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黃岡中學中考數(shù)學知識點考點公式定理詳解

1，三角形：理解三角形三邊的關系及三角形的主要線段（中線、高線、角平分線）和三角形的內(nèi)角和定理。關鍵是正確理解有關概念，學會概念和定理的運用。應用方程知識求解幾何題是這部分知識常用的方法。

2，全等三角形：掌握用三角形全等的判定定理來解決有關的證明和計算問題，靈活運用三角形全等的三個判定定理來證明三角形全等。

3，等腰三角形：靈活運用等腰（等邊）三角形的判定定理與性質(zhì)定理，以及底邊上的高、中線、頂角的平分線三線合一的性質(zhì)進行有關的證明和計算。

4，直角三角形、勾股定理、面積了解直角三角形的判定與性質(zhì)，理解直角角形的邊角關系，掌握用勾股定理解某些簡單的實際問題。它的有關性質(zhì)廣泛應用于線段計算、證明線段倍分關系、證明線段平方關系及與面積有關的問題等方面。

5，角平分線、垂直平分線了解角平分線、垂直平分線的有關性質(zhì)和定理，并能解決一些實際問題。

6.平行四邊形理解并掌握平行四邊形的判定和性質(zhì)

7.矩形、菱形理解并掌握矩形的判定與性質(zhì)，并能利用所學知識解決有關問題。

8.正方形理解正方形的性質(zhì)和判定，并能利用它進行有關的證明和計算。

9.梯形掌握梯形、直角梯形、等腰梯形的判定和性質(zhì)，并能熟練解決實際問題。

10.三角形、梯形的中位線掌握三角形、梯形的中位線定理，并會用它們進行有關的論證和計算。

11.銳角三角函數(shù)本節(jié)知識的考查一般以填空題和選擇題的形式出現(xiàn)，主要考查銳角三角函數(shù)的意義，即運用sin 、cos、tan、cot準確表示出直角三角形中兩邊的比（ 為銳角），考查銳角三角函數(shù)的增減性，特殊角的三角函數(shù)值

12.解直角三角形本節(jié)知識主要考查解直角三角形的四種類型，以及構造直角三角形解非直角三角形的有關問題。

13. 三角函數(shù)的綜合運用本課時主要是解直角三角形的應用，涉及到的內(nèi)容包括航空、航海、工程、測量等領域。要求能靈活地運用解直角三角形的有關知識，解決這些實際問題。熟悉仰角、俯角、坡度、方位角等概念，常用的方法是通過數(shù)形結合、建立解直角三角形的數(shù)學模型。

14.比例線段本節(jié)知識在歷年中考的考題中，主要涉及用比例的性質(zhì)、平行線分線段成比例定理。由于比例的性質(zhì)在應用時有其限制條件，一些中考題又以此為背景設計分類求解題。

15.相似三角形（一）本節(jié)知識包括相似三角形的判定定理、三角形相似的判定及應用，這是中考必考內(nèi)容。掌握好相似三角形的基礎知識尤為重要。

16.相似三角形（二）本節(jié)知識主要包括相似三角形、相似多邊形的性質(zhì)及應用

17.相似形的綜合運用（一）會綜合運用相似三角形的有關概念、定理解答有關問題。另外，直角三角形被斜邊上的高分成的兩個直角三角形與原三角形相似的性質(zhì)運用，是近幾年中考的熱點題型。

18.相似形的綜合運用（二）本節(jié)知識包括綜合運用三角形相似的性質(zhì)與判定定理，這是中考的必考內(nèi)容，另外，以相似三角形為背景的綜合題是常見的熱點題型。

