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菱形證明是很多同學(xué)的易錯點(diǎn)，經(jīng)常有同學(xué)喜歡證四條邊相等，但這不是我推薦的，我們還是應(yīng)該從平行四邊形出發(fā)，借助對角線垂直，或鄰邊相等來證．當(dāng)題目中出現(xiàn)翻折，或者有角平分線時，別忘了基本模型，平行＋角平分，構(gòu)造等腰．

1、如圖，在平行四邊形ABCD中，∠BAD的平分線交BC于點(diǎn)E，∠ABC的平分線交AD于點(diǎn)F．

求證：四邊形ABEF是菱形．

分析：

本題少部分同學(xué)又想用四邊相等來證，但BE＝EF是無法證明的，利用平行加角平分，構(gòu)造兩個等腰三角形ABE，BAF，即可證明AB＝BE＝AF，從而得對邊相等．

解答：

證明：

∵AE平分∠BAD，∴∠BAE＝∠FAE

∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC

∴∠BEA＝∠FAE

∴∠BEA＝∠BAE，AB＝BE

同理，AB＝AF，∴AF＝BE

又∵AF∥BE，∴四邊形ABEF是平行四邊形

∵AB＝BE，∴平行四邊形ABEF是菱形

2、把一張矩形紙片ABCD按如圖方式折疊，使頂點(diǎn) B和 D重合，點(diǎn) A到點(diǎn)A1，折痕為 EF． 連接BE，求證：四邊形 BFDE是菱形

分析：

本題很多同學(xué)證明十分繁瑣，有證△A1DE≌△CDF的，有證△A1DE≌△ABE的，但用到了∠AEB＝∠A1ED，這里是否是對頂角還需證明，最簡單的方法，還是那熟悉的基本模型．

解答：

證明：

∵AD∥BC，∴∠1＝∠2，

由折疊知，∠2＝∠3，BF＝DF，

∴∠1＝∠3，∴ED＝DF，

又∵ED∥BF，

∴四邊形EBFD是平行四邊形，

∵BF＝DF，∴平行四邊形EBFD是菱形．

變式：如圖，在矩形ABCD中，E是AD上一點(diǎn)，PQ垂直平分BE，分別交AD，BE，BC于點(diǎn)P，O，Q，連接BP，EQ．求證四邊形BPEQ是菱形．

解答：

證明：

∵PQ垂直平分BE，

∴QB＝QE，OB＝OE，

∵四邊形ABCD是矩形，

∴AD∥BC，

∴∠PEO＝∠QBO，

在△BOQ與△EOP中，

∠PEO＝∠QBO，

OB＝OE，

∠POE＝∠QOB．

∴△BOQ≌△EOP(ASA)，

∴PE＝QB，

又∵AD∥BC，

∴四邊形BPEQ是平行四邊形，

又∵QB＝QE，

∴四邊形BPEQ是菱形．

兩解問題在幾何中，常見于動點(diǎn)問題，不給圖的圖形位置不確定問題．在代數(shù)中，常見于出現(xiàn)正負(fù)解均符合題意的情況．

3、如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝4，BC＝12，E是BC的中點(diǎn)．點(diǎn)P以每秒1個單位長度的速度從點(diǎn)A出發(fā)，沿AD向點(diǎn)D運(yùn)動；點(diǎn)Q同時以每秒2個單位長度的速度從點(diǎn)C出發(fā)，沿CB向點(diǎn)B運(yùn)動．點(diǎn)P停止運(yùn)動時，點(diǎn)Q也隨之停止運(yùn)動．當(dāng)運(yùn)動時間 _________ 秒時，以點(diǎn)P，Q，E，D為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形．

分析：

這是動點(diǎn)問題與平行四邊形存在性問題的結(jié)合型，對邊已經(jīng)平行，只需滿足對邊相等即可．注意點(diǎn)E為臨界點(diǎn)，點(diǎn)Q可以在CE上，也可以在EB上．

解答：

4、在平行四邊形ABCD中，AD＝11，∠A、∠D的角平分線分別交BC于E、F，EF＝3，則AB＝__________．  

分析：

本題是典型的易錯題，極易漏解，我們應(yīng)該想到，AE，DF必然相交，且夾角為90°，但交點(diǎn)可以在平行四邊形內(nèi)，也可在形外，故而要分類討論．同時，這里面隱藏著一個常見的基本模型，平行＋角平分，構(gòu)造等腰，△ABE和△FCD是等腰三角形．

