本文框架
一 “數(shù)學(xué)錯(cuò)誤”的定義
二 對(duì)待錯(cuò)題的正確態(tài)度
三 “數(shù)學(xué)錯(cuò)誤”的分類(lèi)
四 “數(shù)學(xué)錯(cuò)誤”的深層原因分析
五 克服“數(shù)學(xué)錯(cuò)誤”的對(duì)策
六 開(kāi)發(fā)錯(cuò)題寶藏的兩大神器
1、K型：（Knowledge） 知識(shí)概念型錯(cuò)誤
這里主要指解題者，由于數(shù)學(xué)知識(shí)上的缺陷與不足所造成的各種錯(cuò)誤。
如不能正確理解題意，包括誤解題意、概念性質(zhì)混淆、忽視公式和定理成立的條件（比如，公式法則的誤用，以及定理的錯(cuò)用）等等。
2、S型：(Skill) 技巧能力型錯(cuò)誤
這里主要指邏輯性和策略性方面的錯(cuò)誤。
比如違反邏輯思維的形式，違反基本邏輯規(guī)則所產(chǎn)生的推理與論證，以及不能正確識(shí)別模式，缺乏整體觀念，不善于從反向思考，不能恰當(dāng)?shù)剞D(zhuǎn)化問(wèn)題。
3、M型：(Mentality) 心理心態(tài)型錯(cuò)誤
這里主要指解題者雖然具備了解決問(wèn)題的必要數(shù)學(xué)知識(shí)與基本技能，但由于某些心理原因而產(chǎn)生的各種解題錯(cuò)誤。
比如一些同學(xué)對(duì)行程問(wèn)題，幾何問(wèn)題就存在心理障礙；
對(duì)解答難題沒(méi)有堅(jiān)強(qiáng)的意志和信心；
解題時(shí)急功近利，急于求成，導(dǎo)致錯(cuò)誤的急躁心理等。
1、概念，性質(zhì)含糊不清：
在學(xué)習(xí)新概念的過(guò)程中，由于概念的抽象性，容易造成認(rèn)識(shí)的偏差；
另外對(duì)概念的條件與結(jié)論不能完整把握，也會(huì)造成理解的支離破碎。
這種對(duì)概念和性質(zhì)理解的不深刻性，都極易造成數(shù)學(xué)錯(cuò)誤。
2、忽略公式和重要結(jié)構(gòu)存在的條件：
每當(dāng)在學(xué)習(xí)一個(gè)新的數(shù)學(xué)公式或定理時(shí)，都要先分清楚它適用的條件是什么，產(chǎn)生的結(jié)論又是什么，如何用數(shù)學(xué)符號(hào)或數(shù)學(xué)式子來(lái)表達(dá)。
單純地記憶公式或定理，而對(duì)其本質(zhì)缺乏深刻理解，不考慮公式成立的條件，生搬硬套公式或定理就有可能造成數(shù)學(xué)錯(cuò)誤。
3、審題不仔細(xì)：
對(duì)那些冗長(zhǎng)的、需要轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語(yǔ)言的文字題，閱讀起來(lái)就比較吃力。
有些學(xué)生做題急于求成，讀題馬虎，忽視問(wèn)題的關(guān)鍵詞句，經(jīng)常出現(xiàn)還未理解題意就已經(jīng)開(kāi)始答題的現(xiàn)象。
4、題意理解不清：
數(shù)學(xué)題意的理解，包括語(yǔ)法的理解和數(shù)學(xué)知識(shí)的理解。
當(dāng)題中有復(fù)雜長(zhǎng)句時(shí)， 有些學(xué)生弄不清楚主、謂、賓結(jié)構(gòu)，不能把復(fù)雜的語(yǔ)句轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的語(yǔ)句，造成對(duì)題意理解的不準(zhǔn)確。
5、忽視題目中的隱含條件：
許多數(shù)學(xué)題目中的條件，有些是明確給出的，我們稱之為顯性條件；
另一些則是隱含在習(xí)題的其它條件、結(jié)論中的，我們稱之為隱性條件。
正所謂明槍易躲，暗箭難防。學(xué)生在解題過(guò)程中，往往容易忽視或不能發(fā)現(xiàn)題中的隱含條件而導(dǎo)致錯(cuò)誤的產(chǎn)生。
6、隨意添加條件（潛在假設(shè)）：
在解題過(guò)程中，有的學(xué)生往往不自覺(jué)地將某些并不存在的條件作為已知條件，
或者輕易把從一些特殊情況下得出的結(jié)論作為解題的依據(jù)或結(jié)論，
甚至根據(jù)解題的需要，人為地制造出一些“為我所用”的條件。
例如，有些學(xué)生在一說(shuō)起直角三角形，馬上得到較小的直角邊是斜邊一半的結(jié)論（誤認(rèn)為有一個(gè)銳角是30度）。
7、運(yùn)算錯(cuò)誤：
忘記分母不能為零，任意約分，運(yùn)算法則、順序混亂，
去括號(hào)法則和添括號(hào)法則誤用，
忽視條件的取值范圍，亂套公式定理、誤用法則性質(zhì)，