19.圓的有關概念和性質(zhì)1、理解圓的定義，掌握點與圓的位置關系；

   2、理解弦弧、半圓優(yōu)弧、同心圓等圓、等弧弓形、圓心角圓周角等與圓有關的概念；

   3、掌握圓心角弧、弦弦心距之間的關系，并會運用這些關系解決一些幾何證明題和計算題。

20.垂徑定理1、垂徑定理及其推論是指：一條直線①過圓心；②垂直于一條弦；③平分這條弦；④平分弦所對的劣弧；⑤平分弦所對的優(yōu)弧。這五個條件只須知道兩個，即可得出另三個（平分弦時，直徑除外），要求理解掌握。

     2、掌握垂徑定理在圓的有關計算和證明中的廣泛應用。

21.切線的判定與性質(zhì) 1、掌握切線的判定及其性質(zhì)的綜合運用，在涉及切線問題時，常連結過切點的半徑，切線的判定常用以下兩種方法：一是連半徑證垂直，二是作垂線證半徑。

     2、掌握切線長定理的靈活運用，掌握三角形和多邊形的內(nèi)切圓，三角形的內(nèi)心。

22.與圓有關的角1、掌握與圓有關的角，如圓心角、圓周角、弦切角等概念；

     2、掌握圓心角的度數(shù)等于它所對弧的度數(shù)；

     3、掌握圓周角定理及其推論；

     4、掌握弦切角定理及其推論；

     5、掌握各角之間的轉化及其綜合運用。

23.圓中成比例的線段1、相交弦定理、切割線定理、割線定理是圓中成比例線段的重要的結論，是解決有關圓中比例線段問題的有力工具。

     2、掌握和圓有關的比例線段的綜合運用，主要是用于計算線段的長。

24.圓與圓（一）

   1、掌握圓與圓的五種位置關系與兩圓的半徑、圓心距之間的關系，掌握圓與圓的位置關系的三種判定方法。

2、掌握相交兩圓的連心線垂直平分兩圓的公共弦，相切兩圓的連心線必過切點等性質(zhì)。25.圓與圓（二）

1、掌握兩圓的內(nèi)外公切線長的性質(zhì)和求切線長的方法（轉化為解直角三角形）。

2、掌握有關兩圓的內(nèi)、外公切線的基本圖形，以及這類問題添加輔助線的方法，會結合圓的切線的性質(zhì)解決有關兩圓公切線的問題。

26.正多邊形和圓

    1、掌握正多邊形的邊長、半徑、中心角、邊心距、周長、面積等的計算；

2、掌握圓周長、弧長的計算公式，能靈活運用它們來計算組合圖形的周長；

3、掌握圓、扇形、弓形的面積計算方法，會通過割補、等積變換求組合圖形的面積；

4、掌握圓柱、圓錐的側面展開圖的有關計算。

 

1.三角形

考點：

理解三角形三邊的關系及三角形的主要線段（中線、高線、角平分線）和三角形的內(nèi)角和定理。關鍵是正確理解有關概念，學會概念和定理的運用。應用方程知識求解幾何題是這部分知識常用的方法。

