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約數(shù)與倍數(shù)第二冊第六課約數(shù)與倍數(shù)

2011.07.29

第二冊 第六課

＋、－、×、÷、a b c d

[課前輔導(dǎo)]：

約數(shù)與倍數(shù)問題在日常生活中的應(yīng)用非常廣泛，近年來公務(wù)員考試中亦是比較常見的題型，計(jì)算起來比較簡單些，但在當(dāng)前社會(huì)經(jīng)濟(jì)中到處都用得著。看似簡單實(shí)際深入鉆研就會(huì)感到它其實(shí)是一門經(jīng)常的學(xué)問：例如統(tǒng)計(jì)學(xué)中的相對(duì)數(shù)，指數(shù)，相關(guān)關(guān)系等都要用到它。在小學(xué)數(shù)學(xué)中必須弄清它們的概念及其異同區(qū)別，學(xué)會(huì)運(yùn)算中的快速方法，為今后應(yīng)用時(shí)打下良好基礎(chǔ)。

（一）約數(shù)與倍數(shù)的相互依存關(guān)系

約數(shù)與倍數(shù)是建立在除法整除基礎(chǔ)上，首先要理解整除概念，即被除數(shù)÷除數(shù)=商數(shù)，沒有余數(shù)。約數(shù)和倍數(shù)都表示一個(gè)數(shù)與另一個(gè)數(shù)的關(guān)系，不能單獨(dú)存在．如只能說16是某數(shù)的倍數(shù)，2是某數(shù)的約數(shù)，而不能孤立地說16是倍數(shù)，2是約數(shù)．

（二）“倍”與“倍數(shù)”是不同的兩個(gè)概念

“倍”是指兩個(gè)數(shù)相除的商，它可以是整數(shù)、小數(shù)或者分?jǐn)?shù)．“倍數(shù)”只能在數(shù)的整除范圍內(nèi)，相對(duì)于“約數(shù)”而言的一個(gè)數(shù)字概念，表示的是能被某一個(gè)自然數(shù)整除的數(shù)，它必須是一個(gè)自然數(shù)．

可以說8是4的2倍，8是4的倍數(shù)；而0.8可以說是0.4的兩倍，但不能說0.8是0。4的倍數(shù)，因?yàn)?span lang="EN-US">0.8和0.4它們不是整數(shù)。從而進(jìn)一步理解和掌握約數(shù)與倍數(shù)是建立在整除基礎(chǔ)上的本質(zhì)。

（三） 約數(shù)與倍數(shù)的定義

如果一個(gè)自然數(shù)能被自然數(shù)整除，則被除數(shù)稱為倍數(shù)，除數(shù)及商數(shù)則是被除數(shù)的一對(duì)約數(shù)，進(jìn)而發(fā)現(xiàn)被除數(shù)的約數(shù)可以一對(duì)一對(duì)的找。

例1．如被除數(shù)為60，它的約數(shù)可以一對(duì)一對(duì)的找到6對(duì)

[1，60]；[2，30]；[3，20]；[4，15] ；[5，12]；[6，10] = 60．

因?yàn)樗鼈兿喑硕际?/span>60，所以每對(duì)都是（倍數(shù)）被除數(shù)的約數(shù)。

幾個(gè)自然數(shù)公有的約數(shù)，叫作這幾個(gè)數(shù)的公約數(shù)。

公約數(shù)中最大的一個(gè)公約數(shù)，稱為這幾個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)。

幾個(gè)自然數(shù)公有的倍數(shù)，叫作這幾個(gè)數(shù)的公倍數(shù)。

公倍數(shù)中最小的一個(gè)公倍數(shù)，稱為這幾個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)。

（四）常用的求最大公約數(shù)的方法是分解質(zhì)因數(shù)法和短除法．

1．分解質(zhì)因數(shù)法：把每個(gè)數(shù)分別分解質(zhì)因數(shù)，再把各數(shù)中的公有質(zhì)因數(shù)提取出來連乘，所得的積就是這幾個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)．

