畢達(dá)哥拉斯定理（勾股定理）是人們?cè)跀?shù)學(xué)上學(xué)到的第一個(gè)定理：如果有一個(gè)直角三角形，則最長(zhǎng)邊（斜邊）的平方將始終等于其他兩個(gè)邊的平方和。它適用的第一個(gè)整數(shù)組合是邊3、4和5的三角形：32+42=52。 這也適用于其他數(shù)字組合，包括：
5、12和13
6、8和10
7、24和25
還有更多。但是3、4和5是特殊的：它們是遵循勾股定理的唯一連續(xù)整數(shù)。事實(shí)上，它們是唯一 一個(gè)連續(xù)的整數(shù)，能讓你解出方程a2+b2=c2。 但是，如果在等式兩側(cè)允許包含更多的數(shù)，例如a2+b2+c2=d2+e2。值得注意的是，有一個(gè)且只有一個(gè)解決辦法：102+112+122=132+142。 為什么呢？
查看畢達(dá)哥拉斯定理（勾股定理）最深入的方法之一就是考慮一個(gè)在所有邊上都有一定長(zhǎng)度的正方形：我們稱(chēng)該長(zhǎng)度為b。 該正方形的面積為b2，因?yàn)樵撜叫蔚拈L(zhǎng)度和寬度彼此相乘。如果我們要使a2+b2=c2，并且我們希望a，b和c均為連續(xù)數(shù)字，那么這對(duì)a和c施加了巨大的限制。
這意味著c必須等于（b + 1），而a必須等于（b-1），這是一個(gè)方程，我們只需一點(diǎn)代數(shù)就可以解決。
（b-1）2+（b）2=（b + 1）2，
b2-2b +1 +b2=b2+ 2b +1
b2-4b = 0。
因此，b必須等于0（這并不有趣）或4，其中4使我們返回我們?cè)瓉?lái)的畢達(dá)哥拉斯解決方案32+42=52。
但是您也可以以圖形方式解決此問(wèn)題。 如果從四邊都是b的正方形開(kāi)始，則可以將其分解為每條1單位粗的線(xiàn)。 因?yàn)橐粋€(gè)正方形有4個(gè)邊，所以您唯一的方法是將這些線(xiàn)添加到一個(gè)較小的正方形[在所有邊上都是（b-1）]，并以一個(gè)更大的正方形結(jié)束[在所有邊上都是（b + 1） 邊]是指如果您有4個(gè)邊：每邊加一條。
上圖清楚地顯示了如何執(zhí)行此操作：
這是唯一可用于方程a2+b2=c2的連續(xù)整數(shù)的解決方案。如果您將中型正方形放大或縮小，則將錯(cuò)誤的線(xiàn)數(shù)放置在較小的正方形周?chē)允蛊涑砷L(zhǎng)為較大的正方形。它根本無(wú)法完成，對(duì)于a2+b2=c2，連續(xù)的整數(shù)3、4和5是唯一起作用的整數(shù)。
但是，為什么要限制自己只有三個(gè)數(shù)字呢？ 對(duì)于任何奇數(shù)個(gè)連續(xù)整數(shù)，您可能會(huì)找到滿(mǎn)足這種關(guān)系的連續(xù)整數(shù)，例如：
等等。
實(shí)際上，如果您看一下第二種可能性，其中a2+b2+c2=d2+e2，您會(huì)發(fā)現(xiàn)只有一個(gè)和唯一 一個(gè)有效的數(shù)字組合：102+112+122=132+142。 左邊為100 + 121 + 144，總計(jì)為365，右邊為169 + 196，總計(jì)為365。
如果您打算用代數(shù)解決這類(lèi)方程，您仍然可以做到，但是可能要花一些時(shí)間。您最終會(huì)發(fā)現(xiàn)中間數(shù)字c必須為12（或0，這又是沒(méi)有意思的），因此有效的完整方程式為102+112+122=132+142。
但是，如果我們從較早以前回到相同的圖形方法，則可以以非常直觀的方式找到解決方案。
像以前一樣，我們將采用中間的“正方形”（其所有邊的長(zhǎng)度均為c）并將其分解為1單位粗的線(xiàn)。 與第一次使用此技巧不同，這次，我們需要使用以下兩條線(xiàn)將兩個(gè)正方形變成更大的正方形：
