數(shù)學(xué)天才伽羅瓦，20歲時死于一場決斗，結(jié)束了他短短的一生，而他思想的精華將永遠(yuǎn)流淌在歷史的長河里。
翻譯 | 許釗箐
1832年5月30日清晨，隨著一聲槍響，只有20歲的埃瓦里斯特·伽羅瓦（évariste Galois）受傷倒在滿是露珠的草地上。歷史上最迷人，最神秘的人物之一即將走向生命的終結(jié)。
伽羅瓦丨圖片來源：Wikimedia Commons
這是一個關(guān)于愛情和數(shù)學(xué)的故事，和一個非常聰明的年輕人有關(guān)。他潦草的手稿開啟了數(shù)學(xué)中最優(yōu)美、最有趣的領(lǐng)域之一，也引發(fā)了一場關(guān)于我們?nèi)绾嗡伎挤匠痰母锩?。他不僅解決了一個350年懸而未決的問題，他的理論還為幾個兩千年未解的問題提供了答案。我們稍后會講到這些。
更具體地說，伽羅瓦考慮了多項式求根的問題。（譯者注：多項式的根，也被稱為多項式的解，即使得多項式p(x)函數(shù)值為零的x的值）
當(dāng)時數(shù)學(xué)家已經(jīng)知道，五次以及五次以上的多項式?jīng)]有可以求根的通用公式。（對于這里的公式，我們指的是取n次方根并應(yīng)用四則運(yùn)算。這個概念也被稱為根式可解，本文中簡稱為可解。）但是，伽羅瓦想理解為什么有的高次多項式是根式可解的，而其他的是不可解的。（譯者注：這里讀者可以利用二次多項式求根公式為例來理解根式可解這個概念。）
例如方程x5-1=0是可解的，我們稱這些解為五次單位根。這些解十分漂亮地均勻分布在復(fù)數(shù)平面的單位圓上，也是一個正五邊形的頂點(diǎn)，即五個五次單位根。
所以一些d階（其中d≥5）的多項式方程，事實上是可解的！伽羅瓦理論解決的問題正是為什么是這樣的，以及哪些方程是根式可解的，而不是僅僅知道一些方程是不可解的。
一些多項式方程不可解的事實是被另一位天才——年輕的挪威數(shù)學(xué)家尼爾斯·亨利克·阿貝爾（Niels Henrik Abel）所證明的。其實幾位大數(shù)學(xué)家，比如魯菲尼（Paolo Ruffini）和柯西（Augustin-Louis Cauchy），也對此有所貢獻(xiàn)，但是沒人提出接近于伽羅瓦的理論，也沒人可以確切地解釋原因。
在本文中，我們將首先了解歷史概況和伽羅瓦的生平，然后簡要地介紹他的英年早逝，年僅20歲的神秘死亡。之后，我們會看到其優(yōu)美的數(shù)學(xué)理論的全貌，以及討論為什么它是如此的優(yōu)雅。
盡管一篇文章無法涵蓋伽羅瓦理論的全部，但我希望可以向你們展示其優(yōu)雅和美麗的一部分，希望它激勵你們自己去學(xué)習(xí)和探索。
伽羅瓦出生在1811年10月25日。他很早就對數(shù)學(xué)感興趣，在14歲時，他找到了勒讓德（Adrien-Marie Legendre）的《幾何基礎(chǔ)》（éléments de Géométrie）一書。據(jù)說，他讀這本書“像讀小說一樣”，并在第一次閱讀時就掌握了它。
15歲時，他開始閱讀拉格朗日的論文，他可能因此受到很大啟發(fā)。
盡管伽羅瓦在自己的時間里努力學(xué)習(xí)，但他在課堂上卻沒有什么動力。
1828和1829年，他被巴黎綜合理工學(xué)院兩次拒之門外，這里有當(dāng)時法國最負(fù)盛名的數(shù)學(xué)學(xué)院。第一次是因為偏科，第二次是因為沒有通過口試，據(jù)說他把口試搞砸了。（譯者注：巴黎綜合理工學(xué)院被認(rèn)為是法國最頂尖的工程師大學(xué)，被譽(yù)為法國精英教育模式的巔峰。）
從這個時刻開始，日月如梭， 1829年伽羅瓦發(fā)表了一篇關(guān)于連分?jǐn)?shù)的論文，大約在同一時間，他投稿了一些關(guān)于多項式方程的論文。審稿人正是當(dāng)時最偉大的數(shù)學(xué)家之一：奧古斯丁-路易斯·柯西。