不等價(jià)轉(zhuǎn)化導(dǎo)致了條件的擴(kuò)大或縮小，忽視檢驗(yàn)，取舍不當(dāng)。
1、邏輯性錯(cuò)誤：
偷換論題，論據(jù)不足，循環(huán)論證，論證欠嚴(yán)密，推理過(guò)程錯(cuò)誤，混淆問(wèn)題的“特殊性”和”一般性”，混淆條件的“充分性”與“必要性”。
2、思維因素：
思考不夠深入，思維不夠靈活，思維不嚴(yán)謹(jǐn)（考慮不周，主觀臆斷），思維定勢(shì)的影響。
3、方法、策略錯(cuò)誤：
不能正確分類(lèi)，不會(huì)數(shù)形結(jié)合，缺乏整體觀念，不善于逆向思維，不會(huì)轉(zhuǎn)化問(wèn)題。
1、心理能力的缺失：
這里所說(shuō)的心理能力包括識(shí)別能力，記憶能力，理解能力，信息加工能力，想象能力等。
由于上述心理能力的不足，導(dǎo)致學(xué)生對(duì)于一些復(fù)雜的習(xí)題，表現(xiàn)為顧此失彼等。比如35÷5×2=7，忘記了后面還要乘2。
2、焦慮情緒造成的錯(cuò)誤：
焦慮程度與學(xué)習(xí)成績(jī)的關(guān)系呈倒 U 型曲線，適當(dāng)?shù)慕箲]程度將有助于問(wèn)題的解決，而過(guò)度焦慮或者過(guò)分輕松，都不能表現(xiàn)出良好的解題能力。
3、局部成就心理造成錯(cuò)誤（得意的太早）：
成就感能激發(fā)學(xué)生的求知欲、能促進(jìn)積極的思維活動(dòng)，
但是成就感也常常使學(xué)生因局部的成功而忽視進(jìn)一步的思考與追求、從而引發(fā)錯(cuò)誤。
4、負(fù)遷移引起的錯(cuò)誤：
這里所指的負(fù)遷移，在學(xué)習(xí)中是一種常見(jiàn)的心理現(xiàn)象。
在知識(shí)增長(zhǎng)的過(guò)程中， 如果原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)成為獲取新知識(shí)的一種心理障礙和阻力，那么通常稱為“負(fù)遷移”。
例如，學(xué)生經(jīng)常在不等式的兩邊同時(shí)除以一個(gè)負(fù)數(shù)時(shí)，不改變不等號(hào)的方向，造成運(yùn)算的錯(cuò)誤。
其原因就是等式的性質(zhì) 2（在等式的兩邊時(shí)乘以或除以一個(gè)不為零的數(shù)， 等式依舊成立）的內(nèi)容對(duì)學(xué)生造成了知識(shí)的負(fù)遷移。
5、按直覺(jué)判斷：
學(xué)生在解答數(shù)學(xué)題目的過(guò)程中，常常會(huì)根據(jù)某些條件的局部特征，或者從已有的經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，不經(jīng)過(guò)邏輯推理，就憑表面現(xiàn)象做出草率的判斷，匆匆下筆，導(dǎo)致錯(cuò)誤的發(fā)生。
1、加強(qiáng)對(duì)數(shù)學(xué)概念的理解：
可以從大量生活中的實(shí)際例子出發(fā)，對(duì)相似的概念和容易混淆的概念要進(jìn)行比較與分類(lèi)，找出這些概念之間的區(qū)別和聯(lián)系，進(jìn)而提煉出這一類(lèi)事物的本質(zhì)屬性。
2、提高審題能力：
有一位數(shù)學(xué)家老吳，曾經(jīng)在一篇《帶你挖礦，開(kāi)發(fā)“錯(cuò)題”寶藏》的文章里說(shuō)過(guò)：
“善于解題的人，用一半的時(shí)間來(lái)理解問(wèn)題，而用另一半時(shí)間完成解題 ”。
對(duì)于一些條件比較復(fù)雜、隱蔽的題目，需要認(rèn)真閱讀，仔細(xì)推敲，準(zhǔn)確把握問(wèn)題的條件和結(jié)論。
在審題時(shí), 可以引入一些圖形、表格、符號(hào)等來(lái)幫助理解題意。
對(duì)于條件既不能遺漏,也不能隨意添加。
同時(shí)也要兼顧條件和結(jié)論，因?yàn)榻Y(jié)論往往暗示了對(duì)條件進(jìn)行轉(zhuǎn)化的途徑與方向。
審題一定要注意抓關(guān)鍵詞，想辦法挖掘題目的內(nèi)涵和外延。
認(rèn)真審題，提高審題能力可以幫助學(xué)生從題目中獲取盡可能多的信息，是提高學(xué)生數(shù)學(xué)解題能力的重要途徑。
3、提高計(jì)算能力：
掌握合理的算理和算法是計(jì)算的基礎(chǔ)，在計(jì)算過(guò)程中要準(zhǔn)確無(wú)誤地運(yùn)用概念、公式、法則，有根有據(jù)地一步一步運(yùn)算，不能跳步驟。
做到這些，才能保證最終的運(yùn)算結(jié)果準(zhǔn)確無(wú)誤。
