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斐波那契數(shù)列相關(guān)的極限和級(jí)數(shù)問(wèn)題典型題剖析(一)


引言

斐波那契數(shù)列(Fibo nacci seq uence),又稱黃金分割數(shù)列,由意大利數(shù)學(xué)家萊昂納多·斐波那契(Leonardo Fibonacci,1170-1250)在1202年以兔子繁殖為例子而引入,故又稱為“兔子數(shù)列”。
 

它指的是這樣一個(gè)數(shù)列:0、112、35、8、1321、34、……,從第3項(xiàng)開(kāi)始,每一項(xiàng)都等于前兩項(xiàng)之和。斐波那契數(shù)列(Fibonacci sequence),又稱黃金分割數(shù)列,在數(shù)學(xué)上,斐波納契數(shù)列以如下遞歸方法定義:

由于其第1項(xiàng)取為0,故也經(jīng)常定義為

斐波納契數(shù)列在現(xiàn)代物理、準(zhǔn)晶體結(jié)構(gòu)、化學(xué)等領(lǐng)域都有直接的應(yīng)用,并在計(jì)算機(jī)C語(yǔ)言程序題中應(yīng)用廣泛。同時(shí),斐波那契數(shù)經(jīng)常出現(xiàn)在自然界中,比如一些植物的葉、枝、莖、花瓣的數(shù)量,排列、生長(zhǎng)規(guī)律等都表現(xiàn)為一些斐波那契數(shù)或其變化規(guī)律。

 
斐波那契數(shù)列在歐美可謂是盡人皆知,于是在電影這種通俗藝術(shù)中也時(shí)常出現(xiàn),比如在風(fēng)靡一時(shí)的《達(dá)芬奇密碼》里它就作為一個(gè)重要的符號(hào)和情節(jié)線索出現(xiàn)。


FOX 熱播美劇《Fringe》中更是無(wú)數(shù)次引用,甚至作為全劇宣傳海報(bào)的設(shè)計(jì)元素之一。


另外,美國(guó)數(shù)學(xué)會(huì)從 1963 年起出版了以《斐波納契數(shù)列季刊》為名的一份數(shù)學(xué)雜志,用于專門(mén)刊載這方面的研究成果。


 【注】先自行練習(xí),然后再看之后的思路、思想與方法、過(guò)程分析. 如果公式顯示不全,請(qǐng)?jiān)诠缴献笥一瑒?dòng)顯示!

練習(xí)1:求斐波那契(Fibonacci)數(shù)列的通項(xiàng)公式.
練習(xí)2:設(shè)數(shù)列滿足
(1) 證明:
(2) 判斷級(jí)數(shù)是否收斂?
練習(xí)3:證明:級(jí)數(shù)收斂,并求和,其中
練習(xí)4:設(shè)為Fibonacci數(shù)列,即
,求
練習(xí)5:若可微函數(shù)上滿足 ,且 ,任取
證明級(jí)數(shù) 絕對(duì)收斂.
練習(xí)6:設(shè) 是區(qū)間 上的可微函數(shù), ,其中 . 任取實(shí)數(shù) ,定義
證明級(jí)數(shù) 絕對(duì)收斂.
練習(xí)7:已知 ,且對(duì) ,有
作數(shù)列
證明 收斂﹐且極限 滿足 .

內(nèi)容待續(xù) ...


參考文獻(xiàn)

[1] 百度百科詞條:斐波那契數(shù)列
[2] 周民強(qiáng).數(shù)學(xué)分析習(xí)題演練(第1冊(cè))北京:科學(xué)出版社,2006.
[3] 裴禮文.數(shù)學(xué)分析中的典型問(wèn)題與方法.2.北京:高等教育出版社,2006.
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