1. 學習完全平方數(shù)的性質(zhì)；
2. 整理完全平方數(shù)的一些推論及推論過程
3. 掌握完全平方數(shù)的綜合運用。
一、完全平方數(shù)常用性質(zhì)
1.主要性質(zhì)
1.完全平方數(shù)的尾數(shù)只能是0，1，4，5，6，9。不可能是2，3，7，8。
2.在兩個連續(xù)正整數(shù)的平方數(shù)之間不存在完全平方數(shù)。
3.完全平方數(shù)的約數(shù)個數(shù)是奇數(shù)，約數(shù)的個數(shù)為奇數(shù)的自然數(shù)是完全平方數(shù)。
4.若質(zhì)數(shù)p整除完全平方數(shù)，則p能被
整除。
2.性質(zhì)
性質(zhì)1：完全平方數(shù)的末位數(shù)字只可能是0，1，4，5，6，9．
性質(zhì)2：完全平方數(shù)被3，4，5，8，16除的余數(shù)一定是完全平方數(shù)．
性質(zhì)3：自然數(shù)N為完全平方數(shù)自然數(shù)N約數(shù)的個數(shù)為奇數(shù)．因為完全平方數(shù)的質(zhì)因數(shù)分解中每個質(zhì)因數(shù)出現(xiàn)的次數(shù)都是偶數(shù)次，所以，如果p是質(zhì)數(shù)，n是自然數(shù)，N是完全平方數(shù)，且，則．
性質(zhì)4：完全平方數(shù)的個位是6它的十位是奇數(shù)．
性質(zhì)5：如果一個完全平方數(shù)的個位是0，則它后面連續(xù)的0的個數(shù)一定是偶數(shù)．如果一個完全平方數(shù)的個位是5，則其十位一定是2，且其百位一定是0，2，6中的一個．
性質(zhì)6：如果一個自然數(shù)介于兩個連續(xù)的完全平方數(shù)之間，則它不是完全平方數(shù)．
3.一些重要的推論
1.任何偶數(shù)的平方一定能被4整除；任何奇數(shù)的平方被4（或8）除余1.即被4除余2或3的數(shù)一定不是完全平方數(shù)。
2.一個完全平方數(shù)被3除的余數(shù)是0或1.即被3除余2的數(shù)一定不是完全平方數(shù)。
3.自然數(shù)的平方末兩位只有：00，01，21，41，61，81，04，24，44，64，84，25，09，29，49，69，89，16，36，56，76，96。
4.完全平方數(shù)個位數(shù)字是奇數(shù)（1，5，9）時，其十位上的數(shù)字必為偶數(shù)。
5.完全平方數(shù)個位數(shù)字是偶數(shù)（0，4）時，其十位上的數(shù)字必為偶數(shù)。
6.完全平方數(shù)的個位數(shù)字為6時，其十位數(shù)字必為奇數(shù)。
7.凡個位數(shù)字是5但末兩位數(shù)字不是25的自然數(shù)不是完全平方數(shù)；末尾只有奇數(shù)個“0”的自然數(shù)不是完全平方數(shù)；個位數(shù)字為1，4，9而十位數(shù)字為奇數(shù)的自然數(shù)不是完全平方數(shù)。
3.重點公式回顧：平方差公式：
模塊一、完全平方數(shù)計算及判斷
【例 1】 已知：1234567654321×49是一個完全平方數(shù)，求它是誰的平方?
【例 2】 是 的平方．
【例 3】 已知自然數(shù)滿足：除以得到一個完全平方數(shù)，則的最小值是 。
【例 4】 有一個正整數(shù)的平方，它的最后三位數(shù)字相同但不為0，試求滿足上述條件的最小的正整數(shù)．
【例 5】 A是由2002個“4”組成的多位數(shù)，即，A是不是某個自然數(shù)B的平方？如果是，寫出B；如果不是，請說明理由．
【鞏固】 是由2008個“4”組成的多位數(shù)，即，是不是某個自然數(shù)的平方？如果是，寫出；如果不是，請說明理由．
【例 6】 計算－=A×A，求A．
【例 7】 ①，求A為多少?