但是，盡管柯西建議伽羅瓦將文章提交到法國科學(xué)院以參加學(xué)院獎（Grand Prix），但是他并沒有發(fā)表伽羅瓦的論文。
直到今天，沒有人知道為什么柯西沒有發(fā)表它。有人說，他認(rèn)識到伽羅瓦思想的重要性，但建議伽羅瓦在出版前進(jìn)行一些編輯。也有些人說，政治因素起到了一定作用。(顯然，柯西和伽羅瓦的政治觀點(diǎn)相沖突，這在當(dāng)時是一件大事。)
1829年7月28日，伽羅瓦的父親去世了。伽羅瓦和他父親的關(guān)系非常親密，所以對他來說，這是生命中一次沉重的打擊。
1830年，在柯西的建議下，伽羅瓦向另一位數(shù)學(xué)巨匠——約瑟夫·傅里葉（Joseph Fourier）——提交了關(guān)于方程理論的論文。不幸的是，不久之后傅里葉就去世了，伽羅瓦的論文也丟失了。
這對伽羅瓦來說，當(dāng)然是一個挫折，但他并沒有輕言放棄。同年晚些時候，他發(fā)表了三篇論文。其中一篇概述了后來被稱為伽羅瓦理論的內(nèi)容，另一篇則首次研究了我們現(xiàn)在稱之為有限域（Finite field）的數(shù)學(xué)概念，它后來在數(shù)論領(lǐng)域非常重要。
為了了解伽羅瓦的處境和生活，我們需要了解法國當(dāng)時發(fā)生了什么。那時正值法國七月革命中期，也被稱為法國第二次革命，伽羅瓦不僅參與了這場革命，還參加了戰(zhàn)斗和辯論。他加入了街頭的暴亂，把時間都花在了數(shù)學(xué)和政治上。
在父親死后的幾年里，伽羅瓦變得越來越暴力，他被逮捕了多次。1831年1月，伽羅瓦再次試圖發(fā)表他的理論，但是偉大的數(shù)學(xué)家西莫恩·丹尼斯·泊松（Siméon Denis Poisson）認(rèn)為他的工作是“令人費(fèi)解的”。
伽羅瓦當(dāng)時在監(jiān)獄里，對泊松的拒稿非常憤怒。但不知為何，這次他很認(rèn)真地對待了批評，并開始整理自己的工作，更仔細(xì)地撰寫了自己的陳述。
伽羅瓦于1832年4月29日獲釋。不久之后，他參與了一場決斗。
關(guān)于那場著名的決斗，有許多猜測。一封伽羅瓦寫于決斗前5天的信表明他戀愛了，而這場決斗正是為了他的愛人。
在決斗的前一天晚上，伽羅瓦確信自己即將死去，他整夜未眠，寫下了后來他對數(shù)學(xué)界貢獻(xiàn)最大的一篇論文：寫給奧古斯特·謝瓦利埃（Auguste Chevalier）的那封表達(dá)自己觀點(diǎn)的著名信件，以及三份附呈的手稿。
伽羅瓦手稿的最后一頁丨圖片來源：Wikimedia Commons
數(shù)學(xué)家赫爾曼·外爾（Hermann Weyl）在談到這篇手稿時說，
“如果從這封信所包含思想的新穎性和深刻性來判斷，它也許是整個人類文獻(xiàn)中最豐富的一篇文章。”
這就是偉人名言。
1832年5月30日清晨，伽羅瓦腹部中槍，隨后被對手拋棄。
第二天早上，年僅20歲的伽羅瓦去世了。
在1843年，約瑟夫·劉維爾（Joseph Liouville）審閱了伽羅瓦的手稿，并宣布它是正確的。這篇論文最終在1846年，也就是伽羅瓦死后14年出版。
然而這個理論花了更長的時間才在數(shù)學(xué)家中流行起來，人們才真正理解它的奧妙。
事實上，劉維爾完全錯過了伽羅瓦方法的理論核心——群（Group），直到世紀(jì)之交，伽羅瓦理論才被完全理解，并被確立為抽象代數(shù)（Abstract algebra）的核心部分。這一理論花了將近一百年才成為代數(shù)課程的標(biāo)準(zhǔn)內(nèi)容。
伽羅瓦手稿中最著名的部分是證明五次多項式的求根公式不存在——也就是說，五次和高次多項式方程通常不能被根式求解。
如上所述，阿貝爾在1824年就已經(jīng)證明了根式求解的“五次公式”是不可能存在的，但是伽羅瓦進(jìn)行了更深入的理論研究，提出了現(xiàn)在的伽羅瓦理論。
這一理論可以用來確定任意的一個多項式方程是不是有根式解。
