自從我們發(fā)布阿蒂亞爵士以及北京大學(xué)82歲退休教授李忠宣布證明黎曼猜想的消息（《實錘！北大退休教授已于13日在中科院報告黎曼猜想的證明》）后，除了眾多網(wǎng)友的指教（我們表示感謝），還有些網(wǎng)友（在頭條號“和樂數(shù)學(xué)”上）問什么是黎曼猜想? 我們不揣淺陋，試著介紹一點皮毛。
關(guān)于黎曼猜想的一個熱門評論是：一臉懵逼地進來，一臉懵逼地出去。
為了避免這一點，我們盡可能通俗地講點數(shù)學(xué)，講點故事。
沒有數(shù)學(xué)內(nèi)容，就很難對黎曼猜想有好的了解，就像欣賞音樂，如果不講點音樂知識，可能不易使讀者真正對音樂有真正的欣賞。
當然，我們也有故事。這樣，如果有我們沒講清楚數(shù)學(xué)的地方，希望故事還有點趣，讀者跳著讀讀還會有些收獲。
怎樣了解黎曼猜想呢？黎曼猜想經(jīng)過159年的研究，自然有不少故事。我們不妨從源頭開始看起，看黎曼為什么要提出這樣一個猜想。很多時候，問題的起源可能是最重要的。
黎曼猜想是歷史上最偉大數(shù)學(xué)家之一的黎曼在1859年在一篇名為《論小于給定數(shù)的素數(shù)的個數(shù)》文章中提出的。
波恩哈德·黎曼(Bernhard Riemann, 1826—1866年)是德國著名的數(shù)學(xué)家，受過高斯的指導(dǎo)。黎曼一生只活了40歲，論文也不多，但他的每一篇論文幾乎都開創(chuàng)了一個學(xué)科一個方向。特別是他開創(chuàng)了黎曼幾何，給后來愛因斯坦的廣義相對論提供了數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。
如果你只想在一分鐘之內(nèi)了解黎曼猜想，黎曼猜想那就是下面這段話：
黎曼在這篇文章中注意到函數(shù)
與素數(shù)分布有關(guān)，并猜測該函數(shù)的非平凡零點恰好在實部為1/2的直線上。這個函數(shù)現(xiàn)在稱為黎曼ζ（zeta）函數(shù)。
黎曼提出這個猜想不是瞎想，他老老實實地算了很多值。當然他沒有發(fā)表。一個著名的傳奇是，有人從黎曼留下的草稿中發(fā)下了黎曼的一個計算公式，還得了，這就是現(xiàn)在稱為黎曼-西格爾公式的計算公式。
如果你想多了解一點，且容我們慢慢道來。
素數(shù)定義（其中有個錯誤，你能發(fā)現(xiàn)嗎？）
黎曼的研究源于數(shù)論。數(shù)論是數(shù)學(xué)的女王。素數(shù)性質(zhì)的研究一直是數(shù)論研究的要點和難點，最近張益唐有關(guān)孿生素數(shù)猜想的突破就曾引起轟動。
所謂素數(shù)就是只有1和自身為因子且大于1的正整數(shù)（小學(xué)中一般稱為質(zhì)數(shù)），如2，3，5，7，11，13，17，19，23等。（大于1就排除1是素數(shù)）
素數(shù)分布
素數(shù)為什么重要呢？一個原因是它是構(gòu)造所有整數(shù)的基礎(chǔ)材料。任何一個整數(shù)都可以唯一地分解為素數(shù)的乘積，這叫做素數(shù)基本定理。例如，72=2^3*3^2.