解答：

如圖，當(dāng)AE，DF交于形內(nèi)，BE＋CF－EF＝11，2BE－3＝11，BE＝7，AB＝7

如圖，當(dāng)AE，DF交于形外，BE＋CF＋EF＝11，2BE＋3＝11，BE＝4，AB＝4

5、以正方形ABCD的一邊CD為邊，作等邊△CDE，則∠AEB＝_______°

分析：

：本題無圖，需自己畫圖，自然要想到△CDE可以在正方形內(nèi)，也可能在形外．

解答：

當(dāng)點(diǎn)E在正方形ABCD外側(cè)時，

∠CDE＝60°，

∴∠ADE＝150°，

∵AD＝DE，

∴∠DAE＝∠DEA＝15°，

同理可知∠CEB＝15°，

故∠ADE＝30°；

當(dāng)點(diǎn)E在正方形ABCD內(nèi)側(cè)時，  

∵AD＝DE＝EC＝DC＝BC，

∵∠DEC＝∠EDC＝60°，

∠ADE＝∠BCE＝30°，

∴∠DAE＝∠DEA＝75°，

∴∠EAB＝15°，

同理可得∠EBA＝15°，

∴∠AEB＝150°．

綜上∠AEB＝30°或150°．

變式：

變式：以正方形ABCD的一邊CD為邊，作等邊△CDE，則∠AEC＝_______°，∠AED＝_______°

解答：

∠AEC＝45°或135°，∠AED＝15°或75°

分析：

解答：

解答：

6

概念不清會導(dǎo)致很多同學(xué)的選擇，填空出現(xiàn)錯誤，如平行四邊形，矩形，菱形，正方形的判定，中點(diǎn)四邊形，中心對稱圖形的概念等．

7、若順次連結(jié)四邊形各邊中點(diǎn)所得四邊形是矩形，則四邊形必定是（      ）．

A．菱形

B．對角線相互垂直的四邊形

C．正方形

D．對角線相等的四邊形

分析：

本題很多同學(xué)錯選A，中點(diǎn)四邊形的形狀取決于原四邊形的對角線．很多同學(xué)記得，

順次連接矩形四邊中點(diǎn)所得的四邊形是菱形，順次連接菱形四邊中點(diǎn)所得的四邊形是矩形．

但反之，順次連接四邊形四邊中點(diǎn)所得的四邊形是菱形，原四邊形對角線相等．

順次連接四邊形四邊中點(diǎn)所得的四邊形是菱形，原四邊形對角線互相垂直．

解答：

B

8、下列四個命題：①一組對邊平行且一組對角相等的四邊形是平行四邊形；②對角線互相垂直且相等的四邊形是正方形；③順次連接矩形四邊中點(diǎn)得到的四邊形是菱形；④正五邊形既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形．其中真命題共有(      )．

A．1個          B．2個          C． 3個          D．4個

分析：

幾何中的概念是很多同學(xué)的弱點(diǎn)，比如平行四邊形的判定，除了課本所寫的四種，其他的判定，基本可以從中心對稱角度來考慮，或者連對角線，能否證明全等，一般反例會出現(xiàn)SSA．

對于中心對稱圖形，有些同學(xué)還是會和軸對稱圖形混淆，前者是旋轉(zhuǎn)180°與自身重合，后者是對稱軸兩旁的部分翻折重合．

解答：

①項(xiàng)，一組對邊平行，且一組對角相等，則可以判定另外一組對邊也平行，所以該四邊形是平行四邊形．故①項(xiàng)為真命題．

②項(xiàng)，根據(jù)正方形的判定定理可知，對角線互相垂直且相等的平行四邊形是正方形．故②項(xiàng)為假命題．

③項(xiàng)，順次連接矩形四邊中點(diǎn)，根據(jù)“四邊相等得到的四邊形是菱形”可證得到的四邊形是菱形．故③項(xiàng)為真命題．

④項(xiàng)，正五邊形是軸對稱圖形，但不是中心對稱圖形．故④項(xiàng)為假命題．

B

9、如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，點(diǎn)P是AB上的任意一點(diǎn)，作PD⊥AC于點(diǎn)D，PE⊥CB于點(diǎn)E，連結(jié)DE，則DE的最小值為______．

分析：

本題中，DE是矩形的一條對角線，要聯(lián)想到矩形的對角線相等，自然聯(lián)想到連接CP，問題即轉(zhuǎn)化為求CP的最小值．

解答：

在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，

∴AB＝10，

連接CP，

∵PD⊥AC，PE⊥CB，

∴∠DCE＝∠PEC＝90°，

四邊形DPEC是矩形，

∴DE＝CP，

根據(jù)垂線段最短可知，當(dāng)CP⊥AB時， CP最小，

利用面積法，

∴DE＝CP＝6×8÷10＝4.8

變式：如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8， P為邊BC上一動點(diǎn)，PE⊥AB于E， PF⊥AC于F，M為EF中點(diǎn)，則AM的的最小值是______．

解答：

2.4

計(jì)算題雖然不是難題，卻是很多粗心同學(xué)的失分環(huán)節(jié)．如先因式分解，能約分的不約分，導(dǎo)致最簡公分母更復(fù)雜．帶負(fù)號的整式的混合運(yùn)算中，通分涉及變號．還有約分時，互為相反數(shù)的項(xiàng)，消去時要添負(fù)號，會忘掉．再有如加減時，還有同學(xué)與解方程去分母混淆．

分析：

本題中，第一項(xiàng)分子分母因式分解后可以先約分，最后是2，有同學(xué)不通分了．

解答：

分析：

本題中，－x＋1這個整式作為整體，前面是符號，添上括號時要變號．最后約分時，對于平方項(xiàng)的分母，可以換成相反數(shù)的平方，結(jié)果不變．

解答：