②求是否存在一個完全平方數(shù)，它的數(shù)字和為2005？
模塊二、平方數(shù)特征
（1） 平方數(shù)的尾數(shù)特征
【例 8】 下面是一個算式：，這個算式的得數(shù)能否是某個數(shù)的平方？
【例 9】 一個數(shù)與它自身的乘積稱為這個數(shù)的平方．各位數(shù)字互不相同且各位數(shù)字的平方和等于49的四位數(shù)共有________個．
【例 10】 用1～9這9個數(shù)字各一次，組成一個兩位完全平方數(shù)，一個三位完全平方數(shù)，一個四位完全平方數(shù)．那么，其中的四位完全平方數(shù)最小是 ．
【例 11】 稱能表示成1+2+3+…+K的形式的自然數(shù)為三角數(shù)，有一個四位數(shù)N，它既是三角數(shù)，又是完全平方數(shù)，N= 。
（2） 奇數(shù)個約數(shù)——指數(shù)是偶數(shù)
【例 12】 在，，，，，……等這些算是中，4，9，16，25，36，……叫做完全平方數(shù)。那么，不超過2007的最大的完全平方數(shù)是_________。
【例 13】 寫出從360到630的自然數(shù)中有奇數(shù)個約數(shù)的數(shù)．
【例 14】 1016與正整數(shù)a的乘積是一個完全平方數(shù)，則a的最小值是________．
【鞏固】 已知恰是自然數(shù)b的平方數(shù)，a的最小值是 。
【例 15】 從1到2008的所有自然數(shù)中，乘以72后是完全平方數(shù)的數(shù)共有多少個？
【例 16】 已知自然數(shù)滿足：除以得到一個完全平方數(shù)，則的最小值是 。
【例 17】 有5個連續(xù)自然數(shù)，它們的和為一個平方數(shù)，中間三數(shù)的和為立方數(shù)，則這五個數(shù)中最小數(shù)的最小值為 ．
【例 18】 求一個最小的自然數(shù)，它乘以2后是完全平方數(shù)，乘以3后是完全立方數(shù)，乘以5后是5次方數(shù)．
【例 19】 三個連續(xù)正整數(shù)，中間一個是完全平方數(shù)，將這樣的三個連續(xù)正整數(shù)的積稱為“美妙數(shù)”．問：所有小于2008的美妙數(shù)的最大公約數(shù)是多少？
【例 20】 考慮下列32個數(shù)：，，，……，，請你去掉其中的一個數(shù)，使得其余各數(shù)的乘積為一個完全平方數(shù)，劃去的那個數(shù)是 ．
【例 21】 一個數(shù)的完全平方有39個約數(shù)，求該數(shù)的約數(shù)個數(shù)是多少？
【例 22】 有一個不等于0的自然數(shù)，它的是一個立方數(shù)，它的是一個平方數(shù)，則這個數(shù)最小是 ．
（3） 平方數(shù)的整除特性
【例 23】 三個連續(xù)正整數(shù)，中間一個是完全平方數(shù)，將這樣的三個連續(xù)正整數(shù)的積稱為“美妙數(shù)”。問所有的小于2008的“美妙數(shù)”的最大公約數(shù)是多少？
【例 24】 證明：形如11，111，1111，11111，…的數(shù)中沒有完全平方數(shù)。
【例 25】 記，這里．當k在1至100之間取正整數(shù)值時，有 個不同的k，使得S是一個正整數(shù)的平方．
【例 26】 能夠找到這樣的四個正整數(shù)，使得它們中任意兩個數(shù)的積與的和都是完全平方數(shù)嗎？若能夠，請舉出一例；若不能夠，請說明理由．
【例 27】 的末三位數(shù)是多少？
【例 28】 求所有的質(zhì)數(shù)P，使得與也是質(zhì)數(shù)．
【例 29】 古時候有兩位販賣家畜的商人把他們共有一群牛賣掉，每頭牛買得的錢數(shù)正好等于牛的頭數(shù)。他們把所得的錢買回了一群羊，每只羊10文錢，錢的零頭又買了一只小羊。他們平分了這些羊，結(jié)果第一個人多得了一只大羊，第二人得到了那只小羊。為了公平，第一個人應(yīng)補給第二個人____文錢。
聯(lián)系客服