與上次一樣，要為第一個(gè)正方形完成此操作，我們總共需要四條線(xiàn)，每條線(xiàn)的厚度為1單位。但是要在第二個(gè)正方形上完成此操作，我們需要4條線(xiàn)，每條線(xiàn)的寬度為2個(gè)單位。
總而言之，這僅在中間“正方形”的厚度為12個(gè)單位的厚度時(shí)才有效，這就是為什么我們得到等式102+112+122=132+142。 如果您的直線(xiàn)是12單位乘1單位，那么您可以采用其中的4個(gè)（4×12 = 48）并將112轉(zhuǎn)換為132，因?yàn)?21 + 48 =169。類(lèi)似地，您可以采用8條這樣的線(xiàn)（8× 12 = 96），然后將102轉(zhuǎn)換為142，因?yàn)?00 + 96 =196。這是方程a2+b2+c2=d2+e2的連續(xù)整數(shù)的唯一解。
此時(shí)，您可能會(huì)開(kāi)始看到一種模式，從數(shù)學(xué)的角度來(lái)看，這總是很有趣的。 如果我們采取下一步并詢(xún)問(wèn)繼續(xù)擴(kuò)展此方程式以包含更多數(shù)字的解決方案，我們將更清楚地看到它。
換句話(huà)說(shuō)，我們?nèi)绾握业椒匠淌降慕?，a2 + b2 + c2 + d2 = e2 + f2 + g2？
如果采用類(lèi)似的方法，那么現(xiàn)在需要將三個(gè)較小的正方形變成較大的正方形：
假設(shè)現(xiàn)在，我們需要中間的“正方形”的長(zhǎng)度為4 + 8 + 12 = 24，這給我們帶來(lái)了我們懷疑應(yīng)該作為該方程式的解決方案的東西。 如果正確，則212+222+232+242=252+262+272。 當(dāng)我們進(jìn)行數(shù)學(xué)運(yùn)算時(shí)，我們看到這給了我們441 + 484 + 529 + 576 = 625 + 676 + 729，這將進(jìn)行檢出。 雙方都等于2030，這意味著它們彼此相等。
這些類(lèi)型的序列在數(shù)學(xué)中都有一個(gè)特殊的名稱(chēng)，可以一直追溯到畢達(dá)哥拉斯定理和32+42=52的原始解：畢達(dá)哥拉斯（勾股）運(yùn)算。 序列中的中間數(shù)出現(xiàn)的模式一直保持到無(wú)窮大，直到它變?yōu)?、12、24、40、60、84、112等。因此，如果您想知道下一個(gè)序列 滿(mǎn)足這些類(lèi)型的方程式的數(shù)字是：
等等。 看起來(lái)像是瘋狂的數(shù)學(xué)巧合實(shí)際上具有深刻而直接的解釋。
一年有365天（非閏年），而102+112+122=132+142=365。然而，這一數(shù)學(xué)事實(shí)與我們的歷法完全沒(méi)有關(guān)系，也與我們的行星繞太陽(yáng)的旋轉(zhuǎn)和公轉(zhuǎn)沒(méi)有關(guān)系。相反，一年中的天數(shù)在這里純粹是巧合，但數(shù)學(xué)關(guān)系是畢達(dá)哥拉斯幾何的直接結(jié)果，這比代數(shù)更容易可視化。
畢達(dá)哥拉斯剛開(kāi)始是a2+b2=c2，它具有3、4和5作為唯一求解它的連續(xù)數(shù)字。 但是，只要我們?cè)敢猓覀兙涂梢詳U(kuò)展它，而且對(duì)于每個(gè)方程式，我們可以寫(xiě)下奇數(shù)個(gè)數(shù)，只有一個(gè)唯一的連續(xù)整數(shù)解。 這些畢達(dá)哥拉斯（勾股）運(yùn)算有一個(gè)聰明的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)來(lái)控制它們，并且通過(guò)了解正方形的工作原理，我們可以了解為什么它們無(wú)法以其他任何方式表現(xiàn)。
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