精典例題：

【例1】已知一個三角形中兩條邊的長分別是a 、b ，且a>b ，那么這個三角形的周長 的取值范圍是（    ）

A、3a>L>3b                      B、 2(a+b)>L>2a

C、2a+b>L>2b+a                  D、 3a-b>L>a+2b

分析：涉及構成三角形三邊關系問題時，一定要同時考慮第三邊大于兩邊之差且小于兩邊之和。

答案：B

變式與思考：在△ABC中，AC＝5，中線AD＝7，則AB邊的取值范圍是（    ）

A、1＜AB＜29      B、4＜AB＜24      C、5＜AB＜19      D、9＜AB＜19

評注：在解三角形的有關中線問題時，如果不能直接求解，則常將中線延長一倍，借助全等三角形知識求解，這也是一種常見的作輔助線的方法。

【例2】如圖，已知△ABC中，∠ABC＝45⁰，∠ACB＝61⁰，延長BC至E，使CE＝AC，延長CB至D，使DB＝AB，求∠DAE的度數(shù)。

分析：用三角形內(nèi)角和定理和外角定理，等腰三角形性質(zhì)，求出∠D＋∠E的度數(shù)，即可求得∠DAE的度數(shù)。

略解：∵AB＝DB，AC＝CE

      ∴∠D＝ ∠ABC，∠E＝ ∠ACB                                  

      ∴∠D＋∠E＝ （∠ABC＋∠ACB）＝53⁰                             

      ∴∠DAE＝180⁰－（∠D＋∠E）＝127⁰

探索與創(chuàng)新：

【問題一】如圖，已知點A在直線 外，點B、C在直線 上。

（1）點P是△ABC內(nèi)任一點，求證：∠P＞∠A；

（2）試判斷在△ABC外，又和點A在直線 的同側，是否存在一點Q，使∠BQC＞∠A，并證明你的結論。

 

    分析與結論：

（1）連結AP，易證明∠P＞∠A；

（2）存在，怎樣的角與∠A相等呢？利用同弧上的圓周角相等，可考慮構造△ABC的外接⊙O，易知弦BC所對且頂點在弧A B，和弧A C上的圓周角都與∠A相等，因此點Q應在弓形A B和A C內(nèi)，利用圓的有關性質(zhì)易證明（證明略）。

【問題二】如圖，已知P是等邊△ABC的BC邊上任意一點，過P點分別作AB、AC的垂線PE、PD，垂足為E、D。問：△AED的周長與四邊形EBCD的周長之間的關系？

分析與結論：

（1）DE是△AED與四邊形EBCD的公共邊，只須證明AD＋AE＝BE＋BC＋CD

（2）既有等邊三角形的條件，就有60⁰的角可以利用；又有垂線，可造成含30⁰角的直角三角形，故本題可借助特殊三角形的邊角關系來證明。

略解：在等邊△ABC中，∠B＝∠C＝60⁰

          又∵PE⊥AB于E，PD⊥AC于D

          ∴∠BPE＝∠CPD＝30⁰

          不妨設等邊△ABC的邊長為1，BE＝ ，CD＝ ，那么：BP＝ ，PC＝ ， ，而AE＝ ，AD＝

          ∴AE＋AD＝

        又∵BE＋CD＋BC＝

          ∴AD＋AE＝BE＋BC＋CD

          從而AD＋AE＋DE＝BE＋BC＋CD＋DE

          即△AED的周長等于四邊形EBCD的周長。

    評注：本題若不認真分析三角形的邊角關系，而想走“全等三角形”的道路是很難奏效的。

跟蹤訓練：

一、填空題：

1、三角形的三邊為1， ，9，則 的取值范圍是          。

2、已知三角形兩邊的長分別為1和2，如果第三邊的長也是整數(shù)，那么第三邊的長為    。

3、在△ABC中，若∠C＝2（∠A＋∠B），則∠C＝        度。

4、如果△ABC的一個外角等于150⁰，且∠B＝∠C，則∠A＝        。

5、如果△ABC中，∠ACB＝90⁰，CD是AB邊上的高，則與∠A相等的角是          。

6、如圖，在△ABC中，∠A＝80⁰，∠ABC和∠ACB的外角平分線相交于點D，那么∠BDC＝          。

7、如圖，CE平分∠ACB，且CE⊥DB，∠DAB＝∠DBA，AC＝18cm，△CBD的周長為28 cm，則DB＝        。

8、紙片△ABC中，∠A＝65⁰，∠B＝75⁰，將紙片的一角折疊，使點C落在△ABC內(nèi)（如圖），若∠1＝20⁰，則∠2的度數(shù)為          。

9、在△ABC中，∠A＝50⁰，高BE、CF交于點O，則∠BOC＝        。

10、若△ABC的三邊分別為 、 、 ，要使整式 ，則整數(shù) 應為          。

3.等腰三角形

 

