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我們父母都是高材生，自己讀書時(shí)，數(shù)學(xué)倍棒！到了我孩子這兒，怎么數(shù)學(xué)就學(xué)不好呢？我們家長(zhǎng)自己會(huì)做題，也想帶著娃刷高思導(dǎo)引，自雞奧數(shù)，刷1~3星還行，但發(fā)現(xiàn)娃其實(shí)并不能舉一反三，這該怎么辦？

我們先放下奧數(shù)，先看兩道課內(nèi)拓展題。前天，在群里，有位家長(zhǎng)問(wèn)了一道題：

這是一道三年級(jí)小學(xué)期的挑戰(zhàn)題，當(dāng)時(shí)我正好在備四年級(jí)的奧數(shù)課，我想起了四年級(jí)的一道題：

兩數(shù)相除，商是9，余數(shù)是2，如果被除數(shù)和除數(shù)都乘以5以后，被除數(shù)、除數(shù)、商和余數(shù)的和是329。原來(lái)的被除數(shù)、除數(shù)分別是多少？

這是一個(gè)四年級(jí)同學(xué)做的校內(nèi)的題目，沒(méi)錯(cuò)，現(xiàn)在校內(nèi)的題目也卷成這樣了。

之前家長(zhǎng)也是帶孩子反復(fù)練、反復(fù)刷，學(xué)了又忘，忘了又學(xué)，最后還是學(xué)了個(gè)稀里糊涂。

家長(zhǎng)和學(xué)生的心態(tài)都是崩的。

我一直講，自己會(huì)做題，和會(huì)教別人，是兩回事。像這樣的問(wèn)題對(duì)家長(zhǎng)來(lái)說(shuō)就不太友好，家長(zhǎng)自己做不難，但是不太好教，因?yàn)轭}目的邏輯是反著來(lái)的。

正向的邏輯推理是從條件到結(jié)果，比如問(wèn)1+1等于多少，條件是已知的，問(wèn)結(jié)果是什么？

逆向的邏輯是從結(jié)果到條件的，先給出結(jié)果，再反推需要什么樣的條件。兩個(gè)數(shù)相加，結(jié)果等于2，其中一個(gè)數(shù)是1，問(wèn)另外一個(gè)數(shù)是多少？

柯南破案，密室里突然一個(gè)人死掉了，問(wèn)你兇手是怎么作案的?？履细傻木褪菑慕Y(jié)果反推的活。

家長(zhǎng)們輔導(dǎo)這樣的問(wèn)題時(shí)，往往容易急于求成，用自己的邏輯水平代替小孩的水平，用自己的豐富經(jīng)驗(yàn)代表小孩的經(jīng)驗(yàn)，結(jié)果教成了夾生飯，勉強(qiáng)好像是學(xué)會(huì)了，過(guò)幾天一問(wèn)，忘得干干凈凈。

家長(zhǎng)們要注意，要讓小孩做這樣逆向邏輯的問(wèn)題，一定要看小孩有沒(méi)有對(duì)應(yīng)的正向邏輯經(jīng)驗(yàn)。

他要先見(jiàn)過(guò)1+1，知道1+1=2，才能回答什么數(shù)加上1等于2的問(wèn)題。

當(dāng)然這個(gè)話不絕對(duì)，有的孩子就不用。但是如果這樣的問(wèn)題老是學(xué)不明白，問(wèn)題八成是出在這里。

所以學(xué)這個(gè)問(wèn)題的時(shí)候，要先把題目順過(guò)來(lái)，先給出被除數(shù)和除數(shù)，算得商和余數(shù)，把被除數(shù)和除數(shù)乘上若干倍，看看商和余數(shù)是怎樣變化的，這些數(shù)的和是怎樣變化的。這樣的例子可以多舉幾個(gè)，多換幾個(gè)數(shù)，多試幾次，看明白了，找到變化的規(guī)則了，再回來(lái)做原題。

另外，如果把同類的題目當(dāng)作一個(gè)系列，這道題已經(jīng)屬于其中較難的題目。如果前面的基礎(chǔ)就沒(méi)打好，學(xué)得稀里糊涂，做到這里當(dāng)然就更卡住了。

