組掃描了共計約40000種實驗中合成過的無機(jī)晶體材料，并發(fā)現(xiàn)其中約8000種是拓?fù)洳牧稀@與之前人們認(rèn)為拓?fù)洳牧鲜翘厥獾暮拖∮械闹庇X大相徑庭。這8000余種材料，不僅包括了幾乎所有前人用老方法在十幾年間找到的拓?fù)洳牧希€包括了大量的新拓?fù)洳牧?，這些材料的拓?fù)湫再|(zhì)之前從未被研究過。
圖2：文獻(xiàn)【1】中所使用的自動計算任意晶體材料的自動化流程。其中棱形的綠色模塊表示邏輯判斷，而平行四邊形的橙色模塊則代表輸出結(jié)果。根據(jù)這一流程，對于任何一個材料，我們都會得到一個確定的“標(biāo)簽”，這個標(biāo)簽告訴我們這一材料是否屬于拓?fù)洳牧?，以及屬于哪一種拓?fù)洳牧?。這里對于任何材料，文獻(xiàn)【1】都分別考慮了有自旋軌道耦合和無自旋軌道耦合兩種設(shè)置，這是與文獻(xiàn)【7，8】有所區(qū)別之處。
如何將這些結(jié)果呈現(xiàn)給科學(xué)界呢？對于每一種拓?fù)洳牧希覀儾粌H需要給出化學(xué)式、原子結(jié)構(gòu)、對稱性指標(biāo)、拓?fù)浞诸惖汝P(guān)鍵信息，還應(yīng)該給出計算出的電子態(tài)密度以及能帶結(jié)構(gòu)等參考信息。物理所的研究組與中科院計算機(jī)網(wǎng)絡(luò)信息中心的黃荷副研究員和碩士研究生賀雨晴合作，將所有這些信息做成了可以搜索的、有交互界面的數(shù)據(jù)庫。這是世界上首個包含了完整拓?fù)湫再|(zhì)的材料數(shù)據(jù)庫，作者們將它命名為“拓?fù)潆娮硬牧夏夸洝?。有了這份目錄，任何人都可以查出他/她所感興趣的材料是否具有拓?fù)湫再|(zhì)，以及具有哪些拓?fù)湫再|(zhì)。
物理所和計算機(jī)網(wǎng)絡(luò)信息中心的研究小組，以《拓?fù)潆娮硬牧夏夸洝窞轭}目共同撰文，詳述了計算材料拓?fù)湫再|(zhì)的算法以及用該算法所得到的拓?fù)洳牧蠑?shù)據(jù)庫。文章于2018年7月23日公布在預(yù)印本平臺arXiv，數(shù)據(jù)庫同日開放（http://materiae.iphy.ac.cn）。一周之后，《自然》發(fā)表新聞文章【6】，報道了上述工作和數(shù)據(jù)庫，并采訪了數(shù)據(jù)庫的第一批用戶。其中，來自德國馬普所的固態(tài)化學(xué)物理所的凝聚態(tài)物理學(xué)家Chandra Shekhar說：“你只需輸入材料的組分名稱，點擊一下，就可以知道這種材料是否存在拓?fù)湫再|(zhì)。我覺得這真是太棒了?！薄锻?fù)潆娮硬牧夏夸洝泛蠼?jīng)同行評議審稿，于今天在線發(fā)表在國際學(xué)術(shù)刊物《自然》網(wǎng)站。
“英雄所見略同”，另有兩個研究小組，也在同一天、于同一刊物上發(fā)表了他們的獨立研究成果【7，8】。其中一個小組是來自美國的普林斯頓大學(xué)、西班牙巴斯克大學(xué)和德國馬克斯-普朗克研究所的科學(xué)家，另一小組是來自南京大學(xué)和美國哈佛大學(xué)的科學(xué)家。他們兩個小組的工作內(nèi)容，同樣是通過計算能帶高對稱點的對稱性數(shù)據(jù)從而得到材料的拓?fù)湫再|(zhì)，方法和物理所研究小組采用的方法一致，三個研究組得到的結(jié)果也彼此相洽、相互印證。
圖3：中科院物理所-中科院計算機(jī)網(wǎng)絡(luò)中心合作建立的在線數(shù)據(jù)庫，在元素周期表中點選材料，在左邊輸入（可選）篩選條件，然后按下搜索鍵即可得到含有這些元素的所有拓?fù)洳牧系牧斜怼Ｔ摼W(wǎng)站的網(wǎng)址為http://materiae.iphy.ac.cn。
總結(jié)和展望
“拓?fù)潆娮硬牧夏夸洝钡膯柺溃砹送負(fù)洳牧线@一領(lǐng)域開始從“尋找新材料”轉(zhuǎn)向“研究新材料”。這8000余種拓?fù)洳牧舷袷墙o物理學(xué)家、材料學(xué)家打開了無數(shù)的門，從每一扇門看過去，很多本以為熟悉的材料有了新的研究角度，而許多之前被忽視的材料也出現(xiàn)了新的閃光點。
中國科學(xué)院的于淥院士認(rèn)為這一系列工作使拓?fù)洳牧系念A(yù)言從“手工式探索”變成“窮盡式列舉（exhaustive enumeration）”, 是跨越性進(jìn)步，會產(chǎn)生長遠(yuǎn)的影響。
【1】Zhang, T. et al. Catalogue of Topological Electronic Materials. Nature (advance online publication), https://doi.org/10.1038/s41586-019-0944-6 (2019)
【2】Bradlyn, B., et al. Topological quantum chemistry. Nature, 547(7663), 298 (2017)
【3】Po, H. C., Vishwanath, A., & Watanabe, H. Symmetry-based indicators of band topology in the 230 space groups. Nature Communications, 8(1), 50 (2017)
【4】Song, Z., Zhang, T., Fang, Z., & Fang, C. Quantitative mappings between symmetry and topology in solids. Nature communications, 9(1), 3530 (2018)
【5】Song, Z., Zhang, T., & Fang, C. Diagnosis for Nonmagnetic Topological Semimetals in the Absence of Spin-Orbital Coupling. Physical Review X, 8(3), 031069 (2018)
【6】Elizabeth Gibney, Trove of exotic matter thrills physicists. Nature, 560, 151 (2018)
【7】Vergniory, M. G., Elcoro, L., Felser, C., Bernevig, B. A. &Wang. Z. The (High Quality) Topological Materials In The World. Preprint at https://arxiv.org/abs/1807.10271 (to appear in Nature)
【8】Tang, F., Po, H. C., Vishwanath, A. & Wan, X. Towards ideal topological materials: Comprehensive database searches using symmetry indicators. Preprint at https://arxiv.org/abs/1807.09744 (to appear in Nature)