為了素數(shù)基本定理的簡潔敘述或許是規(guī)定1不是素數(shù)的一個原因：這樣將一個整數(shù)表示為素因子之乘積的時候，有唯一表示，例如 18=2*3*3，避免另一種“素因子”表示：18=1*2*3*3）。
早在古希臘時期，亞歷山大城的歐幾里得已經(jīng)指導(dǎo)如何用反證法證明了素數(shù)有無窮個多個（順便說一句，這是有史記載的第一個反證法證明的例子）。歐幾里得說，如果只有有限個素數(shù)，設(shè)為p1,p2,...,pn，則它們的乘積與1之和p1*p2*...*pn+1不能不是素數(shù)，因為如果不是素數(shù)，應(yīng)該能被p1,p2,...,pn中至少一個整除，但事實上，用p1,p2,...,pn中任意一個數(shù)除p1*p2*...*pn+1時，總有余數(shù)1。但p1*p2*...*pn+1是一個新的素數(shù)，從而矛盾。
歐幾里得
關(guān)于素數(shù)的一個首當其沖的問題就是素數(shù)是如何分布的，如何產(chǎn)生的。
有沒有一個產(chǎn)生素數(shù)的公式呢？這可能是許多人都會想起的問題。事實上，歐拉也想到了，而且發(fā)現(xiàn)了一個很好的公式，可惜的是，并不能產(chǎn)生所有的素數(shù)，這個公式產(chǎn)生的數(shù)也不全是素數(shù)。如果很幸運，恰好是素數(shù)，就稱這個數(shù)為歐拉素數(shù)。
歐拉
歐拉提出的公式是 n^2+n+41. 我們可以檢測下：
0^2+0+41=41
1^2+1+41=43,
2^2+2+41=47,
3^2+3+41=53,
4^2+4+41=61
都是素數(shù)。這個公式足夠神奇了。然而，當n=40時，
40^2+40+41=1681
不是素數(shù)：1681=41*41.
為了研究素數(shù)如何分布，數(shù)學(xué)家們研究小于給定數(shù)的素數(shù)的個數(shù)，并直接定義了一個素數(shù)計數(shù)函數(shù)π(x)，用它表示小于或等于x的素數(shù)的個數(shù)。
例如，小于或等于3的素數(shù)只有2個，即2和3，所以π(3)=2；小于或等于10的素數(shù)有4個：2，3，5，7，所以π(10) = 4； 小于或等于20的素數(shù)有2，3，5，7，11，13，17，19，一共8個，所以π(20)=8.
下面的表格的第2列列出了π(x)的一些取值。有了計算機，是不難算出這個函數(shù)的一些取值的。讀者可以想想在高斯那時代是如何計算的呢？
讓我們且將素數(shù)計數(shù)函數(shù)按下不表，先回到黎曼ζ函數(shù)。這里要仔細了解幾點：
黎曼ζ函數(shù)中的自變量s是復(fù)數(shù)，即x+iy這樣的復(fù)數(shù)。
零點就是指使得ζ函數(shù)取值為0的s的值。
黎曼注意到ζ函數(shù)有平凡的零點，就是負偶整數(shù)：-2，-4，-6，-8......。
了解黎曼猜想的一個難點是要了解這個函數(shù)的定義，也就是這個無窮和是什么意思。
我們先從s是實數(shù)時的ζ函數(shù)談起。
當s時實數(shù)時，這個無窮和（級數(shù)）只有當s>1時才是收斂的，也就是說，這個求和才有意義。例如，當s=1是，這個求和就是著名的調(diào)和級數(shù)
1+1/2+1/3+1/4+...
這個求和的量雖然積累起來很慢，當加到足夠多的項時，這個和可以超過任何預(yù)先給定的數(shù)，也就是說這個和時無窮大的。數(shù)學(xué)上講，就是說這個級數(shù)發(fā)散。
又如，當s=-1時，這個和顯然就是
1+2+3+4+5+...
顯然，這個和是無窮大。
在黎曼之前，數(shù)學(xué)巨匠歐拉已經(jīng)發(fā)現(xiàn)了調(diào)和級數(shù)與素數(shù)奧秘。歐拉用調(diào)和級數(shù)發(fā)散證明了素數(shù)有無窮多個。計算如下：
其中p表示素數(shù)。因為調(diào)和級數(shù)是發(fā)散的，所以所有素數(shù)的倒數(shù)和也必定是發(fā)散的。否則，如果素數(shù)個數(shù)有限，就有矛盾，所以素數(shù)有無窮多個。
歐拉的發(fā)現(xiàn)打開了用分析方法研究素數(shù)之門，也啟發(fā)了黎曼的研究。（將另文介紹歐拉的研究）
黎曼將歐拉研究過的級數(shù)加以推廣。
他說變量s可以是復(fù)數(shù)，通過解析延拓，函數(shù)對所有復(fù)數(shù)都有了定義。特別，ζ函數(shù)在s=-1時的值為-1/12。粗略地說，就是所有正整數(shù)的和為-1/12.
