大家好，我是科技袁人袁嵐峰。
你想成為數(shù)學(xué)大佬嗎？我有些朋友非常熱心數(shù)學(xué)科普，組織了一個“哆嗒數(shù)學(xué)網(wǎng)”。最近，哆嗒數(shù)學(xué)網(wǎng)發(fā)了一篇簡短的文章《15個數(shù)論難題，解決任意一個都能讓你稱為頂級大佬》。下面我來結(jié)合自己的理解，更詳細(xì)地介紹一下。讓我們來看看，這15個問題你能解決多少，或者能看懂多少。對我來說很明確：全都能看懂，一個都解決不了。
第一個問題是鼎鼎大名的哥德巴赫猜想（Goldbach conjecture）：每個大于等于4的偶數(shù)都可以表示成兩個質(zhì)數(shù)之和。這也就是陳景潤一心想證明的1 + 1——請注意是1 + 1，不是1 + 1 = 2！1 + 1 = 2是個小學(xué)知識，完全不需要證明。經(jīng)常有些人納悶，陳景潤為什么要證明1 + 1 = 2，難道數(shù)學(xué)家吃飽了撐得沒事干嗎？難道1 + 1 = 2很高深嗎？其實這完全是誤解。
哥德巴赫猜想
哥德巴赫猜想中的1 + 1是個簡稱，這里的1是表示只有一個質(zhì)因數(shù)的整數(shù)即質(zhì)數(shù)。1 + 1的意思就是任何一個足夠大的偶數(shù)都可以分解成兩個質(zhì)數(shù)之和，即哥德巴赫猜想。由于這個猜想太難啃，人們先嘗試去攻克它的較弱版本，如9 + 9、1 + 3等等，陳景潤證明的是1 + 2。這里的2表示質(zhì)因數(shù)數(shù)目不超過2的數(shù)，即它或者是質(zhì)數(shù)，或者是兩個質(zhì)數(shù)的乘積。類似的，3表示質(zhì)因數(shù)數(shù)目不超過3的數(shù)，9表示質(zhì)因數(shù)數(shù)目不超過9的數(shù)，如此等等。
了解了這些記法，你才能明白陳景潤的1 + 2是什么意思。它說的是，任何一個足夠大的偶數(shù)都可以分解為一個質(zhì)數(shù)加上一個質(zhì)因數(shù)數(shù)目不超過2的數(shù)。在陳景潤之前，人們先是證明了9 + 9，然后是7 + 7、6 + 6、3 + 4、1 + 5、1 + 4、1 + 3等等。陳景潤取得了這個方向上迄今為止最強(qiáng)的結(jié)果1 + 2，這是一個偉大的成就。這看起來離哥德巴赫猜想只有一步之遙，但這一步極其困難，到現(xiàn)在人們還沒跨過去。
陳景潤
第二個問題是考拉茲猜想（Collatz conjecture），或者稱為角谷猜想、冰雹猜想、421猜想、3x + 1猜想等等。最后這個名字，3x + 1猜想，會讓人很快明白它說的是什么。取一個正整數(shù)x，如果它是偶數(shù)，就把它除以2，如果它是奇數(shù)，就把它乘以3再加上1，即變成3x + 1。然后按照同樣的規(guī)則，把這個操作無限進(jìn)行下去。這個猜想說的是：無論你最初取的x等于多少，最終都會進(jìn)入4-2-1-4-2-1的循環(huán)。稍微想一下就會明白，進(jìn)入這個循環(huán)就出不來了，因為4的下一步是2，2的下一步是1，1的下一步又回到了4。但問題在于，是否一定會進(jìn)入這個循環(huán)呢？
從100出發(fā)的3x + 1猜想序列
你可以拿幾個數(shù)試驗一下，你會發(fā)現(xiàn)都是如此。有些很快就進(jìn)入循環(huán)，有些要很久才進(jìn)入循環(huán)，但或早或晚都會變成4-2-1-4-2-1。數(shù)學(xué)家已經(jīng)用計算機(jī)驗證到了2^68 ≈ 2.95 × 10^20，都滿足這個規(guī)律。然而計算機(jī)只能驗證有限，不能證明無限。這是不是對所有的自然數(shù)都成立？目前還完全不清楚！
