影響人類文明幾千年的“畢達(dá)哥拉斯學(xué)派”，到底是一個怎樣的組織？請看：
數(shù)學(xué)電影——《畢達(dá)哥拉斯》
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1從“證明幾何學(xué)”鼻祖泰勒斯說起
提及“畢達(dá)哥拉斯”，我們有必要追溯古希臘文明，了解泰勒斯。據(jù)傳說，證明幾何學(xué)是米利都的泰勒斯開創(chuàng)的，畢達(dá)哥拉斯曾想拜他為師。
他是古希臘七賢之一，生活在公元前6世紀(jì)前半期，曾經(jīng)用一根木棒測出胡夫金字塔的高度，轟動了古埃及。
幾何學(xué)中，下列基本成果也歸功于他：①圓被任一直徑二等分；②等腰三角形的兩底角相等；③兩條直線相交，對頂角相等；④兩角和一邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等；⑤內(nèi)接于半圓的角必為直角。
泰勒斯的這些成果不僅在定理本身，更難能可貴的是——他提供了它們的某種邏輯推理。例如“兩條直線相交，對頂角相等”：
∠1=∠2曾作為十分明顯的事實被考慮過，如果誰對這個結(jié)論表示懷疑，他們可以把一個角裁下來，疊置于另一個角上，讓他信服。泰勒斯則采用邏輯推理的方法：因為∠1+∠3是一個平角，∠2+∠3也是一個平角；所以∠1=∠2；靠的是從更基本的關(guān)于平角的原理，開始演繹推理得出結(jié)論。那么，“為什么所有平角都相等？”“什么是平角？” ……人們不斷的質(zhì)疑，作為源頭的最基本原理又是哪些呢？從泰勒斯作出努力開始，古希臘人不斷的“刨根問底”。并從此出發(fā)，開始構(gòu)建一個完整的幾何體系，這成為了古希臘數(shù)學(xué)家們孜孜以求的工作。他們不再滿足于“知其然”，而是要“知其所以然”。一個關(guān)于定義、公理、定理和證明的故事漸次展開！
熱衷于探討事物的本源，儼然成為了古希臘人的一種生活方式。泰勒斯認(rèn)為“萬物的本源是水”；阿那克西曼德則認(rèn)為“萬物的本源不是具有固定性質(zhì)的東西”；“人是由海魚演化而來”；……
2游學(xué)20年的“苦行僧”——畢達(dá)哥拉斯
讓哲學(xué)成為生活方式！這是古希臘文明的獨樹之處，與它獨特的地理和人文特征密不可分。古希臘地處地中海東部，山脈和海洋把人們分散在遙遠(yuǎn)的海岸上，各個城邦始終處于割據(jù)狀態(tài)；
當(dāng)時的社會結(jié)構(gòu)也相對簡單，人與人之間比較平等，戰(zhàn)爭時他們會歸于一個國王領(lǐng)導(dǎo)，而國王不過是某個貴族家庭的首領(lǐng)。
這使得古希臘鮮有強權(quán)，在這種民主和唯理的氛圍下，公元前572年左右，愛琴海上一座叫薩摩斯（Samoa）的小島，畢達(dá)哥拉斯出生于此。
島上盛行一種沒有嚴(yán)格教條的奧爾菲教，有共同話題的人們經(jīng)常會聚在一起，探討著他們的信仰。
孩提時的畢達(dá)哥拉斯就是在這種氛圍下長大的，成年后，他離開了薩摩斯島，來到米利都城求學(xué)。據(jù)說，他想追隨于泰勒斯的門下，泰勒斯以年事已高為由婉拒了他，讓他去找另一位哲人阿那克西曼德（歸謬法的創(chuàng)造者），同樣不受待見。
慢慢的，他發(fā)現(xiàn)自己融入不了米利都，這與他超然于世的冥想有關(guān)。
（畢達(dá)哥拉斯認(rèn)為人分三等：最低層是做買賣的，其次是參加競技比賽的，最高層是旁觀者，也就是學(xué)者或哲學(xué)家。）于是他離開了米利都，前往埃及求學(xué)，在那里生活了近10年，學(xué)習(xí)埃及的數(shù)學(xué)、宗教、天文……