伽羅瓦是第一個創(chuàng)造“群”這個詞的人，他使用的定義（幾乎）和我們今天在不同的大學(xué)和學(xué)院使用的定義一樣。他提出了正規(guī)子群（Normal subgroup）和有限域的概念，我們稍后也將對此進(jìn)行討論。
本質(zhì)上說，伽羅瓦是現(xiàn)代群論和抽象代數(shù)領(lǐng)域的開創(chuàng)者之一。
群論是研究對稱的數(shù)學(xué)，在很多數(shù)學(xué)和物理的學(xué)科中有著廣泛的應(yīng)用。而抽象代數(shù)也被稱為“現(xiàn)代數(shù)學(xué)的語言”。
我清晰地記著，當(dāng)我在學(xué)習(xí)伽羅瓦理論的課程之前，我已經(jīng)學(xué)習(xí)過了多門抽象代數(shù)的課程，比如群論（Group Theory），環(huán)論以及理想（Ring and Ideal Theory），域論（Field Theory）和模理論（Module Theory，模是指在環(huán)上的線性空間，而不是域上的），這一切都非常的抽象。
之后我學(xué)到了伽羅瓦理論，很多之前學(xué)到的內(nèi)容，特別是群論和域論，都得到了應(yīng)用。最后，我可以使用所有的這些抽象的數(shù)學(xué)對象來證明，為什么一些特定的多項式方程沒有根式解，而且這些還不是全部的伽羅瓦理論。
這正是我認(rèn)為伽羅瓦理論美妙的原因。
伽羅瓦理論將抽象代數(shù)中兩個的子領(lǐng)域聯(lián)系起來——群論和域論。
就像之前提到的，伽羅瓦理論的誕生是由以下這個問題引出的：
對于一個五次或者更高次的多項式方程，是否存在一個公式可以通過使用多項式的系數(shù)，常用的代數(shù)運(yùn)算（加，減，乘，除）以及根式（平方根、三次方根等等）將所有的根，也就是方程的所有解表示出來？
盡管阿貝爾-魯菲尼定理（The Abel-Ruffini theorem）提供了一個反例，證明了存在多項式方程使得這樣一個表達(dá)式不存在，但是伽羅瓦的理論可以解釋為什么有些方程，包括所有四次以及更低次的方程，求根式解是可能的，以及為什么很多五次以及更高次方程是沒有根式解公式的，從而為之前的問題提供了一個更完備也更清晰的答案。
現(xiàn)代的伽羅瓦理論使用了群和域的語言，所以我將試著在避免涉及太多其他知識的同時解釋伽羅瓦理論，但為了完整性起見，我們將簡要地介紹這些數(shù)學(xué)概念。
群論是研究對稱性的。
想象一個正方形：這個正方形具有一定的對稱性——如果旋轉(zhuǎn)90度，它看起來是一樣的，旋轉(zhuǎn)180度和270度也是一樣的；當(dāng)然，如果旋轉(zhuǎn)360度后，會回到初始的狀態(tài)。
為了記錄下來，我們可以想象正方形的四個角都被標(biāo)記了，這樣我們就知道是如何變換的。
還有一種反射對稱，比如選擇一個軸，或者說一條線，穿過正方形中間，將其分割成為兩個大小相等的矩形。你可以沿這條線翻轉(zhuǎn)這個正方形，它看起來還是一樣的，但是這個變換是和旋轉(zhuǎn)不同的。
最后一種就是平凡對稱性（什么都不變）。
每一種對稱都有一種反對稱：比如，順時針旋轉(zhuǎn)90度之后再逆時針旋轉(zhuǎn)90度，兩個變換會相互抵消，最后等價于平凡對稱。
這個概念可以用代數(shù)的方法進(jìn)行推廣。
一個群G是由滿足以下條件的一個集合和一個運(yùn)算構(gòu)成：1. 對于兩個群中的元素g, h，運(yùn)算之后會得到在群中的元素g*h；2. 存在一個單位元e使得任意一個元素g與其運(yùn)算之后不變，g*e=e*g=g；3. 對于任意元素g，存在一個逆元a使得g*a=a*g=e。在以上的例子中，群中的元素正是變換本身。比如說，旋轉(zhuǎn)90度和上文提到的反射變換都是群中的元素，我們把旋轉(zhuǎn)90度記作σ，把反射變換記作τ。這個群的運(yùn)算正是變換的復(fù)合。所以我們可以得到σ*τ，也就是先沿著對稱軸做一次翻轉(zhuǎn)，再旋轉(zhuǎn)90度。