像這種情況就要退一步，用一個(gè)或者多個(gè)“搭梯子”的問(wèn)題鋪墊一下

前置問(wèn)題一：在一個(gè)除法算式里，商等于8，余數(shù)等于13，這個(gè)算式的被除數(shù)、除數(shù)、商和余數(shù)相加等于313，問(wèn)，這個(gè)算式的被除數(shù)是多少？商是多少？

如果原題不會(huì)，這個(gè)前置問(wèn)題基本上也是搞不定的。

因?yàn)檫@個(gè)題目的邏輯也是反的，也是從已知的結(jié)果逆推條件的。所以還是要先把邏輯順過(guò)來(lái)，建立正向的邏輯經(jīng)驗(yàn)。

先給出被除數(shù)和除數(shù)作為已知數(shù)，算得商和余數(shù)，再算一算這幾個(gè)數(shù)加起來(lái)的和是多少，多試幾次，掌握其中的規(guī)則。然后才是反過(guò)來(lái)，由結(jié)果推條件，這樣就會(huì)順暢很多。

而有的同學(xué)往往鋪墊一步還不夠，這時(shí)可以再往下降難度，繼續(xù)增加前置問(wèn)題：

前置問(wèn)題二：在一個(gè)除法算式里，除數(shù)等于9，這個(gè)算式的被除數(shù)、除數(shù)和商相加等于329，問(wèn)，這個(gè)算式的被除數(shù)是多少？商是多少？

前置問(wèn)題三：在一個(gè)乘法算式里，一個(gè)乘數(shù)等于6，這個(gè)算式的兩個(gè)乘數(shù)和積相加等于195，問(wèn)，這個(gè)乘法算式的積是多少？

在學(xué)數(shù)學(xué)時(shí)，如果只是要學(xué)生去記住程序性的操作指令，最后往往是不行的。

讓學(xué)生有探索和實(shí)踐的過(guò)程，建立起自己的經(jīng)驗(yàn)，這樣的做法不是浪費(fèi)時(shí)間，而是在實(shí)際的教學(xué)中不可少的。

家長(zhǎng)帶娃刷題，一定不要再走一些校內(nèi)老師或機(jī)構(gòu)教學(xué)的路數(shù)了，就是：模仿+操練。

因?yàn)槟欠N教學(xué)/輔導(dǎo)方式下，孩子學(xué)會(huì)的是照搬解題方法，這是他們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)（快速做出題拿到分）的法寶。

在校內(nèi)，我們教材的數(shù)學(xué)知識(shí)編排都模塊化的，一節(jié)課就學(xué)習(xí)一個(gè)知識(shí)點(diǎn)，在練習(xí)時(shí)也是圍繞這一個(gè)知識(shí)點(diǎn)而展開(kāi)！課堂上這些孩子只需記住這節(jié)課的做題方法，到了做練習(xí)時(shí)照搬就可以了！

在校外，機(jī)構(gòu)會(huì)教套路（對(duì)老師準(zhǔn)入門檻要求低），套用公式是孩子們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的拿手絕活。

記住公式是這些（在機(jī)構(gòu)學(xué)奧數(shù)）同學(xué)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)一個(gè)重要手段，在做題時(shí)就套用既得公式，簡(jiǎn)單、實(shí)用！

但對(duì)于公式的產(chǎn)生過(guò)程他們則置若罔聞！下圖是某同學(xué)學(xué)習(xí)盈虧問(wèn)題后完成的練習(xí)！看著這全對(duì)的作業(yè)確實(shí)令人興奮！

可是我隨機(jī)改編一道盈虧問(wèn)題：

“老師把一些本子平均分給一些同學(xué)，若每人分若干本，則本子還少5本，若每人分得4本，則本子多出2本。這些本子一共有多少本？”

孩子拿到題目后就不知從何解起了，因?yàn)樗麄兛吹筋}目中缺少了“虧”時(shí)的每份數(shù)與自己所記憶公式不匹配了！所以通過(guò)記憶公式孩子只會(huì)解決這種“公式情境”下的題目，稍作變形就無(wú)從下手了！

任何公式都是對(duì)模型高度的概括！個(gè)人若能理解之后應(yīng)用之，則如虎添翼，沒(méi)理解推導(dǎo)過(guò)程下的套用，則會(huì)固步自封！

還有一些娃，有自己的“絕招”，實(shí)在做不出題了，抓取數(shù)字就是他們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的最后稻草。

