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　一、求方程(組)的解及解的取值范圍

　　例1若x²＋2x＋y²－6y＋10＝0，x，y為實數．求x，y(原初中代數第四冊第207頁3(2)題)

　　解：將方程看成是關于x的一元二次方程，由于x，y為實數．

　　∴Δ＝2²－4(y²－6y＋10)＝－4(y－3)²≥0．

　　即(y－3)²≤0，于是y＝3，進而得x＝－1．

　　例2已知a，b，c為實數，滿足a＋b＋c＝0，abc＝8，求c的取值范圍．(第一屆“希望杯”全國數學競賽題)

例3已知實數x，y，z滿足x＝6－y，z²＝xy－9，求x，y的值．

　　證明：∵x+y＝6，xy=z²+9則x，y是一元二次方程a²－6a＋z²＋9＝0的兩個實數根，

　　則有Δ＝36－4(z²＋9)＝－4z²≥0，即z²≤0．

　　因z為實數，∴z＝0，從而Δ＝0，

　　故上述關于a的方程有相等實根，即x＝y＝3．

　　二、判斷三角形形狀

　　例4若三角形的三邊a，b，c滿足a(a－b)＋b(b－c)＋c(c－a)＝0．試判斷三角形形狀．

三、求某些字母的值．

　　例5 k為何值時，(x＋1)(x＋3)(x＋5)(x＋7)＋k是一完全平方式．

　　解：原式＝(x²＋8x＋7)(x²＋8x＋7＋8)＋k

　?。?x²＋8x＋7)²＋8(x²＋8x＋7)＋k

　　令(x²＋8x＋7)²＋8(x²＋8x＋7)＋k＝0，因原式是完全平方式，則其根的判別式，

　　Δ＝8²－4k＝0，即k＝16．

　　例6如果x²－y²＋mx＋5y－6能分解成兩個一次因式的積，試求m的值．

例7 a為有理數，問：b為何值時，方程x²－4ax＋4x＋3a²－2a＋4b＝0的根是有理數．

　四、證明不等式

五、求函數的最大值最小值

　六、證明實數存在性問題

七、在平面幾何中的應用