但是我們可以注意到，σ*τ≠τ*σ，所以在群中，元素運(yùn)算的順序是很重要的。（譯者注：我們這里不妨假設(shè)旋轉(zhuǎn)是順時針旋轉(zhuǎn)的，并且正方形的四個角是有標(biāo)號的，這樣讀者可以通過畫圖驗證，先翻轉(zhuǎn)再旋轉(zhuǎn)的結(jié)果與先旋轉(zhuǎn)再翻轉(zhuǎn)的結(jié)果不同。）因此群的概念是一種將對稱抽象化的方式。事實上，抽象變換的群很多，我們甚至不知道如何將其中的一些群可視化。但是最簡單的群之一是大家耳熟能詳?shù)模喊姓麛?shù)的集合和加法運(yùn)算就構(gòu)成了一個群。當(dāng)我們加兩個整數(shù)時，我們會得到第三個整數(shù)（這個集合對于加法來說是穩(wěn)定的）。單位元是0，因為對任意整數(shù)k, 0+k=k+0=k，并且逆元正是-k, k+(-k)=0。所以，是一個群。但是整數(shù)集合和加法運(yùn)算的群體現(xiàn)了什么對稱性呢？答案是平移對稱性。加上一個整數(shù)k可以看成是沿著數(shù)軸平移距離k，正負(fù)代表方向。而群G的子群H，一般記作H＜G，表示是的一個子集，同時也構(gòu)成一個群。比如說，偶數(shù)的集合是整數(shù)加法群的子群，。在數(shù)學(xué)中，域是一種特殊的環(huán)。你可以認(rèn)為一個域是一個具有兩種運(yùn)算的集合，運(yùn)算通常記為加法和乘法，即+和*，這里的加法和乘法可能并不是平常使用的運(yùn)算，它們?nèi)Q于域的定義，但是你會看到為什么這個記號是有意義的。其中有一個零元，使得對于任意中元素a, a+0=0+a。并且，集合對于定義的加法+是一個群，集合\{0}對于定義的乘法*也是一個群。不僅如此，兩個運(yùn)算是滿足分配律的，a*(b+c)=a*b+a*c，其中的乘法和加法運(yùn)算是域中定義的運(yùn)算。其他眾所周知的性質(zhì)是，域中存在單位元1以及運(yùn)算的交換律，a+b=b+a, a*b=b*a。這兩個性質(zhì)可能看起來很熟悉。確實如此，因為大家熟悉的實數(shù)和復(fù)數(shù)都是域，并且滿足這些性質(zhì)。如果你了解模運(yùn)算的話，你會知道整數(shù)對任意素數(shù)p取模是一個域，（常常記作），并且是一個有限域！這是伽羅瓦的發(fā)現(xiàn)之一。所以，域是一個包含“數(shù)字”的集合，我們可以在域中以通常的規(guī)則進(jìn)行四種運(yùn)算，而且它們都有逆。（除了零元的乘法逆，因為在域中，除以零仍然是不可能的。）伽羅瓦理論關(guān)注的正是有理數(shù)域的擴(kuò)張（表示有理數(shù)，即可以表示為分子分母都為整數(shù)的分?jǐn)?shù)）以及復(fù)數(shù)域的子域，，其中只包含有限多個非有理數(shù)。我們必須向有理數(shù)域中增加至少一個非有理數(shù)來得到這樣處在中間位置的域。那這些域是什么呢？我們知道，不是有理數(shù)，因為不能將其寫成分子分母為整數(shù)的分?jǐn)?shù)。但是，我們可以將其加入到有理數(shù)中。當(dāng)然，為了得到一個域，我們還需要加入很多其他的元素，比如說-，也就是它的加法逆元。事實上，我們需要所有形式為a+b的數(shù)，其中a和b為有理數(shù)。我們稱這個集合為在中添加生成的擴(kuò)域，或者單擴(kuò)張域，記為。可以驗證的是，擴(kuò)域中每一個非零元素都有加法逆和乘法逆。更一般的，我們可以把(α) 看成是包含所有有理數(shù)以及α的最小的域。如果α是有理數(shù)，則又得到了平凡擴(kuò)張。在討論伽羅瓦理論美妙之處之前，我們還需要知道分裂域（Splitting feild）是什么。不過這是非常簡單的。考慮一個系數(shù)均為有理數(shù)的n次多項式f，我們從代數(shù)基本定理可知，n次多項式f恰好有n個復(fù)數(shù)根（根的重數(shù)計算在內(nèi)）。