在從數(shù)學(xué)和物理學(xué)方面討論圓錐曲線前,我們先來(lái)聊一個(gè)非常有意思的話題:男女吸引。打開這個(gè)鏈接的同學(xué),應(yīng)該已經(jīng)是高中生了吧,對(duì)男女之間的相互吸引已經(jīng)不陌生了。這是一個(gè)輕松而且愉悅的話題。
那么男女之間的吸引與圓錐曲線有什么關(guān)系呢?讓我們慢慢分析一下,看看男女吸引是否可以簡(jiǎn)化到圓錐曲線模型上來(lái),我們不僅學(xué)到了圓錐曲線的知識(shí),同時(shí)也為我們將來(lái)尋找真愛(ài)提供一個(gè)模型參考。不僅在高考中得分,在漫漫人生中也得分,不走彎路。
男女之間的吸引就如萬(wàn)有引力一樣,存在一個(gè)簡(jiǎn)化模型公式。吸引力F = G*m*M/r^2。
我們就像一顆恒星,時(shí)刻想捕獲一個(gè)從我們身邊劃過(guò)的行星(心儀對(duì)象),怎么才能安全地捕獲到呢?那就要求,兩個(gè)人的質(zhì)量要匹配,你的質(zhì)量太小,對(duì)方質(zhì)量太大,她/他就會(huì)擦肩而過(guò),劃過(guò)一道漂亮的雙曲線或拋物線;或者你的質(zhì)量太大,他/她的質(zhì)量太小,角度不對(duì),他/她可能直沖你撞了過(guò)來(lái),然后一陣火花四射;要像成功捕獲,并形成穩(wěn)定的橢圓環(huán)繞運(yùn)行,質(zhì)量要正正好,速度,角度也都要正正好,不能太慢也不能太快。
看到了嗎?要像俘虜一個(gè)非常優(yōu)秀的異性,你就必須擁有足夠捕獲她/他的勢(shì)能,否則她/他就會(huì)像顆流星一樣轉(zhuǎn)瞬即逝。學(xué)好圓錐曲線可以增加你的勢(shì)能哦。
在我們的日常生活中,圓錐曲線也無(wú)處不在。我想我們現(xiàn)代人對(duì)汽車不會(huì)陌生吧,汽車的前大燈的反射鏡面就是圓錐曲面,它是由一條拋物線母線沿對(duì)稱軸旋轉(zhuǎn)180度得來(lái)。
拋物面反射鏡有一個(gè)焦點(diǎn)F,在其焦點(diǎn)F上放置一個(gè)點(diǎn)光源,則點(diǎn)光源發(fā)出的光線經(jīng)拋物面反射鏡反射后,光線將平行ox軸射出,光線的光路為FAB,光線非常集中,適宜用于遠(yuǎn)距離照明。
如果將點(diǎn)光源從焦點(diǎn)F向前移到S時(shí),由S點(diǎn)發(fā)出的光線經(jīng)拋物面反射鏡反射后光路為FAC,光線照在汽車正前方的近距離處,適宜近距離照明??紤]到拋物面的繞軸旋轉(zhuǎn)對(duì)稱性,在近燈絲附近設(shè)置一個(gè)遮光罩,將除了向下的其它方向上的光線遮住,以達(dá)到近光燈只照射到車頭前的地面上。
圓錐圈線在光學(xué)上的還有如下一些特性:
從橢圓一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光,經(jīng)過(guò)橢圓反射后,反射光線都匯聚到橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)上。
從雙曲線一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光,經(jīng)過(guò)雙曲線反射后,反射光線的反向延長(zhǎng)線都匯聚到雙曲線的另一個(gè)焦點(diǎn)上。
從拋物線的焦點(diǎn)發(fā)出的光,經(jīng)過(guò)拋物線反射后,反射光線都平行于拋物線的對(duì)稱軸。