解析延拓是數(shù)學(xué)上將解析函數(shù)從較小定義域拓展到更大定義域的方法。透過此方法，一些原先發(fā)散的級數(shù)在新的定義域可具有迥異而有限的值。其中最知名的例子為Γ函數(shù)與黎曼ζ函數(shù)。解析函數(shù)是局部上由收斂冪級數(shù)給出的函數(shù)。
三、素數(shù)定理
從黎曼文章的標題可見，黎曼猜想與素數(shù)在自然數(shù)中的分布有關(guān)。高斯通過統(tǒng)計，曾正確地猜測：當x充分大時，小于或等于給定數(shù)x的素數(shù)個數(shù)π(x)近似為x/log(x)。
用公式表示就是：
這就是所謂的素數(shù)定理。請大家復(fù)習(xí)上面的素數(shù)計數(shù)函數(shù)表。
高斯
偉大的數(shù)學(xué)家高斯親手計算了很多值（這是高斯最可怕之處，不但天才，而且還能動手做常人不愿意做的事情），但他并沒有能給出證明——可見其難。德國有本暢銷書，有中譯，叫《丈量世界》（從數(shù)學(xué)名詞的翻譯看，該書翻譯不佳），講述高斯與洪堡的故事。其中一個故事講高斯小時候去見資助人斐迪南公爵時，還在心底默默數(shù)數(shù)，數(shù)素數(shù)。
勒讓德
另一位數(shù)學(xué)家，勒讓德，也在1798年猜測到了這個素數(shù)定理結(jié)果。
數(shù)學(xué)家的一大悲劇是碰到像高斯這樣的高手：既生瑜何生亮。勒讓德在正態(tài)分布上也由重要發(fā)現(xiàn)，但最終，正態(tài)分布仍常被稱為高斯分布。另一個悲情如勒讓德的還有發(fā)現(xiàn)非歐幾何的匈牙利年前天才數(shù)學(xué)家鮑耶·雅諾什。雅諾什也是發(fā)現(xiàn)高斯早就發(fā)現(xiàn)了非歐幾何的存在。
俄羅斯著名數(shù)學(xué)家切比雪夫是彼得堡數(shù)學(xué)學(xué)派的第二創(chuàng)始人（第一人是歐拉）。概率論中有個切比雪夫不等式，
就是以他的名字命名的。 他對數(shù)論頗有研究，例如他曾證明，在n和2n之間必有素數(shù)。
1851年/52年，切比雪夫證明，如果極限
存在，則這個極限一定是1，而且還證明了
但他仍然沒能證明。
阿達馬
直到1896年，法國數(shù)學(xué)家雅克·阿達馬（Jacques-Salomon Hadamard ）和比利時數(shù)學(xué)家德拉瓦萊普森（Charles Jean de la Vallée-Poussin）才先后獨立給出素數(shù)定理的證明證明。
我們對阿達馬應(yīng)該感到親切。1935年，受熊慶來的邀請，阿達馬與美國著名數(shù)學(xué)家、現(xiàn)代控制論創(chuàng)始人維納（N. Wiener）到清華大學(xué)講學(xué)。在阿達馬的影響下，許多人赴法留學(xué)。
阿達馬還向華羅庚介紹了蘇聯(lián)的維洛格拉朵夫及韋爾和方法。阿達馬告訴華羅庚，維諾格拉朵夫?qū)θA林問題的研究非常出色，該問題是這方面研究的主要方向，從此華羅庚進入了研究堆壘數(shù)論的主流。在以后相當長的時間中，華羅庚的工作受到維諾格拉朵夫的影響。阿達瑪講學(xué)時，最后只有華羅庚坐在下面聽講從這個方面說，黎曼猜想的研究與中國數(shù)論的研究有密切的淵源。
阿達馬等人的證明用到了復(fù)分析，尤其是黎曼ζ函數(shù)。
塞爾伯格
因為人們對黎曼ζ函數(shù)感到不可捉摸，畢竟其零點還不清楚。所以，人們一直希望有個初等的證明。幾十年之后的1949 年，年僅 31 歲的賽爾伯格就用初等方法重新證明了素數(shù)定理——此前的證明用到了復(fù)分析方法。他的證明立即轟動了數(shù)學(xué)界，并使他 1950 年榮獲了菲爾茲獎以及1986 年的沃爾夫獎。今年的菲爾茲獎獲得者舒爾茲已經(jīng)是逆天的年輕了，但還是沒能打破塞爾伯格的紀錄。
著名的流浪數(shù)學(xué)家愛多士也曾在素數(shù)定理的初等證明方面有重要貢獻。這方面曾有過爭論，這里不再細說。