例2，求24和60的最大公約數(shù)．24=2×2×2×3，60=2×2×3×5，24與60的全部公有的質(zhì)因數(shù)是2，2和3，它們的積是2×2×3=12，所以（24，60）=12．

2．短除法：先用這幾個(gè)數(shù)的公約數(shù)連續(xù)去除，一直除到所有的商無公約數(shù)為止，然后把所有的除數(shù)連乘起來，所得的積就是這幾數(shù)的最大公約數(shù)．

例3．求24，48，60的最大的公約數(shù)與最小公倍數(shù)？

先求24，48，60的最大公約數(shù)？

　4┖24 48 60

　3┖ 6 12 15

　 2 4 5

答最大公約數(shù)：兩個(gè)除4×3=12。

再求24，48，60的最小公倍數(shù)？

　4┖24 48 60

　3┖ 6 12 15

　 2┖2 4 5

1 2 5

答最小公倍數(shù)：4×3×2×1×2×5=240。

解釋：用短除法求最小公倍數(shù)只要在求出最大公約數(shù)的基礎(chǔ)上，再檢查各數(shù)余數(shù)中是否全部都是互質(zhì)數(shù)，如果還有公約數(shù)，則繼續(xù)提取，求最小公倍數(shù)與求最大公約數(shù)不同之處在于，求最大公約數(shù)的各個(gè)余數(shù)中只要任何二個(gè)余數(shù)還有公約數(shù)就應(yīng)繼續(xù)提取；例如上面三個(gè)余數(shù)2，4，5中2與4再可商2，剩下1，2，5中已沒有公約數(shù)，然后全部商、余相乘，其乘積就是最小公倍數(shù)。

（五）用輾轉(zhuǎn)相除法求兩個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)

在中國古代就有一個(gè)很好的算法來計(jì)算a,b的最大公約數(shù)（a,b）,稱為輾轉(zhuǎn)相除法，在西方稱為Euclid(歐幾里得)算法。

下面通過計(jì)算（1397，2413）來闡述這一算法。

例4．求（1397，2413）的整個(gè)計(jì)算過程為：

2413÷1397=1……1016，

1397÷1016=1……381，

1016÷381=2……254，

381÷254=1……127，

254÷127=2……0，

答案：（1397，2413）=127。

解釋：我們用這兩個(gè)數(shù)1397和2413中兩個(gè)數(shù)中小的去除大的，得商為1，余數(shù)為1016。將原來兩個(gè)數(shù)中大的2413扔掉，將1397作為大數(shù)，將余數(shù)1016作為新的小數(shù)。重復(fù)上面的過程：用1016去除1397，得商為1，余數(shù)為381。扔掉1397，將381作為除數(shù)，1016作為被除數(shù)。用381去除1016，得商為2余數(shù)為254，扔掉1016，用254 去除381，得商為1 ，余數(shù)為127，再扔掉381，用127去除254，發(fā)現(xiàn)能整除，于是127就是最大公約數(shù)。

（六）歸納：

1．約數(shù)與倍數(shù)這一課的難點(diǎn)，在于求最大公約數(shù)，尤其是求兩個(gè)較大自然數(shù)的最大公約數(shù)，上面介紹三種方法：分解質(zhì)因數(shù)法、短除法與輾轉(zhuǎn)相除法，前二種方法都不及第三種輾轉(zhuǎn)相除法簡單方便。

例如對(duì)于52317和75569兩個(gè)數(shù)，你能迅速地求出它們的最大公約數(shù)嗎？一般來說你會(huì)找一找公共的使因子，這題可麻煩了，不好找，質(zhì)因子大。

現(xiàn)在教你用輾轉(zhuǎn)相除法來求最大公約數(shù)。

先用較大的75569除以52317，得商1，余數(shù)23252，再以52317除以23252，得商2，余數(shù)是5813，再用23252做被除數(shù)，5813做除數(shù)，正好除盡得商數(shù)4。這樣5813就是75569和52317的最大公約數(shù)。你要是用分解使因數(shù)的辦法，肯定找不到。