一束平行光垂直于拋物線的準(zhǔn)線,向拋物線的開口射進(jìn)來(lái),經(jīng)拋物線反射后,反射光線匯聚在拋物線的焦點(diǎn)。
很早以前,天文學(xué)家認(rèn)為,行星圍繞恒星旋轉(zhuǎn)的軌跡為標(biāo)準(zhǔn)的園,德國(guó)天文學(xué)家開普勒通過(guò)計(jì)算火星的運(yùn)行軌跡,揭示了行星圍繞恒星旋轉(zhuǎn)的軌跡為橢圓,恒星恰巧就在橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)上。
向外拋出的物體,由于受到地球的吸引,最終墜落到地面,它在空中飛行的軌跡就是一個(gè)拋物線。比方說(shuō),子彈、炮彈飛行的軌跡。
圓錐曲線定義和在高考中的地位
圓錐曲線(conic section)是由一平面截二次錐面得到的曲線。包括橢圓(圓為橢圓的特例),拋物線,雙曲線。圓錐曲線(二次曲線)的(不完整)統(tǒng)一定義:到定點(diǎn)(焦點(diǎn))的距離與到定直線(準(zhǔn)線)的距離的比值是一個(gè)常數(shù)e(離心率)的所有點(diǎn)的集合(軌跡)。當(dāng)e>1時(shí),為雙曲線的一支;當(dāng)e=1時(shí),為拋物線;當(dāng)0<e<1時(shí),為拋物線;當(dāng)e=0時(shí),為一點(diǎn);
有人說(shuō)過(guò):如果對(duì)圓錐曲線不熟悉,不能快速求解圓錐曲線的相關(guān)問(wèn)題,高考數(shù)學(xué)不可能得到高分。
可見(jiàn)圓錐曲線的知識(shí)點(diǎn)在高考中占據(jù)的地位。通過(guò)對(duì)歷年高考試卷的分析,事實(shí)的確如此。圓錐曲線相關(guān)考題在歷年高考數(shù)學(xué)考試中所占分值較高。
為了從根本上了解掌握?qǐng)A錐曲線,有必要對(duì)其歷史的來(lái)龍去脈進(jìn)行一下梳理。
阿波羅尼
說(shuō)到圓錐曲線的起源,就必須要說(shuō)古希臘的數(shù)學(xué)研究。2000多年前,古希臘數(shù)學(xué)家就開始研究圓錐曲線了,并取得了很多成就。其中,最耀眼的要數(shù)阿波羅尼和他的著作《圓錐曲線》了。
古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼采用平面切割圓錐的方法來(lái)研究這幾種曲線。用垂直于錐軸的平面去截圓錐,得到的是圓;把平面漸漸傾斜,得到橢圓;當(dāng)平面傾斜到“和且僅和”圓錐的一條母線平行時(shí),得到拋物線;用平行于圓錐的軸的平面截取,可得到雙曲線的一支(把圓錐面換成相應(yīng)的二次錐面時(shí),則可得到雙曲線)。
阿波羅尼曾把橢圓叫“虧曲線”,把雙曲線叫做“超曲線”,把拋物線叫做“齊曲線”。事實(shí)上,阿波羅尼在其著作中使用純幾何方法已經(jīng)取得了今天高中數(shù)學(xué)中關(guān)于圓錐曲線的全部性質(zhì)和結(jié)果。
阿波羅尼的成就太巨大了,以至于在他后面的上千年里,在圓錐曲線研究方面,其他人都沒(méi)有什么突破。
直到16世紀(jì),有兩件事促使了人們對(duì)圓錐曲線作進(jìn)一步研究。一是德國(guó)天文學(xué)家開普勒(Kepler,1571~1630)繼承了哥白尼的日心說(shuō),揭示出行星按橢圓軌道環(huán)繞太陽(yáng)運(yùn)行的事實(shí);二是意大利物理學(xué)家伽利略(Galileo,1564~1642)得出物體斜拋運(yùn)動(dòng)的軌道是拋物線。
開普勒和伽利略
