亞里士多德在三段論理論的緒論性的那一章中，將所有三段論分為完全的和不完全的兩大類。他說：“我稱之為完全的三段論的，是那些除了已經(jīng)陳述的東西之外不需要其它什么來使得必然性成為顯然的三段論；如果它還需要根據(jù)諸詞項(xiàng)的規(guī)定是必要的但未曾由前提陳述出來的一個或更多個成分，我就稱之為不完全的三段論?！?sup style="margin: 0px; padding: 0px; outline: none; font-size: 0.83333em; line-height: normal;"> [1] 這一段需要翻譯成邏輯術(shù)語。每一個亞里士多德式三段論是一個真蘊(yùn)涵式，它的前件是聯(lián)合的前提，而后件是結(jié)論。因此，亞里士多德所說的意思是，在完全的三段論中，前提和結(jié)論之間的聯(lián)系是自明的而不用外加的命題。完全的三段論是自明的語句，它不擁有也不需要證明；它們是不可能證明的（indemonstrable ?ναπ?δεικτοι [2] ）。演繹系統(tǒng)的不可證明的真語句，現(xiàn)在叫做公理。因此，完全的三段論都是三段論的公理。另一方面，不完全的三段論并不是自明的；它們必須借助于由前提所得出的，但又是與前提本身不同的一個或更多個命題來證明。
亞里士多德知道并非所有真命題都可證明 [3] 。他說，一個具有“A屬于B”形式的命題是可證明的，如果存在著一個中項(xiàng)，即一個與A和B一起構(gòu)成一個正確三段論的前提的詞項(xiàng)，而以上述“A屬于B”這個命題作為結(jié)論。如果這樣的一個中項(xiàng)并不存在，這個命題就叫做“直接的”（?μεσο?），也就是說，沒有一個中項(xiàng)。直接命題是不能證明的，它們是基本真理（basic truths,?ρχα?） [4] 見于《后分析篇》的這些陳述，還可以用《前分析篇》的一段加以補(bǔ)充。它說：每一個證明與每一個三段論必須借助于三段論的三個格來構(gòu)成。 [5]
亞里士多德的這個證明理論有一個根本的破綻：它假定所有問題都能用四種三段論的前提來表達(dá)，從而直言三段論就是唯一的證明工具。亞里士多德并沒有意識到他自己的三段論理論就是反對這個設(shè)想的一個實(shí)例。三段論的各個式，作為蘊(yùn)涵式，都是與三段論前提不同的另一類命題，然而它們都是真的命題，而且如果它們的任何一個不是自明的和不可證明的，它就需要一個證明來建立它的真理性。這個證明，無論如何不能由直言三段論來作，因?yàn)橐粋€蘊(yùn)涵式既沒有主項(xiàng)也沒有謂項(xiàng)。而在不存在的端項(xiàng)之間來尋求中項(xiàng)當(dāng)然是無濟(jì)于事的。這也許是亞里士多德在其三段論的格的學(xué)說中使用一套特別的術(shù)語的下意識的原因。他不說“公理”或“基本真理”而說“完全的三段論”，也不說“論證”或“證明”不完全的三段論，而說把它們“化歸”（reduces,?ν?γει或?ναλ?ε落為完全的。這套不適當(dāng)?shù)男g(shù)語的影響至今還存在。凱因斯在他的《形式邏輯》一書中為此花了一整節(jié)的篇幅，題為“化歸法是三段論學(xué)說的本質(zhì)部分嗎？”并且得出結(jié)論：“就建立不同的式的正確性而言，化歸法并不是三段論學(xué)說的一個必要的部分。” [6] 這個結(jié)論不能用于亞里士多德的三段論理論，因?yàn)檫@個理論是一個公理化的演繹系統(tǒng)，而其它三段論的式化歸為第一格的式，這也就是用公理證明它們?yōu)槎ɡ?，乃是這個系統(tǒng)的一個不可缺少的部分。
亞里士多德承認(rèn)第一格的各式即Barbara，Celarent，Darii和Ferio為完全三段論。 [7] 而在他的系統(tǒng)闡述的最后一章，他又將第三和第四式化歸為頭兩個式，從而將最清楚明白的三段論Barbara和Celarent作為他的理論的公理。 [8] 這個細(xì)節(jié)是不無興趣的?，F(xiàn)代形式邏輯傾向于將一個演繹理論中的公理的數(shù)目簡化到最少限度，而這個傾向在亞里士多德的著作中有了它的最初的表現(xiàn)。