知識考點：

靈活運用等腰（等邊）三角形的判定定理與性質(zhì)定理，以及底邊上的高、中線、頂角的平分線三線合一的性質(zhì)進行有關的證明和計算。

精典例題：

【例1】等腰三角形一腰上的高與腰長之比為1∶2，則等腰三角形的頂角為（    ）

A、30⁰             B、60⁰          C、150⁰               D、30⁰或150⁰

    分析：如圖所示，在等腰△ABC中，CD為腰AB上的高，CD∶AB＝1∶2，∵AC＝AB，∴CD∶AC＝1∶2，∴在Rt△ABC中有答案D。

            

【例2】如圖，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90⁰，D是AC上一點，AE⊥BD的延長線于E，又AE＝ BD，求證：BD是∠ABC的角平分線。

分析：∠ABC的角平分線與AE邊上的高重合，故可作輔助線補全圖形，構造出全等三角形（證明略）。

探索與創(chuàng)新：

【問題一】如圖，在等腰直角△ABC中，AD為斜邊上的高，以D為端點任作兩條互相垂直的射線與兩腰分別相交于E、F點，連結EF與AD相交于G，試問：你能確定∠AED和∠AGF的大小關系嗎？

分析與結論：依題意有△ADE≌△FDC，△EDF為等腰直角三角形，又∵∠AED＝∠AEF＋∠DEG，∠AGF＝∠AEF＋∠EAG，事實上∠EAG與∠DEG都等于45⁰，故∠AED＝∠AGF。

評注：加強對圖形的分析、發(fā)現(xiàn)、挖掘等腰三角形、全等三角形，用相同或相等角的代數(shù)式表示∠AED、∠AGF，從而比較其大小是本題的解題關鍵。

               

【問題二】在平面上有且只有4個點，這4個點有一個獨特的性質(zhì)每兩個點之間的距離有且只有兩種長度。例如正方形ABCD中，AB＝BC＝CD＝DA，AC＝BD。請你畫出具有這種獨特性質(zhì)的四種不同的圖形，并標注相等的線段。

略解：（1）AB＝AD＝DB＝DC＝BD，AC

     （2）AB＝AC＝AD＝BC，BD＝DC

     （3）AB＝AC，AO＝BO＝CO＝DO

     （4）AB＝BC＝AC，AO＝BO＝CO

     （5）AB＝AD＝CD，AC＝BC＝BD

 

評注：本例突破了常規(guī)作圖題的思維形式，是一道很好的開放型試題，要求學生既要善于動腦，又要善于動手。

跟蹤訓練：

一、填空題：

1、等腰三角形的兩外角之比為5∶2，則該等腰三角形的底角為          。

2、在△ABC中，AB＝AC，BD平分∠ABC交AC于D，DE垂直平分AB，E為垂足，則∠C＝          。

3、等腰三角形的兩邊長為4和8，則它腰上的高為            。

4、在△ABC中，AB＝AC，點D在AB邊上，且BD＝BC＝AD，則∠A的度數(shù)為     。

5、如圖，AB＝BC＝CD，AD＝AE，DE＝BE，則∠C的度數(shù)為         。

             

6、如圖，D為等邊△ABC內(nèi)一點，DB＝DA，BP＝AB，∠DBP＝∠DBC，則∠BPD＝    。

7、如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC，EG⊥AD分別交AB、AD、AC及BC的延長線于點E、H、F、G，已知下列四個式子：

  ①∠1＝（∠2＋∠3）              ②∠1＝2（∠3－∠2）

③∠4＝（∠3－∠2）                ④∠4＝ ∠1

其中有兩個式子是正確的，它們是        和          。

二、選擇題：

1、等腰三角形中一內(nèi)角的度數(shù)為50⁰，那么它的底角的度數(shù)為（    ）

A、50⁰              B、65⁰            C、130⁰            D、50⁰或65⁰

2、如圖，D為等邊△ABC的AC邊上一點，且∠ACE＝∠ABD，CE＝BD，則△ADE是（    ）

    A、等腰三角形    B、直角三角形      C、不等邊三角形     D、等邊三角形

                        