第三個問題是勒讓德猜想（Legendre’s conjecture）：對任意一個自然數(shù)n，在n^2和(n + 1)^2之間都至少存在一個質(zhì)數(shù)p。按照我對這個領(lǐng)域的一點點了解，在這個方向上最重要的結(jié)果是伯特蘭-切比雪夫定理：對任何大于3的自然數(shù)n，都至少存在一個質(zhì)數(shù)p滿足n < p < 2n - 2。勒讓德猜想看起來只是伯特蘭-切比雪夫定理的一個改進(jìn)，但這個改進(jìn)到現(xiàn)在都沒得到證明。
勒讓德（Adrien-Marie Legendre，1752 - 1833）
第四個問題是鼎鼎大名的孿生質(zhì)數(shù)猜想（twin prime conjecture）：存在無窮多對質(zhì)數(shù)，它們之間只相差2。這樣的一對質(zhì)數(shù)，叫做孿生質(zhì)數(shù)。我以前介紹過，中國數(shù)學(xué)家張益唐在這個問題上取得了突破性進(jìn)展。他證明了，存在無窮多對質(zhì)數(shù)，它們之間的差距不超過7千萬。假如把7千萬縮小到2，就證明了孿生質(zhì)數(shù)猜想，但現(xiàn)在還沒有做到。
張益唐
如果你沒有理解這為什么是個突破，我們來稍微解釋一下。7千萬雖然看起來是個很大的數(shù)，但以前是完全不能肯定有這樣的上限存在。所以張益唐是從無限進(jìn)步到了7千萬，這是質(zhì)的區(qū)別，而從7千萬到2只是有限到有限，這是量的區(qū)別。目前的最好結(jié)果，是把這個差距縮小到了246。但再往下就十分困難了，還需要新的思想。
第五個問題是梅森質(zhì)數(shù)猜想。梅森（Marin Mersenne, 1588－1648）是十七世紀(jì)的法國數(shù)學(xué)家，他研究了2^p - 1類型的數(shù)，其中p是一個質(zhì)數(shù)?，F(xiàn)在我們把這樣的數(shù)叫做梅森數(shù)，記為Mp。假如對于某個p，Mp是個質(zhì)數(shù)，就把它稱為梅森質(zhì)數(shù)。梅森質(zhì)數(shù)猜想說的就是：存在無窮多個梅森質(zhì)數(shù)。
梅森
是不是真的這樣呢？沒人知道。我們知道的是，尋找梅森質(zhì)數(shù)是目前尋找大質(zhì)數(shù)最好的辦法。近幾十年來找到的最大的質(zhì)數(shù)，都是通過對梅森質(zhì)數(shù)的搜索找到的。例如2018年發(fā)現(xiàn)了目前最大的梅森質(zhì)數(shù)也就是目前最大的質(zhì)數(shù)2^82589933 - 1，它是個24862048位數(shù)。
第六個問題是n^2 + 1猜想：存在無窮多個自然數(shù)n，使得n^2+1是質(zhì)數(shù)。這個猜想的表述出奇的簡單，證明卻完全無從下手。
第七個問題是費(fèi)馬數(shù)猜想。這個猜想的風(fēng)格跟前面的正好相反，前面那些都是要證明有無窮多個什么什么，這個卻是要證明某個東西只有有限多。是什么東西呢？是說費(fèi)馬數(shù)中的質(zhì)數(shù)只有有限多。什么叫費(fèi)馬數(shù)？就是那些形如2^(2^n) + 1的數(shù)，其中n = 0，1，2，3，4……我們把它記為F(n)。
費(fèi)馬（Pierre de Fermat，1601 - 1665）發(fā)現(xiàn)，當(dāng)n從0到4時，F(xiàn)(n)都是質(zhì)數(shù)。大家可以來檢驗一下，這五個數(shù)分別是3、5、17、257和65537，確實都是質(zhì)數(shù)。下一個F(5)太大了，費(fèi)馬沒有去檢驗，他就興致勃勃地猜想費(fèi)馬數(shù)全都是質(zhì)數(shù)。結(jié)果將近一百年后，歐拉發(fā)現(xiàn)F(5)是個合數(shù)，它等于641 × 6700417，這就推翻了費(fèi)馬的猜想。更令人大跌眼鏡的是，后來人們算出的費(fèi)馬數(shù)全都是合數(shù)，再也沒見到一個質(zhì)數(shù)！所以現(xiàn)在我們的猜想反過來了，變成了費(fèi)馬數(shù)中只有有限個質(zhì)數(shù)。更進(jìn)一步，說不定費(fèi)馬數(shù)中的質(zhì)數(shù)只有最初的那五個呢，誰知道？
