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我們來看一些需要加輔助線的例子。

其實平面幾何中最困難的地方就在于加輔助線。關(guān)于加輔助線有靈魂三問：

1.這道題目要不要加輔助線？

2.我要加在哪里？

3.這樣加對不對？

其實這些最早的訓(xùn)練都源于求小學(xué)題目中的求面積。當(dāng)然不是說具體加的方法一脈相承，而是思考的方法是如出一轍的。

當(dāng)然，既然已經(jīng)說了是要加輔助線的，其實題目難度已經(jīng)被大大降低了，只需要考慮后兩個問題即可。

例1      如圖所示，矩形ABCD中陰影部分的面積是23，求四邊形EFGH的面積是多少？

輔助線加在哪里？

一般而言，小學(xué)里的加輔助線就這么幾種：一是連已有的點，把大的圖形分割成若干小塊，或者做等積變換；二是作高；三是作平行線，歸根到底都是做等積變換。

在這個題目中，怎么加輔助線比較合適呢？

EFGH是個不規(guī)則的四邊形，你要作高或者作平行線看起來都很難做一些等積變換，能求出來的唯一辦法就是分割成若干個小三角形來做——因為往其他特殊四邊形上靠看起來很不靠譜??！

問題來了，怎么分？最直觀的就是連接EG或者HF，這樣都可以把四邊形分解成兩個小三角形。

如果連接了EG，那么這時候我們很自然要找分割完的小三角形和陰影部分之間的聯(lián)系，請瞪大你的雙眼，我們會發(fā)現(xiàn)：什么聯(lián)系都沒有。

正常的很，誰規(guī)定的你加輔助線就要一加就準(zhǔn)的？

由于無法找到加完之后和陰影部分的聯(lián)系，因此這種方法很可能是錯的。于是我們要嘗試轉(zhuǎn)彎，連接HF試試。

很容易看出，這就出來兩組我們之前講過的眼鏡：夾在一組平行線之間的兩個對頂著的三角形。所以EFGH的面積就等于陰影部分面積之和，得到面積為23.

是不是很簡單？

例2   如圖所示，四邊形ABCD中，∠B=∠D=90°，∠C=45°，AB=1.8，BC=5，求四邊形面積。

按照之前的思路，我們很容易想到連接AC或者BD，而且這也是四邊形中加輔助線常用的辦法——連對角線。

如果我們連AC，可以很容易求出△ABC的面積，但是△ADC的面積怎么辦？我們甚至找不到一條已知的邊！所以這條路肯定不對。

那么連接BD呢？我們發(fā)現(xiàn)△ABD和△BCD各知道一條邊，但是都缺一條高，有沒有可能把高求出來呢？

對小學(xué)生來說，求高的辦法就是：面積乘以2除以底。。。

所以你要有雞的前提是先要有蛋，兩條路都是行不通的。所以接下來的問題就是：該如何轉(zhuǎn)彎？

我們發(fā)現(xiàn)，在上面的分析過程中就沒有用到∠C=45°這個條件！

所以更加確定了以上兩種輔助線的辦法是錯的。那對的在哪里？我們注意到，∠B=90°，而∠C=45°，所以很容易（假裝很容易吧）聯(lián)想到這其實是一個等腰直角三角形被砍掉一部分以后留下的圖形！

所以我們延長BA和CD，交于E，則△EBC就是等腰直角三角形。面積就等于25/2.所以接下來就是計算△EAD的面積了。

由于∠ADC是直角，可以知道∠EDA也是直角，而∠E=45°，于是△EAD也是等腰直角三角形。EA的長度等于3.2，所以△EAD的面積為3.2×3.2/4=2.56.我們得到四邊形ABCD的面積為：25/2-2.56=9.94.

稍微難一點的幾何題必然是要加輔助線的，作為初學(xué)者，加輔助線之前先問自己這靈魂三問，還是有很有用的。