3、如圖，在△ABC中，∠ABC＝60⁰，∠ACB＝45⁰，AD、CF都是高，相交于P，角平分線BE分別交AD、CF于Q、S，那么圖中的等腰三角形的個數(shù)是（    ）

    A、2                  B、3                  C、4              D、5

4、如圖，已知BO平分∠CBA，CO平分∠ACB，且MN∥BC，設AB＝12，BC＝24，AC＝18，則△AMN的周長是（    ）

    A、30                B、33                C、36              D、39

                          

5、如圖，在五邊形ABCDE中，∠A＝∠B＝120⁰，EA＝AB＝BC＝ DC＝ DE，則∠D＝（    ）

    A、30⁰              B、45⁰            C、60⁰            D、67.5⁰

三、解答題：

1、如圖，在△ABC中，AB＝AC，D、E、F分別為AB、BC、CA上的點，且BD＝CE，∠DEF＝∠B。求證：△DEF是等腰三角形。

2、為美化環(huán)境，計劃在某小區(qū)內(nèi)用30平方米的草皮鋪設一塊邊長為10米的等腰三角形綠地。請你求出這個等腰三角形綠地的另兩邊長。

3、如圖，在銳角△ABC中，∠ABC＝2∠C，∠ABC的平分線與AD垂直，垂足為D，求證：AC＝2BD。

               

4、在等邊△ABC的邊BC上任取一點D，作∠DAE＝60⁰，AE交∠C的外角平分線于E，那么△ADE是什么三角形？證明你的結論。

參考答案

一、填空題：

1、30⁰；2、72⁰；3、；4、36⁰；5、36⁰；6、30⁰；7、①③

二、選擇題：DDDAC

三、解答題：

1、證△DBE≌△ECF

2、提示：分兩種情況討論。不妨設AB＝10米，作CD⊥AB于D，則CD＝6米。

（1）當AB為底邊時，AC＝BC＝ 米；

（2）當AB為腰且三角形為銳角三角形時，AB＝AC＝10米，BC＝ 米；

（3）當AB為腰且三角形為鈍角三角形時，AB＝BC＝10米，AC＝ 米；

3、提示：延長AD交BC于點M。

4、△ADE為等邊三角形。

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4.直角三角形、勾股定理、面積

 

知識考點：

了解直角三角形的判定與性質(zhì)，理解直角三角形的邊角關系，掌握用勾股定理解某些簡單的實際問題。它的有關性質(zhì)廣泛應用于線段計算、證明線段倍分關系、證明線段平方關系及與面積有關的問題等方面。

精典例題：

【例1】如圖，在四邊形ABCD中，∠A＝60⁰，∠B＝∠D＝90⁰，BC＝2，CD＝3，則AB＝？

分析：通過作輔助線，將四邊形問題轉化為三角形問題來解決，其關鍵是對內(nèi)分割還是向外補形。

答案：

                   

【例2】如圖，P為△ABC邊BC上一點，PC＝2PB，已知∠ABC＝45⁰，∠APC＝60⁰，求∠ACB的度數(shù)。

分析：本題不能簡單地由角的關系推出∠ACB的度數(shù)，而應綜合運用條件PC＝2PB及∠APC＝60⁰來構造出含30⁰角的直角三角形。這是解本題的關鍵。

答案：∠ACB＝75⁰（提示：過C作CQ⊥AP于Q，連結BQ，則AQ＝BQ＝CQ）

探索與創(chuàng)新：

【問題一】如圖，公路MN和公路PQ在點P處交匯，且∠QPN＝30⁰，點A處有一所中學，AP＝160米，假設汽車行駛時，周圍100米以內(nèi)會受到噪聲的影響，那么汽車在公路MN上沿PN方向行駛時，學校是否會受到噪聲的影響？如果受影響，已知汽車的速度為18千米／小時，那么學校受影響的時間為多少秒？