所以我們可以考慮包含多項式f所有根的基于的域擴(kuò)張。這個滿足條件的最小域就被稱為多項式f的分裂域，因為我們可以在這個域中把多項式f因式分解。最后一個概念是域K的自同構(gòu)（Automorphism）。這是一個巧妙的詞，用來表示在域中保持結(jié)構(gòu)的置換。如果σ是K的自同構(gòu)，則σ(x+y)=σ(x)+σ(y), σ(x+y)=σ(x)*σ(y)假設(shè)域K是域F的擴(kuò)張域，也就是說，F(xiàn)是K的子域；我們可以考慮固定域F的K上的自同構(gòu)σ，對任意域F的元素x，σ(x)=x。對于一個給定的多項式，不同的代數(shù)方程可以將不同的根聯(lián)系起來。（本文中代數(shù)方程指的是有理數(shù)系數(shù)的多項式方程。）伽羅瓦理論的主要思想就在于考慮根的置換，使得其在置換后，原本滿足的代數(shù)方程仍然是成立的。比如說，我們考慮f(x)=x2-2x-1。這個多項式的兩個根，我們記為α=1+ ，β=1-。不難看出，在兩個方程中交換α和β后，仍然成立。事實上，對于α和β的所有代數(shù)方程在變換后都是成立的。一種通俗的理解方式是：在一定意義下，有理數(shù)不能分辨1+ 和1-的差別。“和-對于有理數(shù)來說是同樣的異類?！?/span>所以，f的伽羅瓦群有兩個元素，平凡置換和交換兩個根的置換，也就是把1+變?yōu)?- ，反之亦然，并固定其他的有理數(shù)。這正是2階循環(huán)群，同構(gòu)于。（在高等數(shù)學(xué)的術(shù)語中，這表示“兩個群相同”。）以現(xiàn)代的語言，我們可以考慮f的分裂域K，并假設(shè)有相異的根，定義f的伽羅瓦群為所有可以固定有理數(shù)的K的自同構(gòu)群。我們一般記這個自同構(gòu)群為Gal(K/)，其中K/F，這個例子中F=，表示域擴(kuò)張K是基于域F的，并且自同構(gòu)可以固定域F。或者我們可以換一個說法，這個自同構(gòu)群包含所有滿足以下條件的置換：在置換作用于多項式根之后，原多項式根滿足的代數(shù)方程仍然成立。對于之前的例子，我們有這樣的同構(gòu)關(guān)系，Gal(( )/)。更一般的說，我們定義基于域F的域擴(kuò)張K的伽羅瓦群為可以固定域F的K的自同構(gòu)群。在這個命名規(guī)則下，多項式f的伽羅瓦群指的是其分裂域的伽羅瓦群。（前文提到過，分裂域指的是在基于下，多項式f所有根的域擴(kuò)張。）對于任意域K的并且可以固定域F的自同構(gòu)σ，（通常記為σ∈Aut(K/F)），任意系數(shù)在中的多項式如果有一個根α，則也有一個根是σ(α)。所以，這樣的自同構(gòu)確實將基于域F，對于α的最小多項式的根進(jìn)行了置換。另外，用類似的思路，我們可以證明，如果一個復(fù)數(shù)a+bi是實系數(shù)多項式f的一個根，則它的復(fù)共軛a-bi也是多項式f的根。這是因為存在一個自同構(gòu)，可以置換i和-i。所以，σ(a+bi)=σ(a)+σ(bi)=a+bσ(i)=a-bi。將基域設(shè)置為，伽羅瓦理論基本定理是，伽羅瓦群Gal(K/)的子群和在與K的中間域是一一對應(yīng)的。這個定理其實不僅于此，給定一個中間域，?L?K，對應(yīng)的子群H＜Gal(K/)恰好包含那些固定L的自同構(gòu)。伽羅瓦本人在當(dāng)時那個著名的手稿中就理解并研究過，考慮一個多項式f，如果f的伽羅瓦群是一個可解群（Solvable group），那么這個多項式就是根式可解的，反之則不是。當(dāng)然，我還需要告訴你，可解對于一個群來說意味著什么。考慮一個群G和其子群H, H＜G。如果以下的條件成立：對于H中的元素h，和群G中元素g和其逆元a，元素g*h*a∈H，我們稱H是G一個的正規(guī)子群。這意味著，H在群G的作用下，或者說是在群G元素的共軛作用下是不變的。