學(xué)成之后，畢達(dá)哥拉斯踏上了回鄉(xiāng)的歸程，不幸路上被入侵的波斯人擄去古巴比倫。因禍得福的是，不僅幾何，精通算術(shù)的古巴比倫人對代數(shù)（文字?jǐn)⑹龅拇鷶?shù)學(xué)）也頗有研究，畢達(dá)哥拉斯在此又學(xué)習(xí)了5年，接觸了許多更為先進(jìn)的數(shù)學(xué)。
期間，傳說他到過古印度，了解古印度的數(shù)學(xué)文化。加上路上游歷花費的四五年，畢達(dá)哥拉斯外出游學(xué)近達(dá)20年之久，此番艱險堪比取經(jīng)18年、經(jīng)歷九九八十一難的唐玄奘。一個集古希臘、古埃及、古巴比倫甚至古印度文化的大成者，終于回到故鄉(xiāng)薩摩斯。
而此時，波斯人暴政下的薩摩斯已經(jīng)無法容納思想如此先進(jìn)的畢達(dá)哥拉斯，于是他不得不再度漂洋過海，來到意大利的克羅內(nèi)托。在那里，他傳經(jīng)布道，廣收弟子，從而建立了影響世界數(shù)千年的“畢達(dá)哥拉斯學(xué)派”。
3數(shù)乃神的語言——畢達(dá)哥拉斯學(xué)派
在游歷過程中，畢達(dá)哥拉斯接觸過各地的神秘組織，他所創(chuàng)建的“畢達(dá)哥拉斯學(xué)派”也是一個類似宗教的秘密團(tuán)體，正五角星是他們的徽標(biāo)。
學(xué)派研究涉及哲學(xué)、學(xué)術(shù)、宗教等各個領(lǐng)域?！罢軐W(xué)（philosophy）”和“數(shù)學(xué)（mathematics）”這兩個詞可能是畢達(dá)哥拉斯創(chuàng)造的。
“哲學(xué)”希臘語為Φιλοσοφ?α，意指“愛，智慧”；“數(shù)學(xué)”希臘語μθημα，意指“可以學(xué)到的知識”。尤其數(shù)學(xué)，學(xué)派把屬于會計師和調(diào)查員們的應(yīng)用技術(shù)，轉(zhuǎn)化成了一門純粹的科學(xué)，畢達(dá)哥拉斯使數(shù)學(xué)變成一門高尚的藝術(shù)！學(xué)派在數(shù)學(xué)上的成就主要包括以下幾個方面：
1. 證明了“畢達(dá)哥拉斯定理”
也就是勾股定理（公元前11世紀(jì)，商高見周公時提及“勾三股四弦五”，故我們稱之為“勾股定理”，它是人類第一次將數(shù)與形結(jié)合在一起的重大發(fā)現(xiàn)）。
據(jù)說一次教派晚宴，主角畢達(dá)哥拉斯趁著大家觥籌交錯之際，溜到一旁，盯著墻角的方形拼磚，靈感迸發(fā)，用面積法證明了直角三角形三邊的關(guān)系。（西方學(xué)者認(rèn)為，畢達(dá)哥拉斯第一個證明了該定理，故稱之為“畢達(dá)哥拉斯定理”。也有傳說他為此殺了100頭牛表示慶祝，從學(xué)派素食主義的觀點上看，這一說法未必可信?。?div style="height:15px;">
2. 特殊數(shù)和數(shù)組
如完全數(shù)，即等于它真因子之和的數(shù)。例如6的真因子為1、2、3，1+2+3=6；常被用于占卜的完全數(shù)是28，當(dāng)時人們認(rèn)為月亮繞地球一周為28天，而28=1+2+4+7+14，這樣的發(fā)現(xiàn)帶來了許多的神秘色彩。
（完全數(shù)迄今為止只發(fā)現(xiàn)了49個，并且都是偶數(shù)，至于能不能找到奇數(shù)的完全數(shù)，或者奇完全數(shù)就不存在，至今沒人解決。）又如親和數(shù)220和284：220的真因子之和：1+2+4+5+10+20+22+44+55+110=284；284的真因子之和：1+2+4+71+142=220；他們認(rèn)為這兩個數(shù)充滿著愛情的味道，兩者彼此“含情脈脈”！
數(shù)與數(shù)組的研究還有三角數(shù)（1,3,6,10……）、正方形數(shù)（1,4，9,16……）、五邊形數(shù)（1,5,12,22……）、畢氏三數(shù)（勾股數(shù)）等；誠然，學(xué)派是數(shù)論發(fā)展的先驅(qū)。