分析：從學校（A點）距離公路（MN）的最近距離（AD＝80米）入手，在距A點方圓100米的范圍內(nèi)，利用圖形，根據(jù)勾股定理和垂徑定理解決它。

略解：作AD⊥MN于D，在Rt△ADP中，易知AD＝80。所以這所學校會受到噪聲的影響。以A為圓心，100米為半徑作圓交MN于E、F，連結AE、AF，則AE＝AF＝100，根據(jù)勾股定理和垂徑定理知：ED＝FD＝60，EF＝120，從而學校受噪聲影響的時間為：

（小時）＝24（秒）

評注：本題是一道存在性探索題，通過給定的條件，判斷所研究的對象是否存在。

                    

【問題二】臺風是一種自然災害，它以臺風中心為圓心在周圍數(shù)十千米范圍內(nèi)形成氣旋風暴，有極強的破壞力．如圖12，據(jù)氣象觀測，距沿海某城市A的正南方向220千米的B處有一臺風中心，其中心最大風力為12級，每遠離臺風中心20千米，風力就會減弱一級，該臺風中心現(xiàn)正以15千米／時的速度沿北偏東30⁰方向往C移動，且臺風中心風力不變。若城市所受風力達到或超過四級，則稱為受臺風影響。

（1）該城市是否會受到這次臺風的影響? 請說明理由。

（2）若會受到臺風影響，那么臺風影響該城市的持續(xù)時間有多長?

（3）該城市受到臺風影響的最大風力為幾級?

    解：（1）如圖1，由點A作AD⊥BC，垂足為D。

∵AB＝220，∠B＝30°∴AD＝110（千米）。

由題意知，當A點距臺風中心不超過160千米時，將會受到臺風的影響。故該城市會受到這次臺風的影響。

（2）由題意知，當A點距臺風中心不超過160千米時，將會受到臺風的影響。則AE＝AF＝160。當臺風中心從E處移到F處時，該城市都會受到這次臺風的影響。由勾股定理得：。∴EF＝60 （千米）。

∵該臺風中心以15千米／時的速度移動?！噙@次臺風影響該城市的持續(xù)時間為 （小時）。

（3）當臺風中心位于D處時，A市所受這次臺風的風力最大，其最大風力為12－ ＝6.5（級）。

評注：本題是一道幾何應用題，解題時要善于把實際問題抽象成幾何圖形，并領會圖形中的幾何元素代表的意義，由題意可分析出，當A點距臺風中心不超過160千米時，會受臺風影響，若過A作AD⊥BC于D，設E，F(xiàn)分別表示A市受臺風影響的最初，最后時臺風中心的位置，則AE＝AF＝160；當臺風中心位于D處時，A市受臺風影響的風力最大。

跟蹤訓練：

一、填空題：

1、如果直角三角形的邊長分別是6、8、 ，則的取值范圍是            。

2、如圖，D為△ABC的邊BC上的一點，已知AB＝13，AD＝12，，BD＝5，AC＝BC，則BC＝          。

                   

3、如圖，四邊形ABCD中，已知AB∶BC∶CD∶DA＝2∶2∶3∶1，且∠B＝90⁰，則∠DAB＝        。

4、等腰△ABC中，一腰上的高為3cm，這條高與底邊的夾角為30⁰，則＝      。

5、如圖，△ABC中，∠BAC＝90⁰，∠B＝2∠C，D點在BC上，AD平分∠BAC，若AB＝1，則BD的長為          。

6、已知Rt△ABC中，∠C＝90⁰，AB邊上的中線長為2，且AC＋BC＝6，則＝    。

7、如圖，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，腰長為8cm，AC、BD相交于O點，且∠AOD＝60⁰，設E、F分別為CO、AB的中點，則EF＝        。

               