費(fèi)馬
第八個問題是奇完全數(shù)猜想。所謂完全數(shù)（perfect number）或者完滿數(shù)、完美數(shù)就是這樣的自然數(shù)，它的所有真因數(shù)之和等于它自己。請注意這里說的是真因數(shù)而不是質(zhì)因數(shù)，真因數(shù)就是那些小于它自己的因數(shù)。例如6是一個完全數(shù)，因為6的真因數(shù)只有1、2、3，而1 + 2 + 3剛好等于6。又如28的所有真因數(shù)是1、2、4、7、14，這些數(shù)加起來等于28，所以28也是完全數(shù)。
完全數(shù)
截止2018年，已經(jīng)找到了51個完全數(shù)。它們?nèi)际桥紨?shù)，而且全都可以表示成Mp (Mp + 1)，這里的Mp是前面剛剛介紹過的梅森質(zhì)數(shù)。所以奇完全數(shù)猜想就是問：是否存在奇的完全數(shù)？目前完全不清楚。目前我們知道的是，假如存在奇的完全數(shù)，那么它必須要大于10^1500。
第九個問題是完美長方體猜想。所謂完美長方體（perfect cuboid）就是這樣的長方體，它的長、寬、高和所有的對角線（包括面對角線和體對角線）的長度都是整數(shù)。也就是說，它的長寬高a、b、c是三個自然數(shù)，而且a^2 + b^2、a^2 + c^2、b^2 + c^2以及a^2 + b^2 + c^2都是平方數(shù)。完美長方體猜想就是問，是否存在這樣的一組自然數(shù)？
完美長方體
我看到這個問題時大為吃驚，因為我知道兩個平方數(shù)相加在什么情況下是平方數(shù)是個早已解決的問題，也就是所謂勾股數(shù)：a = p^2 - q^2，b = 2pq，c = p^2 + q^2，其中p和q是兩個任意的自然數(shù)。但三個平方數(shù)相加在什么情況下是平方數(shù)，居然直到現(xiàn)在都沒有解決！由此導(dǎo)致，完美長方體是否存在，現(xiàn)在沒人能證明或證偽。數(shù)值驗證的結(jié)果是，假如完美長方體存在，那么它最小的奇數(shù)棱長不小于2.5 × 10^13。
第十個問題是鼎鼎大名的黎曼猜想（Riemann hypothesis）。我絲毫不打算用簡單的語言來解釋這個問題，因為——完全不可能。我以前做過一系列節(jié)目，來完整地介紹黎曼猜想。在這里只能告訴大家，這個猜想說的是：黎曼ζ函數(shù)的所有非平凡零點的實部都等于1/2。
用復(fù)平面表示黎曼猜想：黎曼ζ函數(shù)的所有非平凡零點都在實部等于1/2的臨界線上
這說的是啥？確實，要理解這句話里的每個詞是什么意思都非常不容易，需要復(fù)變函數(shù)的知識。如果你聽不懂黎曼猜想說的是什么，沒關(guān)系，只要知道它是整個數(shù)學(xué)界最重要、最著名的那“一個”未解之謎就行了。
第十一個問題是關(guān)于歐拉-馬歇羅尼常數(shù)（Euler-Mascheroni constant）的。這個常數(shù)的來源是：歐拉證明了，所有自然數(shù)的倒數(shù)和，即1 + 1/2 + 1/3 + … + 1/n，是發(fā)散的，而它發(fā)散的速度是lnn。也就是說，1 + 1/2 + 1/3 + … + 1/n - lnn在n趨于無窮的時候會趨于一個極限，這個極限現(xiàn)在稱為歐拉-馬歇羅尼常數(shù)。馬歇羅尼（Lorenzo Mascheroni，1750 - 1800）是一位意大利數(shù)學(xué)家，他把這個常數(shù)記為γ，并把它算到了小數(shù)點后32位，但后來發(fā)現(xiàn)他在第20位出現(xiàn)了錯誤。無論如何，馬歇羅尼通過對這個常數(shù)的研究把自己的名字刻在了數(shù)學(xué)史上。