另外提高學(xué)生簡(jiǎn)便運(yùn)算也是提高運(yùn)算能力的關(guān)鍵，學(xué)會(huì)簡(jiǎn)便運(yùn)算的學(xué)生不僅算得快，而且準(zhǔn)確率也高。
4、提高思維能力：
在數(shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的思維能力是減少學(xué)生的解題錯(cuò)誤的重要途徑之一。
數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)成績(jī)好的同學(xué)，往往具有思維敏捷、邏輯清晰的特點(diǎn)，并且比一般的同學(xué)更加具有探索創(chuàng)新的精神。
反觀一些數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)比較困難的學(xué)生，他們的思維具有局限性的特點(diǎn)，一旦遇到新的問(wèn)題往往束手無(wú)策，沒(méi)有解決問(wèn)題的好辦法。
5、規(guī)范解題格式：
規(guī)范的解題格式，不僅反映學(xué)生的數(shù)學(xué)知識(shí)技能水平，而且也反映學(xué)生的學(xué)習(xí)態(tài)度與學(xué)習(xí)習(xí)慣。
平時(shí)練習(xí)時(shí)就要注意：
順序從左到右，由上到下，排列要均勻；
數(shù)字、符號(hào)正確，字跡工整、清晰；
計(jì)算題步步為營(yíng)，不能跳步驟；
證明題由因?qū)Ч?，言必有?jù)等。
6、養(yǎng)成解題檢驗(yàn)的習(xí)慣：
解題檢驗(yàn)是解題的重要組成部分，只是很多學(xué)生缺乏這種意識(shí)而已。
在培養(yǎng)檢驗(yàn)意識(shí)的同時(shí)，也要有意識(shí)使用一些基本的檢驗(yàn)方法。
比如，對(duì)于一些計(jì)算的結(jié)果，可以通過(guò)估算來(lái)檢驗(yàn)；
對(duì)于沒(méi)有把握的題目，可以重新再解一遍，當(dāng)然解題的思路和步驟不能受前一種解法的影響；
對(duì)于實(shí)際問(wèn)題，可以根據(jù)解題的結(jié)果是否符合實(shí)際情況來(lái)檢驗(yàn)；
對(duì)于有些問(wèn)題，可以一題多解的方法來(lái)檢驗(yàn)；
對(duì)于一些幾何證明的問(wèn)題，可以嘗試用倒推法來(lái)檢驗(yàn)證明的正確性等等。
7、學(xué)會(huì)一題多解，提煉最優(yōu)解法：
將一個(gè)復(fù)雜的問(wèn)題簡(jiǎn)單化，是數(shù)學(xué)解題中的基本思想方法。
所以在解題中，不能只關(guān)注是否獲得正確答案，更應(yīng)該關(guān)注使用的方法是否化繁為簡(jiǎn)，反映問(wèn)題的本質(zhì)。
多進(jìn)行一題多解的練習(xí)，在一題多解中提煉最優(yōu)的解法，有利于開(kāi)拓我們的思路，有利于我們掌握數(shù)學(xué)問(wèn)題的本質(zhì)，有利于提高我們的思維能力。
8、養(yǎng)成題后反思的習(xí)慣：
反思復(fù)盤(pán)是解題之后的重要環(huán)節(jié)。
我在很多篇文章里，都強(qiáng)調(diào)了反思復(fù)盤(pán)的重要性和有效性，而現(xiàn)實(shí)中很多同學(xué)沒(méi)有養(yǎng)成題后反思的習(xí)慣，一種錯(cuò)誤錯(cuò)了又錯(cuò)，形成了一種習(xí)慣性錯(cuò)誤。
實(shí)踐證明，通過(guò)題后反思能夠減少重復(fù)出錯(cuò)的幾率。實(shí)現(xiàn)認(rèn)識(shí)上的“知其然，又知其所以然，還知何由以知其所以然”。
9、整理一本數(shù)學(xué)錯(cuò)題集：
錯(cuò)誤是寶貴的學(xué)習(xí)資源，它暴露了我們?cè)跀?shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的種種問(wèn)題。
而造成這些問(wèn)題的原因有很多， 有知識(shí)理解不到位、有心理緊張、有思維不夠靈活、有選擇錯(cuò)誤的策略方法等等。
我們應(yīng)該正確對(duì)待錯(cuò)誤，養(yǎng)成搜集錯(cuò)誤的好習(xí)慣，學(xué)會(huì)在錯(cuò)誤中學(xué)習(xí)。
所以自己整理一本錯(cuò)誤集，把平時(shí)在考試、作業(yè)、課堂上所犯的典型錯(cuò)誤記錄在這本錯(cuò)題集中，是一條很好的高效、系統(tǒng)和快捷的，培養(yǎng)反思糾錯(cuò)能力的途徑。
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