這個故事看起來很精彩？但這是因為人們對黎曼的函數(shù)，黎曼的零點還不清楚。
黎曼猜想所描述的的有關(guān)素數(shù)分布的性質(zhì)描述比素數(shù)定理還要細致。
為了說明這一點，讓我們引入對數(shù)積分：
可以證明：
由此可見，素數(shù)定理說的就是π(x) ~ Li(x)。
從下面的圖片可以看到素數(shù)計數(shù)函數(shù)是如何被逼近的：
1899，獨立證明了素數(shù)定理的德拉瓦萊普森還證明了
1901年瑞典數(shù)學(xué)家海里格·馮·科赫（Helge von Koch）證明黎曼猜想等價于更精細的估計：
這是比素數(shù)定理更精細的余項估計。這就是所謂的強條件下的素數(shù)定理。
讀者應(yīng)該注意的是余項的階。
粗略地說，黎曼猜想等價的素數(shù)計數(shù)函數(shù)的估計可以保證：誤差在10000倍的估計可以精確到100倍。
科赫
熟悉數(shù)學(xué)的同學(xué)對這位科赫老兄其實并不陌生。數(shù)學(xué)中著名的分析Koch曲線就是他提出來的。
科赫雪花
因此，我們說一旦黎曼猜想獲證，便能大大改進素數(shù)定理的誤差估計。
有興趣的讀者可以進一步閱讀其他科普圖書來了解黎曼猜想的歷史。中文中，盧昌海博士的《黎曼猜想漫談》曾獲吳大猷科普金獎，自是有其道理。新浪微博“南方科技大學(xué)”轉(zhuǎn)述“數(shù)學(xué)文化”湯濤院士的話說，盧昌海是黎曼猜想科普世界第一，此話有待商榷。如果是說時間第一，自燃不對；湯院士應(yīng)該是指該書的質(zhì)量吧？
我們想介紹，國外也有些優(yōu)秀這方面的科普圖書，例如：
1. 德比希爾 (John Derbyshire) 的 Prime Obsession: Bernhard Riemann and the Greatest Unsolved Problem in Mathematics (Joseph Henry Press, 2003)
2. 索托伊 (Marcus du Sautoy) 的 The Music of the Primes: Searching to Solve the Greatest Mystery in Mathematics (Harper, 2003)
3. 薩巴 (Karl Sabbag) 的 The Riemann Hypothesis: The Greatest Unsolved Problem in Mathematics (Farrar, Straus and Giroux, 2003)
《黎曼博士的零點》有中譯：
黎曼猜想一直被視為數(shù)學(xué)界最偉大、最有價值的問題。它在1900年被希爾伯特列為23個待解決的問題之一，繼而又在2000年被克雷數(shù)學(xué)研究所列為7個懸賞100萬美元求解的問題之一。
猜想源于對一個很有意義的問題，即素數(shù)的分布的探索。因為問題有意義，很自然地，后來人們又發(fā)現(xiàn)有許許多多難題可在黎曼猜想成立的條件獲證。特別是人們還發(fā)現(xiàn)它不僅是一個純數(shù)學(xué)問題，還發(fā)現(xiàn)它與和現(xiàn)實世界緊密相關(guān)的隨機矩陣的特征值分布有關(guān)。
黎曼猜想就像一個目標，激發(fā)了人們的無窮的探索精神。在尋求證明的過程中，人們可以對數(shù)學(xué)有更深刻的理解，可以產(chǎn)生新的理論。
我們曾轉(zhuǎn)述阿蒂亞爵士的話說，證明黎曼猜想，如果你還不有名，就會聲名鵲起；而過是有名的人，將變得“不著名”。有網(wǎng)友指正說，原文的infamous不是不著名，是聲名狼藉。我們實在不愿意將聲名狼藉用到勇于探索的斗士身上。
但另一方面，黎曼猜想有如一位冷峻的美人，只是靜待英雄的出現(xiàn)。
我們僅從素數(shù)分布角度介紹了一點點。黎曼猜想制之所以重要，是因為它與其他問題有千絲萬縷的聯(lián)系。黎曼猜想的美，等著你們?nèi)ミM一步探索哦。
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