歐拉-馬歇羅尼常數(shù)
現(xiàn)在我們知道，γ約等于0.57721。但問題是，它是一個有理數(shù)還是無理數(shù)？這么基礎(chǔ)的問題，我們居然不知道答案！在直覺上，它是無理數(shù)的概率顯然比它是有理數(shù)的概率大得多——但目前完全無法證明。
我來補(bǔ)充一點，其實數(shù)學(xué)里還有很多類似的問題。例如兩個極其常見的數(shù)圓周率π和自然對數(shù)的底e都早已證明了是無理數(shù)，但π + e是不是無理數(shù)？目前就沒人知道！
第十二個問題是關(guān)于黎曼ζ函數(shù)的：當(dāng)k為正奇數(shù)時，ζ(k)是否為超越數(shù)？前面說了，明白黎曼ζ函數(shù)是什么需要復(fù)變函數(shù)的知識。不過這個函數(shù)對于正實數(shù)的自變量卻很容易理解，如果把自變量寫成s，ζ(s)就是所有自然數(shù)的s次方的倒數(shù)和，即
ζ(s) = 1 + 1/2^s + 1/3^s + 1/4^s + ...
你也許還想問，什么叫超越數(shù)？超越數(shù)就是那些不能表示成整系數(shù)多項式方程的解的數(shù)，它是無理數(shù)的一個真子集。例如根號2是無理數(shù)，但它不是超越數(shù)，因為它是整系數(shù)多項式方程x^2 - 2 = 0的解。而π已經(jīng)證明了是超越數(shù)，由此得到一個重大結(jié)果：經(jīng)典尺規(guī)作圖問題“化圓為方”無解，因為你不可能通過有限次操作得到根號π。
化圓為方
回到黎曼猜想。當(dāng)k為正偶數(shù)時，已經(jīng)證明了ζ(k)必然是超越數(shù)。所以對于正奇數(shù)的k，ζ(k)是不是超越數(shù)就成為一個有趣的問題了，目前還不知道答案。
第十三個問題是埃爾德什倒數(shù)和猜想。這個猜想的表述十分奇妙：如果A是一個正整數(shù)的無窮子集，而且A中所有數(shù)的倒數(shù)和發(fā)散，那么A包含任意長度的等差數(shù)列。前面我們說了，所有自然數(shù)的倒數(shù)和是發(fā)散的，所以會有它的子集也滿足倒數(shù)和發(fā)散。但為什么這會導(dǎo)致A包含任意長度的等差數(shù)列，我就完全沒看出來！埃爾德什的思路真是天馬行空！一個有趣的特例是所有質(zhì)數(shù)的集合，格林和陶哲軒證明了所有質(zhì)數(shù)的倒數(shù)和發(fā)散，而且所有質(zhì)數(shù)中包含任意長度的等差數(shù)列。這個成果幫助陶哲軒得到菲爾茲獎。
1985年，10歲的陶哲軒和埃爾德什在一起
第十四個問題是拉姆塞數(shù)（Ramsey number）。什么叫拉姆塞數(shù)？大家可以看我的科普書《量子信息簡話》，在第五章第四節(jié)的選讀內(nèi)容中，就介紹了拉姆塞理論。
《量子信息簡話》
拉姆塞理論說的是：給定足夠多的樣本，那么任何復(fù)雜的結(jié)構(gòu)都會必然出現(xiàn)。例如有一個著名的定理：6個人中必然有3個人互相認(rèn)識或者3個人互相不認(rèn)識。換一種說法就是，6個點之間兩兩連線，每條線都是紅色或藍(lán)色，那么必然會出現(xiàn)一個紅色三角形或者一個藍(lán)色三角形。這個定理用拉姆塞理論的語言說，就是R(3, 3) = 6。給定兩個自然數(shù)s和t，拉姆塞數(shù)R(s, t)的意思是：達(dá)到這么多人，其中就必然有s個人互相認(rèn)識或者t個人互相不認(rèn)識。拉姆塞證明了，這樣的數(shù)必然存在。