數(shù)學(xué)之美在于變化！隨著年級(jí)的增高，記憶、照搬、靠套這些方法已經(jīng)無(wú)法解決問(wèn)題了，這些孩子會(huì)將眼光關(guān)注到題目的數(shù)字中，他們發(fā)現(xiàn)算式中的數(shù)字都是來(lái)源于題目中，于是他們理解的解決問(wèn)題就是：

從題目中找到現(xiàn)有的幾個(gè)數(shù)字再加一個(gè)運(yùn)算符號(hào)算出結(jié)果就了事了！

比如：低年級(jí)我們學(xué)習(xí)了除法，這些孩子就會(huì)自行概括：求每份數(shù)或份數(shù)的題目。找到題目中的大數(shù)據(jù)除以小數(shù)據(jù)。所有的題目、練習(xí)都是除法的題目，這些孩子在做題時(shí)只用除法去解決就可以了，做的很溜，也做的很好！

但到了五年級(jí)需要根據(jù)意義列除法算式時(shí)，他們就無(wú)從下手了。（這也就是說(shuō)為什么五年級(jí)、初二會(huì)是一個(gè)分水嶺，因?yàn)槎际亲龀鲱}標(biāo)準(zhǔn)類的題目，但是做出題的過(guò)程完全不同。）

數(shù)學(xué)是靠理解與頓悟的學(xué)科！成人單純的技法傳授不可能適合所有孩子，老師在課堂上的過(guò)程建構(gòu)也不可能讓所有孩子同步達(dá)成！

我們統(tǒng)一學(xué)習(xí)技法，忽視個(gè)體思維的需要；我們統(tǒng)一安排進(jìn)度，忽略了個(gè)體思維成長(zhǎng)所需的周期，我們只要結(jié)果，忽略了他們對(duì)于習(xí)得思維的顯性呈現(xiàn)！

再舉個(gè)我?jiàn)W數(shù)課上的例子。三年級(jí)奧數(shù)課，學(xué)雞兔同籠，發(fā)現(xiàn)有些娃已經(jīng)會(huì)了，知道用“假設(shè)全是兔/雞”，然后把“跟實(shí)際相差的數(shù)除以2”的方法。我猜極有可能是家長(zhǎng)已經(jīng)提前帶他們刷過(guò)這樣的題目。

而這對(duì)我的課堂是一個(gè)挑戰(zhàn)，都會(huì)了還教什么？因?yàn)槟惆l(fā)現(xiàn)這時(shí)候你再跟這些貌似已經(jīng)”會(huì)了“的娃講畫圖，講列表法。他們會(huì)覺(jué)得簡(jiǎn)單，會(huì)覺(jué)的麻煩，會(huì)不耐煩聽(tīng)課，就會(huì)走神。。。

所以，我就把一道題目作了改編，給他們來(lái)探究一道變式題：

好家伙，你會(huì)發(fā)現(xiàn)，孩子們出現(xiàn)了兩個(gè)不同的答案，誰(shuí)對(duì)誰(shuí)錯(cuò)？讓他們自己驗(yàn)證后，發(fā)現(xiàn)兩個(gè)答案都對(duì)！這咋回事，答案不唯一，是的。我說(shuō)還有一個(gè)答案呢，誰(shuí)能找出來(lái)？該用什么方法找出來(lái)？

這時(shí)候，孩子們的興致就來(lái)了。然后，孩子們通過(guò)這道題的解題經(jīng)歷，自己就體會(huì)到了，畫圖有畫圖好處，畫圖并不是“幼稚”“低級(jí)”；還會(huì)發(fā)現(xiàn)列表有列表的好處，比如這道題，列表就會(huì)找出所有的可能性，而不會(huì)遺漏答案；然后這兩者背后呢，其實(shí)都是假設(shè)思想。

當(dāng)課上一個(gè)娃，自己若有所悟地說(shuō)，“看來(lái)畫圖也挺好用，那我以后要多嘗試畫圖的方法”，我就在心里偷著樂(lè)，我知道這堂課他是有收獲的，這堂課對(duì)他是有價(jià)值的。

附上當(dāng)時(shí)上課的回放片段，大家自己感受下孩子當(dāng)時(shí)做題過(guò)程中的心情。

朵爸奧數(shù)-三年級(jí)春季班-雞兔同籠進(jìn)階-回放片段

朵爸去年在視頻號(hào)做了很多場(chǎng)直播，也講到了很多不錯(cuò)的例子，感興趣的家長(zhǎng)可以去朵爸的快團(tuán)團(tuán)購(gòu)買直播回放合輯。