3. 正多面體
據(jù)柏拉圖記載，在五種正多面體中，學(xué)派成員蒂邁歐將4種容易作出正多面體——正四面體、正八面體、正二十面體和正六面體，與火、氣、水、土神秘的聯(lián)系起來，至于難作的正十二面體，將它與包羅萬象的宇宙聯(lián)系在一起，后來亞里士多德稱之為“以太”（除了水、火、氣、土之外，還有一種居于天空之上的以太）。
4. 發(fā)現(xiàn)無理數(shù)
信徒希帕索斯發(fā)現(xiàn)單位正方形對角線長根號2，不是有理數(shù)，引發(fā)了“第一次數(shù)學(xué)危機”。
（甚至有學(xué)者認(rèn)為“黃金分割”也是畢達(dá)哥拉斯學(xué)派發(fā)現(xiàn)的，有它們的正五角星徽標(biāo)為證。這可能是一種臆測，因為，“第一次數(shù)學(xué)危機”因?qū)W派后來發(fā)現(xiàn)不可公度的無理數(shù)根號2而起，有悖于無理數(shù)“黃金比值”的提前知曉，也許，學(xué)派選擇正五角星為徽標(biāo)，是出于圖形美的直覺。）不僅如此，在畢達(dá)哥拉斯看來，最能凈化人們心靈的，一定是音樂。
他發(fā)現(xiàn)二弦琴兩條琴弦的音程之比越簡單，和音越和諧，2:1對應(yīng)八度音，3:2對應(yīng)五度音，4:3對應(yīng)四度音，9:8對應(yīng)二度音。反之，當(dāng)比例太復(fù)雜時，聽上去就很刺耳。音樂上的發(fā)現(xiàn)，和諧概念的提出，直接引發(fā)了畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的核心理念——萬物皆數(shù)（世界的本源是數(shù)）。
事實上，與畢達(dá)哥拉斯同時代的佛陀、老子也有類似觀點。如《道德經(jīng)》所云：道生一，一生二，二生三，三生萬物。表示“道”生萬物，事物的變遷是一個從少到多，從簡單到復(fù)雜的一個過程。這是老子對伏曦八卦和《易經(jīng)》的總結(jié)，太極生兩儀，謂陰陽。與畢達(dá)哥拉斯學(xué)派認(rèn)為奇數(shù)是陽性的，偶數(shù)是陰性的，頗有異曲同工之感，許多學(xué)者困惑于古代東方數(shù)學(xué)如何較大程度的影響了古希臘數(shù)學(xué)，這也許是個線索。
學(xué)派對數(shù)有這樣的認(rèn)識：1是萬數(shù)之源，代表緣由、本元和穩(wěn)定；2則反之，代表不同與未知，它代表陰性；3是1與2的和，代表和諧與完美，為陽性；4代表正義，是人與自然的紐帶；5是2與3的和，謂之陰陽調(diào)和、連理相偕；6代表強力非凡，是2與3的積，引起新生命的誕生；最膜拜的數(shù)是10……他們相信數(shù)字本身是活的，與人的意識有著心靈感應(yīng)，只需通過各種形式的沉思冥想，人們就可以與數(shù)進(jìn)行心靈交流。
畢達(dá)哥拉斯認(rèn)為，數(shù)乃神的語言，一旦掌握了數(shù)的結(jié)構(gòu)，就控制了世界，世界的許多事物都是匆匆過客，唯有數(shù)是永恒的。
4學(xué)派的湮滅
把學(xué)術(shù)的認(rèn)知上升為一種信仰，畢達(dá)哥拉斯學(xué)派一度信徒云集。學(xué)派主張一夫一妻，允許女子接受教育，知識和財產(chǎn)是公有的（從這個角度看，許多關(guān)于畢達(dá)哥拉斯的發(fā)現(xiàn)，可能并非畢達(dá)哥拉斯本人，而是學(xué)派的共同發(fā)現(xiàn)，加上畢達(dá)哥拉斯的講課全是口授的，更難以考證了）。
