這次我們來看如何把矩陣 A 經(jīng)過變換后的向量再還原回去. 觀察下面如何從變換后的向量(-1.5, 2) 還原為向量 (1, 0.5) 的過程:
注意觀察要點:
變換后線性空間還是完整的二維空間;
變換后的行列式為不等于 0;
還原后僅有一個向量與之對應;
整個還原的變換實際上對應了另一個線性變換, 稱為矩陣的逆(Inverse), 記為 A^(-1).
矩陣與它的逆矩陣相乘, 那就是先做了一次變換, 然后在還原回來, 這兩個連續(xù)的變換作用就是矩陣的乘法, 相當于什么都沒有改變, 這個沒有進行任何改變的變換, 就是上次說提到的單位矩陣.
利用這個性質(zhì), 我們可以通過在 Ax=V 兩邊同乘 A 的逆矩陣來求出變換前的向量 x:
那么問題在于逆矩陣是否一定能找得到呢? 想象當 det(A) = 0 時候, 也就是代表矩陣的變換將空間壓縮到更低的維度上, 此時沒有逆矩陣. 在二維平面中變換后空間被壓縮到原點以及被壓縮為一條直線都是不存在相應的逆矩陣. 或者說沒有辦法找到對應的映射可以將一個點或一條線還原為平面.
類似地, 對于三維空間中, 如果一個變換將空間壓縮為一個平面, 一條直線或原點, 也就是都對應 det(A) = 0 (體積為0)時, 那么也沒有逆變換. 請看下面矩陣將空間壓縮為平面的情況:
對角矩陣的情況
對角矩陣對應的變換就是沿著坐標軸伸縮變換, 那么還原就非常簡單了, 只需要將各坐標軸伸縮為倒數(shù)倍就 好了.
但注意即使不存在逆變換, 但對應的 x 仍然可能存在. 當一個變換將空間壓縮到一條直線, 但是向量 v 剛好就在這條直線上. 如下面矩陣 A 將空間壓縮成一條直線, 向量 v (1, 0.5) 因為恰好落在該條線上, 所以相應的 x 為 (0.25,-0.25) .
上面就是本次圖解線性代數(shù)所回顧的知識點. 好了, 現(xiàn)在讓我們在下一篇的中再見!
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