對于一元一次方程這一章，是不少同學(xué)心中的一個難點。本來我已經(jīng)寫過一篇《初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)筆記七上05一元一次方程（數(shù)學(xué)思想、學(xué)習(xí)技巧歸納）》的文章，但可能有點粗略。最近很多學(xué)生剛上完這一章，還是直呼：“好難！”因為一元一次方程是二元一次方程的基礎(chǔ)，必須打好。今天我們再一次就一元一次方程中的行程問題做一次詳細的講解吧。
初中
一、基本原理、方法和步驟
1.1、基本公式或原理
路程 = 速度×?xí)r間
速度 = 路程÷時間
時間 = 路程÷速度
看，其實追及相遇問題就是翻來覆去用這個公式。
1.2、用一元一次方程解決實際問題的方法和步驟為：
①找出等量關(guān)系式 ②設(shè)未知數(shù) ③列方程 ④解方程 ⑤檢驗。這五步，可以簡化為五個字：“找、設(shè)、列、解、檢”來記憶。
1.3、找等量關(guān)系
用一元一次方程解決實際問題，最關(guān)鍵也是最要的，就是第一步“找等量關(guān)系”，那么對于追及和相遇問題，我們可以發(fā)現(xiàn)通常有以下等量關(guān)系：
1）相遇問題即相向而行，等量關(guān)系：雙方所走路程之和＝全部路程；
2）追及問題即同向而行，等量關(guān)系：雙方行程的差＝原來的路程(開始時雙方相距的路程)= 追趕者走的路程 - 被追趕者走的路程.
3）航行問題（飛行問題）
船的航行問題，等量關(guān)系：
①船在靜水中速度＋水速＝船的順水速度；②船在靜水中速度－水速＝船的逆水速度。
飛機的飛行問題，等量關(guān)系：
①飛機的飛行速度＋風(fēng)速＝飛機順風(fēng)時的速度；②飛機的飛行速度-風(fēng)速＝飛機逆風(fēng)時的速度；
4）環(huán)形跑道問題：①甲、乙兩人在環(huán)形跑道上同時同地同向出發(fā)，等量關(guān)系：快的- 慢的 =多跑一圈或幾圈的路程。②甲、乙兩人在環(huán)形跑道上同時同地反向出發(fā)，等量關(guān)系：雙方所跑路程之和=環(huán)形跑道一圈的長度。
5）往返問題，等量關(guān)系：去時路程 = 回時路程
6）回聲問題，等量關(guān)系：聲音速度×?xí)r間 = 聲音從發(fā)出地至碰到障礙物再返回聲音接收地路程之和。
7）接力問題，等量關(guān)系：甲路程+乙路程 = 全部路程 或者 甲完成量+乙完成量 = 全部完成量
二、例題詳解
2.1、相遇問題
例1、甲、乙兩人分別從A，B兩地同時出發(fā)，沿同一條路線相向勻速行駛，已知出發(fā)后3 h兩人相遇，相遇時乙比甲多行駛了60 km，相遇后再經(jīng)1 h乙到達A地．
(1)甲、乙兩人的速度分別是多少？
(2)兩人從A，B兩地同時出發(fā)后，經(jīng)過多長時間兩人相距20 km?
解：(1)解法一：設(shè)甲的速度為xkm/h，易得乙的速度為(x＋20)km/h.
根據(jù)題意，得3x＋3(x＋20)＝4(x＋20)，
解得x＝10.
則x＋20＝30.
答：甲的速度是10 km/h，乙的速度是30 km/h.
解法二：設(shè)相遇時乙行了3ykm，那么甲行了ykm
根據(jù)題意：3y-y = 2y =60
解得y=30km
所以甲的速度為30÷3=10km/h，乙的速度為30 km/h.
(2)設(shè)經(jīng)過th兩人相距20 km.
①相遇前相距20 km時，可得方程10t＋30t＋20＝4×30，
解得t＝2.5；
②相遇后相距20 km時，可得方程10t＋30t＝4×30＋20，
解得t＝3.5.
答：經(jīng)過2.5 h或3.5 h兩人相距20 km.