更一般地說，通過正規(guī)子群H以及群G中的元素，我們可以構(gòu)造一個等價關(guān)系。這需要使用陪集（Cosets）的理論，但是我們不假設(shè)讀者熟悉這些，這不在我們這篇文章的范疇里。因此我們在這里就說，這個等價關(guān)系可以構(gòu)造一個新的群。當(dāng)我們對整數(shù)模整數(shù)n時，通過將所有n的整數(shù)倍等同于0，可以構(gòu)造循環(huán)群；此時就是上述發(fā)生的情況。其中是的正規(guī)子群，因為是一個阿貝爾群（a+b=b+a），而一個阿貝爾群的任意子群都是正規(guī)子群。你還可以用一種更抽象的方式理解，考慮任意正規(guī)子群H＜G，模運(yùn)算對應(yīng)的群記作G/H，稱作G模H。更進(jìn)一步地說，如果群G包含一個嵌套的正規(guī)子群鏈，{e}=H0＜H1＜H2＜…＜Hk=G，使得對于任意的指標(biāo)i∈{0, 1, 2,…, k-1}, Hi+1/Hi，是阿貝爾的，則我們稱群G是可解的。這也就總結(jié)出伽羅瓦理論是如何與多項式的可解性聯(lián)系起來的。我們可以找到一個有理系數(shù)多項式的例子，通過研究其對應(yīng)的伽羅瓦群來證明它不是根式可解的。例如多項式f(x)=x5-6x+3，我們可以使用平均值定理以及一些技巧來證明其對應(yīng)的伽羅瓦群是五個字母的置換群S5。這不是一個可解群，所以f不是根式可解的。伽羅瓦理論的美在于我們可以把每一個多項式和保持其根的代數(shù)信息的群聯(lián)系起來。通過研究這個群，我們可以把該代數(shù)信息轉(zhuǎn)換到多項式的世界里。我之前提到我們可以使用這個理論來證明一些非常古老的問題。作為伽羅瓦理論的副產(chǎn)品，“立方倍積”（Doubling the cube）和“化圓為方”（Squaring the circle）這兩個問題最終被證明是不可能的。它們都與之前提到的有理數(shù)域的擴(kuò)張有關(guān)。比如，化圓為方問題等價于表明π是一個有理系數(shù)多項式的根，但是這是不可能的。因為π是一個超越數(shù)，所以不在任何一個的有限代數(shù)域擴(kuò)張中。對于立方倍積也是類似的，但我們需要考慮加入2的三次方根的域擴(kuò)張的次數(shù)。如果你對這個問題感興趣的話，可以自己來試試。埃瓦里斯特·伽羅瓦毫無疑問是一流的天才。時代和環(huán)境帶給他了很多困難，他的隨意也在數(shù)學(xué)界被認(rèn)為是非常規(guī)的，并且在某種程度上，現(xiàn)在也不被接受，因為數(shù)學(xué)需要非常準(zhǔn)確和小心，避免歧義。數(shù)學(xué)家常常用“嚴(yán)密性”（ rigorousness）來形容這種要求。但是這不意味著他的理論是不正確的。伽羅瓦理論是正確并優(yōu)美的！現(xiàn)在，它被應(yīng)用在很多不同的數(shù)學(xué)領(lǐng)域，包括安德魯·懷爾斯（Andrew Wiles）對于費(fèi)馬大定理的證明以及代數(shù)數(shù)論等領(lǐng)域。使用群來表示另一個結(jié)構(gòu)的想法是絕妙的。這一思想現(xiàn)在被應(yīng)用在很多領(lǐng)域，比如在代數(shù)拓?fù)?/span>（Algebraic topology）中，我們可以研究一個群來得到拓?fù)淇臻g的信息；在代數(shù)幾何（Algebraic geometry）中，可以通過使用環(huán)論和理想理論來研究多項式的解集；橢圓曲線上的點(diǎn)構(gòu)成了一個群，等等。親愛的讀者，如果你閱讀到這里的話，我希望你喜歡這段關(guān)于伽羅瓦的旅程。請通過評論告訴我。本文譯自Kasper Müller, For the Love of Mathematics，原文地址：https://www.cantorsparadise.com/for-the-love-of-mathematics-84bf86a8ae09