我們?cè)賮?lái)看一道校內(nèi)題。其實(shí)輔導(dǎo)思路是一樣的。

老師原本以為只是一道兩步計(jì)算的解決問(wèn)題，只要先求出水的質(zhì)量6千克，再平均分成2份就可以，學(xué)生做起來(lái)應(yīng)該沒(méi)有問(wèn)題。

沒(méi)想到學(xué)生做起來(lái)，困難重重，錯(cuò)誤不少，不少學(xué)生因?yàn)樽x不懂題目直接用8÷2進(jìn)行計(jì)算。

原因分析

為什么學(xué)生會(huì)有這么多錯(cuò)誤呢？總的來(lái)說(shuō)，學(xué)生不理解題意。不理解題意又可以分為不理解題目中的關(guān)鍵詞，不理解概念，不理解數(shù)量關(guān)系.......

1.對(duì)于單位的理解困難。由于“千克”是二年級(jí)下冊(cè)最后單元學(xué)習(xí)的內(nèi)容，現(xiàn)在第二單元出現(xiàn)顯然超出了學(xué)生的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)。極少數(shù)學(xué)生雖然在生活中接觸過(guò)“千克”這個(gè)詞，但平時(shí)口語(yǔ)化的表達(dá)還是比較少，況且學(xué)生對(duì)于2千克，8千克的理解也僅僅停留在字面意思，腦海中沒(méi)有具體事物的支撐。

2.缺少分步思考問(wèn)題的習(xí)慣。最近做的一些題目中，出現(xiàn)兩步計(jì)算的正確率往往會(huì)低一點(diǎn)，因?yàn)樵跁局袑W(xué)生做了大量一步計(jì)算的題目，習(xí)慣于一步到位。即使需要兩步完成，也會(huì)在解題步驟中省略第1步。說(shuō)明平時(shí)得多設(shè)計(jì)一些多步完成的解決問(wèn)題。培養(yǎng)學(xué)生思考先解決什么問(wèn)題的習(xí)慣。

3.隱藏的平均分表述。平時(shí)的題目都會(huì)直白的告訴你平均分或者每幾個(gè)一份，學(xué)生看到這些“熟悉的詞”，當(dāng)然會(huì)想到用除法計(jì)算。而這道題目沒(méi)有說(shuō)平均分，只用了“倒入”這樣的表述。學(xué)生需要自動(dòng)把題目情景轉(zhuǎn)化為平均分。

輔導(dǎo)建議

1.舉例子理解題目。可以舉例平時(shí)測(cè)體重的時(shí)候，顯示出來(lái)的數(shù)對(duì)應(yīng)的單位就是千克，讓學(xué)生初步知道千克是一個(gè)單位。但是學(xué)生對(duì)于2千克、8千克，往往是沒(méi)有概念的，因?yàn)闆](méi)有形成量感。

還可以舉例子幫助學(xué)生理解“裝滿水后的重量=空桶重量+水的重量?！北热缱穯?wèn)：測(cè)體重時(shí)的體重就是你身體的重量嗎？（當(dāng)然不是，還包括了衣服、鞋子...的重量）

2.逐步引導(dǎo)。比如看第一個(gè)小朋友的話，可以追問(wèn)你能發(fā)現(xiàn)什么信息？從空木桶重2千克，裝滿水重8千克，引導(dǎo)學(xué)生算出水重6千克。（結(jié)合圖：空木桶+水=8千克，空木桶上面標(biāo)2千克）

也可以看第二個(gè)小朋友的話，要求出每只小水桶裝水的重量，要先求出木頭中的水的重量。

這里還有一個(gè)關(guān)鍵是要讓學(xué)生知道這兩只水桶相同的，所以是把大水桶中的水平均分成2份。

3.變式提升：在兩只空的小水桶中分別倒入3千克的水，把兩只小水桶中的水倒入大木桶剛好倒?jié)M，這時(shí)裝滿水后連桶重8千克，大木桶有多重？

這道題的價(jià)值是提醒我們要關(guān)注題意、分步思考、以及平均分的隱晦表達(dá)。

其實(shí)不管是刷高斯導(dǎo)引，還是做校內(nèi)的拓展題，輔導(dǎo)思路對(duì)了，才會(huì)有效果。

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