2.2、追及問題
例2、甲、乙兩站間的路程為360千米，一列慢車從甲站開出，每小時行駛48千米，一列快車從乙站開出，每小時行駛88千米.兩列火車同時開出，同向而行，慢車在前，快車在后，問經(jīng)過幾小時快車追上慢車？
解：設(shè)經(jīng)過x小時，快車追上慢車.(88－48)·x＝360，x＝9.所以經(jīng)過9小時快車追上慢車
2.3、航行問題
例3、一艘船航行于A，B兩碼頭之間，順水航行需3小時，逆水航行需5小時，已知水流速度是4千米/時，求這兩個碼頭之間的距離.
解：設(shè)船在靜水中的速度為x千米/時，3(x＋4)＝5(x－4)，x＝16.則3×(16＋4)＝60(千米).所以這兩個碼頭之間的距離為60千米.
2.4、環(huán)形跑道問題
例4、甲、乙二人在300m長的環(huán)形跑道上練習(xí)長跑，甲的速度是6m/s，乙的速度是7m/s.
(1)如果甲、乙二人同地背向跑，乙先跑2s，然后甲再跑，那么甲跑多少秒后甲、乙二人第一次相遇？
(2)如果甲、乙二人同時同地同向跑，乙跑幾圈后能首次追上甲？
解：(1)設(shè)甲跑xs后甲、乙二人第一次相遇，依題意，得7×2＋7x＋6x＝300，解得x＝22，所以甲跑22s后甲、乙二人第一次相遇.
(2)設(shè)經(jīng)過ys后，乙能首次追上甲，依題意，得7y－6y＝300，解得y＝300.因為乙跑一圈需300/7s，所以乙跑了300÷(300/7)＝7(圈).故乙跑7圈后能首次追上甲.
例5、甲、乙兩人在操場上練習(xí)競走，已知操場一周為300m，甲每分鐘走100m，乙每分鐘走60m，現(xiàn)在兩人同時同地同向出發(fā)xmin后第一次相遇，則下列方程中錯誤的是()
A.(100－60)x＝300B.100x＝300＋60x
C.x/3－x/5＝1D.100x＋300＝60x
答案：D
2.5、往返問題
例6、春節(jié)假期，小陳駕車從珠海出發(fā)到香港，去時在港珠澳大橋上用了40分鐘，返回時平均速度提高了25千米/小時，在港珠澳大橋上的用時比去時少了10分鐘，求小陳去時的平均速度，設(shè)他去時駕車的平均速度為x千米/小時，則可列方程為
解：設(shè)他去時駕車的平均速度為x千米/小時，則返回時駕車的平均速度為（x+25）千米/小時，
依題意，得：(2/3)x＝（x+25）/2．
故答案為：(2/3)x＝（x+25）/2．
2.6、回聲問題
例7、一輛貨運小汽車以15米/秒的速度向?qū)γ嫔焦刃旭偅緳C鳴一下喇叭，4秒后聽到回響，這時汽車離山谷（ ）米（已知空氣中聲音的傳播速度約為340米/秒）
解：設(shè)此時汽車離山谷x米，
聲音從發(fā)出地至碰到障礙物再返回聲音接收地路程之和= 2x + 4×15
聲音速度×?xí)r間 = 340×4
根據(jù)等量關(guān)系有：2x + 4×15 = 340×4
解得x= 650米
2.7、接力問題
例8、某地為了打造風(fēng)光帶，將一段長為360 m的河道整治任務(wù)交給甲、乙兩個工程隊接力完成，共用時20天．已知甲工程隊每天整治24 m，乙工程隊每天整治16 m，求甲、乙兩個工程隊分別整治了多長的河道．
解：設(shè)甲工程隊整治了x天，則乙工程隊整治了(20－x)天．
由題意，得24x＋16(20－x)＝360，
解得x＝5.
所以乙工程隊整治了20－5＝15(天)．
甲工程隊整治的河道長為24×5＝120 (m)，
乙工程隊整治的河道長為16×15＝240 (m)．
答：甲、乙兩個工程隊分別整治了120 m，240 m的河道．
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