6個人中必然有3個人互相認(rèn)識或者3個人互相不認(rèn)識
然而，確定拉姆塞數(shù)的難度上升得極快。目前我們知道R(1, 1) = 1， R(2, 2) = 2，R(3, 3) = 6，R(4, 4) = 18，但再往上我們就不知道了。對于R(5, 5)，我們已經(jīng)可以確定它在43到48之間，但具體是多少仍然不知道。對于更大的n，就更是一頭霧水。所以為了表現(xiàn)拉姆塞問題的難度，埃爾德什有一段著名的論述：
設(shè)想有一支外星人的軍隊，比我們強(qiáng)大得多，降落到地球上，要求我們給出R(5, 5)的值，否則就摧毀地球。在這種情況下，我們應(yīng)該調(diào)集我們所有的計算機(jī)和數(shù)學(xué)家，嘗試找到這個值。但假如外星人要求的是R(6, 6)，那么我們最好的選擇就是嘗試攻擊外星人。
第十五個即最后一個問題，是華林問題（Waring’s problem）。華林問題是一類經(jīng)典的數(shù)論問題，楊振寧的父親楊武之的博士論文就是這方面的研究，這是中國人第一次因為對數(shù)論的研究獲得博士學(xué)位。
楊武之
英國數(shù)學(xué)家華林（Edward Waring，1736 - 1798）發(fā)現(xiàn)，每一個自然數(shù)都可以表示成最多9個立方數(shù)之和，也可以表示成最多19個四次方數(shù)之和。于是他問，是不是對任何一個大于1的自然數(shù)k，都存在某個數(shù)g(k)，使得任何自然數(shù)都可以表示成不超過g(k)個k次方數(shù)之和？
華林
希爾伯特（David Hilbert，1862 - 1943）給出了肯定的回答：是的，對于任意一個k，都存在相應(yīng)的g(k)。但他只是證明了g(k)的存在性，如何把g(k)用k表示出來還不清楚。后來數(shù)學(xué)家們找到了一個g(k)的表達(dá)式，唯一的問題是……它其實不是一個表達(dá)式，而是三個表達(dá)式，分別對應(yīng)三種可能的情況。然后，許多數(shù)學(xué)家猜測這三種情況中只有第一種會發(fā)生，那么答案就會簡化到只剩第一個表達(dá)式。
華林問題的解（見維基百科）
其實現(xiàn)在的表達(dá)式對于編程序做計算來說已經(jīng)相當(dāng)簡單，分三種情況沒什么大不了的，只是在數(shù)學(xué)的美感上稍有不足。因此，華林問題究竟解決了沒有？這取決于你怎么定義解決。用網(wǎng)絡(luò)語言可以說，解決了，但沒完全解決。
介紹完了哆嗒數(shù)學(xué)網(wǎng)總結(jié)的這十五個數(shù)論難題，我還想補(bǔ)充一個：ABC猜想。這個猜想說的是：如果有兩個互質(zhì)的自然數(shù)a和b，它們的和a + b = c，那么在絕大多數(shù)情況下，abc的根積rad(abc) > c。
很抱歉，這個猜想的表述拖泥帶水，不像前面講的大多數(shù)問題那樣簡單明了。在這里可以稍微解釋一下，所謂根積（radical）就是先把一個自然數(shù)分解成所有質(zhì)因數(shù)的乘積，然后把所有的質(zhì)因數(shù)相乘一次，無論這個質(zhì)因數(shù)出現(xiàn)了多少次。例如10 = 2 × 5，它的根積就是2 × 5 = 10。而12 = 2 × 2 × 3，它的根積就是2 × 3 = 6。現(xiàn)在大家可以明白，rad(abc) > c是什么意思了吧？但這個猜想還有一個非常討厭的地方，它說的不是一定如此，而是“在絕大多數(shù)情況下”。為什么會這樣，以及如何精確地表示“絕大多數(shù)情況”，歡迎大家看我2020年的介紹文章。