8、如圖，點D、E是等邊△ABC的BC、AC上的點，且CD＝AE，AD、BE相交于P點，BQ⊥AD。已知PE＝1，PQ＝3，則AD＝          。

9、如圖所示，所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的邊長為7cm，則正方形A、B、C、D的面積的和是        。

二、選擇題：

1、如圖，已知△ABC中，AQ＝PQ，PR＝PS，PR⊥AB于R，PS⊥AC于S，則三個結論：①AS＝AR；②QP∥AR；③△BRP≌△QSP中（    ）

    A、全部正確        B、僅①和②正確    C、僅①正確      D、僅①和③正確

2、如果一個三角形的一條邊的長是另一條邊的長的2倍，并且有一個角是30⁰，那么這個三角形的形狀是（    ）

    A、直角三角形      B、鈍角三角形      C、銳角三角形      D、不能確定

3、在四邊形ABCD中，AD⊥CD，AB＝13，BC＝12，CD＝4，AD＝3，則∠ACB的度數(shù)是（    ）

    A、大于90⁰         B、小于90⁰         C、等于90⁰         D、不能確定

                          

4、如圖，已知△ABC中，∠B＝90⁰，AB＝3，BC＝ ，OA＝OC＝，則∠OAB的度數(shù)為（    ）

   A、10⁰             B、15⁰               C、20⁰               D、25⁰

三、解答題：

    1、閱讀下面的解題過程：已知 、 、 為△ABC的三邊，且滿足

，試判斷△ABC的形狀。

    解：∵ ……①

        ∴ ……②

        ∴ ……③

        ∴△ABC是直角三角形。

問：（1）上述解題過程中，從哪一步開始出現(xiàn)錯誤？請寫出該步的代號      ；

   （2）錯誤的原因是                  ；

   （3）本題的正確結論是                  。

    2、已知△ABC中，∠BAC＝75⁰，∠C＝60⁰，BC＝ ，求AB、AC的長。

    3、如圖，△ABC中，AD是高，CE是中線，DC＝BE，DG⊥CE于G。

    （1）求證：G是CE的中點；

    （2）∠B＝2∠BCE。

                              

4、如圖，某校把一塊形狀近似于直角三角形的廢地開辟為生物園，∠ACB＝90⁰，BC＝60米，∠A＝36⁰。

（1）若入口E在邊AB上，且與A、B等距離，請你在圖中畫出入口E到C點的最短路線，并求最短路線CE的長（保留整數(shù)）；

（2）若線段CD是一條水渠，并且D點在邊AB上，已知水渠造價為50元／米，水渠路線應如何設計才能使造價最低？請你畫出水渠路線，并求出最低造價。

參考數(shù)據(jù)：sin36⁰＝0.5878，sin54⁰＝0.8090

5、已知△ABC的兩邊AB、AC的長是方程 的兩個實數(shù)根，第三邊BC＝5。

（1） 為何值時，△ABC是以BC為斜邊的直角三角形；

（2） 為何值時，△ABC是等腰三角形，求出此時其中一個三角形的面積。

參考答案

一、填空題：

1、10或 ；2、16.9；3、135⁰；4、 cm²；5、；6、5；7、4

8、7；9、49

二、選擇題：BDCB

三、解答題：

1、（1）③；（2）略；（3）直角三角形或等腰三角形

2、提示：過A作AD⊥BC于D，則AB＝ ，AC＝

3、提示：連結ED

4、（1）51米；（2）若要水渠造價最低，則水渠應與AB垂直，造價2427元。

5、（1）2；（2） ＝4或3，當 ＝4時，面積為12。

4.直角三角形、勾股定理、面積

 

知識考點：

了解直角三角形的判定與性質(zhì)，理解直角三角形的邊角關系，掌握用勾股定理解某些簡單的實際問題。它的有關性質(zhì)廣泛應用于線段計算、證明線段倍分關系、證明線段平方關系及與面積有關的問題等方面。