當(dāng)亞里士多德說只有兩個三段論需要作為公理來建立其全部三段論理論時，他是對的。然而，他忽略了他把不完全的式化歸為完全的式時所用的換位律（law of conversion），也屬于他的理論而且不能由三段論加以證明。在《前分析篇》中提到三條換位律：E前提、A前提和I前提的換位。亞里士多德證明這些定律中的第一條時，使用他所謂的顯示法（ecthesis），我們隨后即將看到，它需要一個在三段論范圍之外的邏輯過程。因?yàn)樗荒苡脛e的方法加以證明，它必須被陳述為這個系統(tǒng)的一個新的公理。A前提的換位是由一條屬于邏輯方陣的斷定命題來證明的，而它在《前分析篇》中并未提到，因此，我們必須把這條換位定律或者這條定律由之產(chǎn)生的邏輯方陣的斷定命題承認(rèn)為第四個公理，只有I前提的換位定律能夠不用新的公理而加以證明。
還有兩個斷定命題必須加以考慮，盡管它們之中的任何一個均不曾為亞里士多德明白陳述，這就是同一律：“A屬于所有的A”及“A屬于有些A?！钡谝粭l定律是獨(dú)立于所有其它三段論的斷定命題的。如果在這個系統(tǒng)中我們需要有這條定律，我們必須在公理的意義上承認(rèn)它。第二條同一律能從第一條推導(dǎo)出來。
現(xiàn)代形式邏輯在一個演繹系統(tǒng)中不僅區(qū)分原始的和導(dǎo)出的命題，而且也區(qū)分原始的和定義的詞項(xiàng)。亞里士多德三段論系統(tǒng)的常項(xiàng)是四種關(guān)系：“屬于所有的”或A，“屬于無一的”或E，“屬于有些”或I，以及“不屬于有些”或O。其中的兩個可由另外的兩個用命題否定的辦法定義如下：“A不屬于有些B”與“A屬于所有B并非真的”意思是一樣的，而“A屬于無一B”與“A屬于有些B并非真的”意思是一樣的。同樣地，A能由O定義，I能由E定義。亞里士多德并沒有把這些定義引進(jìn)它的系統(tǒng)，但他直觀地使用它們作為他的證明的論據(jù)。讓我們引用I前提換位的證明作為唯一的例子。它說：“如果A屬于有些B，那么B必屬于有些A。因?yàn)槿绻鸅應(yīng)屬于無一A，A就屬于無一B。” [9] 很明顯，在這個間接證明中，亞里士多德把“B屬于有些A”的否定看作與“B屬于無一A”等價。至于對另一對，A與O，亞歷山大明白地說，短語“不屬于有些”與“不屬于所有”僅僅字面不同，而有等價的意義。 [10]
如果我們認(rèn)定關(guān)系A(chǔ)與I為此系統(tǒng)的原始詞項(xiàng)，用它們來定義E與O，那么，如我多年前曾說過的， [11] 我們可以在以下四條公理之上建立亞里士多德的全部三段論理論：
1. A屬于所有的A。
2. A屬于有些A。
3. 如果A屬于所有B并且B屬于所有C，那么A屬于所有C。（Barbara）
4. 如果A屬于所有B并且C屬于有些B，那么A屬于有些C。（Datisi）
要減少這些公理的數(shù)目是不可能的了。特別是，它們不能由所謂“全和零原則”（dictum de omni et nullo，嚴(yán)復(fù)舊譯為“曲全公論”——譯者注）推導(dǎo)出來。這條原則在不同的邏輯教科書中表述為不同的公式，并且總是非常含混的。古典公式：“quidquid de omnibus valet，valet etiam de quibusdam et de singulis”與“quidquid de nullo valet，nec de quibusdam nec de singulis valet”。（“凡對于一類事物的全部所肯定或否定的，對于這一類的某一個與每一個也是可以肯定或否定的。”）在嚴(yán)格的意義下，不能應(yīng)用于亞里士多德邏輯，因?yàn)閱我辉~項(xiàng)與單稱命題并不包括在這個系統(tǒng)中。此外，即使它能夠推出什么東西來，我也看不出怎樣能從這原則推出同一律和Datisi式。何況，很明顯，它并非一個單獨(dú)的原則而是兩個。必須強(qiáng)調(diào)指出，亞里士多德對于這個隱晦的原則是沒有責(zé)任的。像凱因斯那樣斷定說“全和零原則”是亞里士多德作為公理提出，所有三段論推論均以它為基礎(chǔ)， [12] 這是不真實(shí)的。在《前分析篇》中它沒有在任何地方作為一個三段論的原則而被陳述。有時關(guān)于這個原則作為公式而引用，不過是對于“表述所有的”以及“表述無一的”諸詞的一個解釋而已。 [13]
如果“原則”的意思與“公理”一樣，那么在亞里士多德邏輯中尋找這樣一條原則是一個徒勞的企圖。如果它有另外的意義，我就根本不懂這個問題了。邁爾曾為這個題目在他的書中寫了隱晦的另外一章。 [14] 他講了一大串哲學(xué)的玄想，而它們本身既無根據(jù)，也不能從《前分析篇》本文中找到根據(jù)。從邏輯觀點(diǎn)看，它們是無用的。（盧卡西維茨）
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