信徒們有著共同的生活方式，素食主義是成員們必須遵守的，禁食豆子（因為他們認(rèn)為，豆子的外形與人類的某個器官相似，吃豆子的行為與同類相食沒有區(qū)別，對于素食主義者是不合適的）……有學(xué)者甚至認(rèn)為“共產(chǎn)主義”也在此萌芽。 然而，學(xué)派的危機也正在于此——萬物皆數(shù)！他們把數(shù)局限在有理數(shù)范疇，也就是能夠表示成分?jǐn)?shù)形式的數(shù)（整數(shù)比）。而信徒希帕索斯發(fā)現(xiàn)的根號2就無法用分?jǐn)?shù)形式表示。希帕索斯對于“根號2不是有理數(shù)”，推理方法可能是阿那克西曼德創(chuàng)造的歸謬法，大致過程是這樣的：
根號2客觀存在，但在學(xué)派已有的認(rèn)知下，卻無法準(zhǔn)確描述（不可公度），面對這一“荒謬”現(xiàn)象，大家都無計可施。信仰的基石被顛覆了！
這是萬萬不可的，畢達(dá)哥拉斯學(xué)派誓死要捍衛(wèi)他們的“真理和信仰”。傳說年輕的數(shù)學(xué)家希帕索斯因公開了這一秘密，而被拋進(jìn)了大海。但也有學(xué)者提出：希帕索斯被扔進(jìn)地中海的傳說未必可信。因為他們發(fā)現(xiàn)，畢達(dá)哥拉斯學(xué)派是一個充滿愛心的組織。傳說學(xué)派成員客死他鄉(xiāng)，臨死前他告訴旅店店主，只要在店門口掛上刻有五角星的徽標(biāo)，便有人來幫助償還住店和看病的債務(wù)。不久，果然一位學(xué)派的信徒路過此店還請了債務(wù)。
神秘的五角星代表的不僅僅是智慧，還有健康、友愛，這樣的組織應(yīng)該不會去殺害希帕索斯，更有可能的是，將他“逐出師門”。伴隨著影響的日益擴(kuò)大，他們的存在直接威脅著統(tǒng)治階級的利益，學(xué)派的湮滅也從此開始。至公元前500年前后，南意大利民主力量逼迫學(xué)派解散，畢達(dá)哥拉斯以及他的信徒慘遭殺害，盡管虔誠的信徒們還延續(xù)著學(xué)派200多年，但往日的輝煌不再。
無理數(shù)的發(fā)現(xiàn)而導(dǎo)致的“第一次數(shù)學(xué)危機”，引發(fā)了數(shù)學(xué)的大發(fā)展，古希臘人慢慢明白：“直覺和經(jīng)驗不一定靠得住，推理證明才是最可靠的”。為公理化體系完善，曠世巨著《幾何原本》的誕生（成書于公元前300年前后），奠定了堅實的基礎(chǔ)。
“神秘教主”畢達(dá)哥拉斯的故事，似乎在告訴人們：在數(shù)學(xué)的世界里，無理即未知，未知即未來！
—— END ——
關(guān)于泰勒斯、畢達(dá)哥拉斯以及畢達(dá)哥拉斯學(xué)派，史上至今鮮有直接證據(jù)，文章及視頻提及的許多觀點也值得進(jìn)一步推敲，特把完成此文的主要參考文獻(xiàn)列舉如下：
[1][美]霍華德·伊夫斯（Howard Eves）.數(shù)學(xué)史概論[M].哈爾濱工業(yè)大學(xué)出版社，2009：73-84.[2]量子學(xué)派.公式之美[M].北京大學(xué)出版社，2020：32-40.[3]汪曉勤.HPM:數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育[M].科學(xué)出版社，2017：69.[4][美]克利福德·皮寇弗.數(shù)學(xué)之書[M].重慶大學(xué)出版社，2015：14.[5][美]卡爾·B.博耶（Carl B.Boyer）.數(shù)學(xué)史（修訂版）[M].中央編譯出版社，1991：57-60.[6][英]Tony Crilly.你不可不知的50個數(shù)學(xué)知識[M].人民郵電出版社，2010：38-39.[7]蔡天新.數(shù)學(xué)簡史[M].中信出版集團(tuán)，2017：34-38.[8][英]布賴恩·克萊格.數(shù)學(xué)世界的探奇之旅[M].中信出版集團(tuán)，2017：36-39.