基本上，ABC猜想是一個威力十分強(qiáng)大的猜想。例如有了它就能快速地證明費(fèi)馬大定理，雖然這是個很粗略的證明，因為還需要一些其他的假設(shè)。
用ABC猜想證明費(fèi)馬大定理
但奇妙的不止是它還沒有被證明，更奇妙的是，有一位日本數(shù)學(xué)家望月新一號稱證明了它。是的，跟柯南君工藤新一同名。
望月新一
這位新一君為了證明ABC猜想，提出了一整套理論，叫做“宇宙際Teichmüller理論”。
宇宙際Teichmüller理論
這名字聽著嚇?biāo)廊?，但更嚇人的是他自?chuàng)了很多術(shù)語，例如“霍奇劇院”（Hodge theatre）。你沒聽錯，一個數(shù)學(xué)概念叫做劇院。新一對它的定義如下。
霍奇劇院的定義
呃……如果說有一種美德叫做“用戶友好”，那么新一顯然對此完全沒有考慮！不過這些都是細(xì)節(jié)，最重要的問題是：他對ABC猜想的證明到底對不對？我沒法看懂他的論文，不過根據(jù)我了解的信息，除了他和他京都大學(xué)的同事之外，基本沒人相信他真的證明了ABC猜想。所以數(shù)學(xué)界有個笑談，ABC猜想在京都大學(xué)成了定理，但在此之外仍然是猜想。
有些數(shù)學(xué)家認(rèn)真研究了望月新一的論文，指出了其中的一些錯誤。新一做了相應(yīng)的修正，宣稱這些錯誤已經(jīng)補(bǔ)上了。但有些數(shù)學(xué)家認(rèn)為，有些錯誤仍然沒有得到彌補(bǔ)，而新一認(rèn)為自己的證明沒錯，是這些數(shù)學(xué)家沒看懂。于是雙方鬧僵了，這個爭論現(xiàn)在都沒解決。在大多數(shù)數(shù)學(xué)家看來，情況可能就成了“這論文這么不友好，不值得為它去花費(fèi)時間”。
最后，我來談?wù)勎覍Υ蠹已芯窟@些數(shù)學(xué)難題的推薦?；镜慕ㄗh就是：完全不推薦。因為這些問題都經(jīng)過長期的研究，許多一流的數(shù)學(xué)家為它們殫精竭慮，卻都沒有解決。這啟發(fā)我們，要解決這些問題，可能需要引進(jìn)更高明的研究范式。
例如我的朋友、著名數(shù)學(xué)科普作家沙國祥老師寫過一篇文章《突破研究范式，證明費(fèi)馬大定理》，介紹了費(fèi)馬大定理的研究過程。這個經(jīng)典難題在久攻不克之后，1847年，庫默爾帶來第一次重大突破，引入了代數(shù)數(shù)論的研究范式。1983年，法爾廷斯帶來第二次重大突破，把費(fèi)馬大定理跟莫德爾猜想聯(lián)系起來，引入了代數(shù)幾何的研究范式。1986年，美國數(shù)學(xué)家里貝特等證明費(fèi)馬大定理是谷山——志村——韋伊猜想的推論，即只要證明了后者，就可以推出前者。谷山——志村——韋伊猜想試圖建立橢圓曲線與模形式之間的聯(lián)系，最終懷爾斯（Andrew Wiles）在1994年證明了這個猜想，為費(fèi)馬大定理的證明畫上了句號。
懷爾斯與費(fèi)馬大定理
因此，沙國祥此文最重要的教益是：“對于非常規(guī)數(shù)學(xué)難題的求解，研究范式的改變，往往起到化難為易、別開生面的效果；如果一味在原有范式里埋頭苦干，可能會勞而無功或無本質(zhì)性進(jìn)展。反過來，這類問題的探究求解，有時也促進(jìn)了新范式的建立。”
換一個對普通人來說更容易理解的表述：想用初等方法證明哥德巴赫猜想，就好比騎自行車上月球，是完全不現(xiàn)實的。因此，大家應(yīng)該了解這些有趣的數(shù)學(xué)問題，同時更應(yīng)該了解這背后的數(shù)學(xué)思想、研究范式。如果你能為數(shù)學(xué)范式的進(jìn)步做出貢獻(xiàn)，你就會成為偉大的數(shù)學(xué)家。
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