開普勒定律是德國(guó)天文學(xué)家開普勒提出的關(guān)于行星運(yùn)動(dòng)的三大定律。第一和第二定律發(fā)表于1609年,是開普勒從天文學(xué)家第谷觀測(cè)火星位置所得資料中總結(jié)出來(lái)的;第三定律發(fā)表于1619年。這三大定律又分別稱為橢圓定律、面積定律和調(diào)和定律。
①橢圓定律:所有行星繞太陽(yáng)的軌道都是橢圓,太陽(yáng)在橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)上。
②面積定律:行星和太陽(yáng)的連線在相等的時(shí)間間隔內(nèi)掃過(guò)的面積相等。
③調(diào)和定律:所有行星繞太陽(yáng)一周的恒星時(shí)間(Ti)的平方與它們軌道半長(zhǎng)軸(ai)的立方成比例,即 T1^2/T2^2 = a1^3/a2^3。
伽利略是意大利天文學(xué)家,物理學(xué)家和工程師。伽利略研究了速度和加速度,重力和自由落體,相對(duì)論,慣性,彈丸運(yùn)動(dòng)原理,并從事應(yīng)用科學(xué)和技術(shù)的研究,描述了擺的性質(zhì)和“ 靜水平衡”,發(fā)明了溫度計(jì)和各種軍事羅盤,并使用用于天體科學(xué)觀測(cè)的望遠(yuǎn)鏡。他的這些成就就是我們初中,高中物理科目的重點(diǎn)內(nèi)容。他發(fā)現(xiàn)物體斜拋運(yùn)動(dòng)的軌跡就是拋物線。
笛卡爾與費(fèi)馬
而當(dāng)法國(guó)另外兩位數(shù)學(xué)家笛卡兒和費(fèi)馬創(chuàng)立了解析幾何,人們對(duì)圓錐曲線的認(rèn)識(shí)進(jìn)入了一個(gè)新階段,對(duì)圓錐曲線的研究方法既不同于阿波羅尼,又不同于投射和截影法,而是朝著解析法的方向發(fā)展,即通過(guò)建立坐標(biāo)系,得到圓錐曲線的方程,進(jìn)而利用方程來(lái)研究圓錐曲線,以期擺脫幾何直觀而達(dá)到抽象化的目標(biāo),也可求得對(duì)圓錐曲線研究高度的概括和統(tǒng)一。
歐拉
到18世紀(jì),人們廣泛地探討了解析幾何,除直角坐標(biāo)系之外又建立極坐標(biāo)系,并能把這兩種坐標(biāo)系相互轉(zhuǎn)換。在這種情況下表示圓錐曲線的二次方程也被化為幾種標(biāo)準(zhǔn)形式,或者引進(jìn)曲線的參數(shù)方程。1745年歐拉發(fā)表了《分析引論》,這是解析幾何發(fā)展史上的一部重要著作,也是圓錐曲線研究的經(jīng)典之作。在這部著作中,歐拉給出了現(xiàn)代形式下圓錐曲線的系統(tǒng)闡述,從一般二次方程出發(fā),圓錐曲線的各種情形,經(jīng)過(guò)適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)變換,總可以化以下標(biāo)準(zhǔn)形式之一:繼歐拉之后,三維解析幾何也蓬勃地發(fā)展起來(lái),由圓錐曲線導(dǎo)出了許多重要的曲面,諸如圓柱面、橢球面、單葉和雙葉雙曲面以及各種拋物面等。
圓錐曲線無(wú)論在數(shù)學(xué)以及其他科學(xué)技術(shù)領(lǐng)域,還是在我們的實(shí)際生活中都占有重要的地位,人們對(duì)它的研究也不斷深化,其研究成果又廣泛地得到應(yīng)用。這正好反映了人們認(rèn)識(shí)事物的目的和規(guī)律。
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