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新教材里潛在的高考題系列5：取大取小函數(shù)

左勤高考數(shù)學 >《待分類》

2022.10.09 天津

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在前文《新高考的一個強烈信號》里提到過取大函數(shù)和取小函數(shù).

在新教材人教A版必修1的第68頁，例6給出了取大函數(shù)的定義.

在第69頁，練習的第3題給出了取小函數(shù)的定義.

1

取大函數(shù)和取小函數(shù)的特性

這個函數(shù)的主要特性，體現(xiàn)在大小的比較上.

因此有：

min{a,b}≤（a+b）/2≤max{a,b}.

在不等式的放縮中常常用到.

上述不等式也容易理解.

取小函數(shù)嘛，當然不會大于算術平均值；取大函數(shù)嘛，當然不會小于算術平均值.

寫得具體一些，有：

max{a,b}=[a+b+|a-b|]/2;

min{a,b}=[a+b-|a-b|]/2.

當然，如果a>0,b>0,還可以進一步拓展，有：

min{a,b} ≤√ab≤max{a,b}

2

取大函數(shù)和取小函數(shù)的主要考試方向

1.取小函數(shù)的零點

這一點在《壓軸題就不是用通法的時候》里提到過.

核心規(guī)律就是一條：

取小函數(shù)的零點個數(shù)，只關心兩個函數(shù)在x軸下方的部分是否相互遮擋.

2.取小函數(shù)的最大值，取大函數(shù)的最小值

比如下面這樣一道題：

用min{a，b}表示a，b兩個數(shù)中的最小值，設f（x）=min{x+2，10-x}，則f（x）的最大值為______．

通常用作圖法，解決起來比較快.

我們發(fā)現(xiàn)，這類問題的答案總是在兩個函數(shù)的交點處取得.

因此，圖象都不用畫了，直接計算、驗算即可.

感興趣的朋友，不妨試試下面這個題目：

還有一類問題，用均值來做更方便一些.

比如：

此處用的是（1）中講到的函數(shù)性質(zhì).

有時用算術平均值過渡比較好，有時用幾何平均值過渡比較好，根據(jù)條件，因勢而動.

留2道好題供屏幕前的你練習鞏固：

歡迎你留言，寫下這3道題的答案.

為防失聯(lián)，最近做了一個小號，請大家及時關注.大號講干貨，小號講方法.

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