精典例題：

【例1】如圖，在四邊形ABCD中，∠A＝60⁰，∠B＝∠D＝90⁰，BC＝2，CD＝3，則AB＝？

分析：通過作輔助線，將四邊形問題轉化為三角形問題來解決，其關鍵是對內(nèi)分割還是向外補形。

答案：

                   

【例2】如圖，P為△ABC邊BC上一點，PC＝2PB，已知∠ABC＝45⁰，∠APC＝60⁰，求∠ACB的度數(shù)。

分析：本題不能簡單地由角的關系推出∠ACB的度數(shù)，而應綜合運用條件PC＝2PB及∠APC＝60⁰來構造出含30⁰角的直角三角形。這是解本題的關鍵。

答案：∠ACB＝75⁰（提示：過C作CQ⊥AP于Q，連結BQ，則AQ＝BQ＝CQ）

探索與創(chuàng)新：

【問題一】如圖，公路MN和公路PQ在點P處交匯，且∠QPN＝30⁰，點A處有一所中學，AP＝160米，假設汽車行駛時，周圍100米以內(nèi)會受到噪聲的影響，那么汽車在公路MN上沿PN方向行駛時，學校是否會受到噪聲的影響？如果受影響，已知汽車的速度為18千米／小時，那么學校受影響的時間為多少秒？

分析：從學校（A點）距離公路（MN）的最近距離（AD＝80米）入手，在距A點方圓100米的范圍內(nèi)，利用圖形，根據(jù)勾股定理和垂徑定理解決它。

略解：作AD⊥MN于D，在Rt△ADP中，易知AD＝80。所以這所學校會受到噪聲的影響。以A為圓心，100米為半徑作圓交MN于E、F，連結AE、AF，則AE＝AF＝100，根據(jù)勾股定理和垂徑定理知：ED＝FD＝60，EF＝120，從而學校受噪聲影響的時間為：

（小時）＝24（秒）

評注：本題是一道存在性探索題，通過給定的條件，判斷所研究的對象是否存在。

      

              

【問題二】臺風是一種自然災害，它以臺風中心為圓心在周圍數(shù)十千米范圍內(nèi)形成氣旋風暴，有極強的破壞力．如圖12，據(jù)氣象觀測，距沿海某城市A的正南方向220千米的B處有一臺風中心，其中心最大風力為12級，每遠離臺風中心20千米，風力就會減弱一級，該臺風中心現(xiàn)正以15千米／時的速度沿北偏東30⁰方向往C移動，且臺風中心風力不變。若城市所受風力達到或超過四級，則稱為受臺風影響。

（1）該城市是否會受到這次臺風的影響? 請說明理由。

（2）若會受到臺風影響，那么臺風影響該城市的持續(xù)時間有多長?

（3）該城市受到臺風影響的最大風力為幾級?

    解：（1）如圖1，由點A作AD⊥BC，垂足為D。

∵AB＝220，∠B＝30°∴AD＝110（千米）。

由題意知，當A點距臺風中心不超過160千米時，將會受到臺風的影響。故該城市會受到這次臺風的影響。

（2）由題意知，當A點距臺風中心不超過160千米時，將會受到臺風的影響。則AE＝AF＝160。當臺風中心從E處移到F處時，該城市都會受到這次臺風的影響。由勾股定理得：?！郋F＝60 （千米）。

∵該臺風中心以15千米／時的速度移動?！噙@次臺風影響該城市的持續(xù)時間為 （小時）。

（3）當臺風中心位于D處時，A市所受這次臺風的風力最大，其最大風力為12－ ＝6.5（級）。

評注：本題是一道幾何應用題，解題時要善于把實際問題抽象成幾何圖形，并領會圖形中的幾何元素代表的意義，由題意可分析出，當A點距臺風中心不超過160千米時，會受臺風影響，若過A作AD⊥BC于D，設E，F(xiàn)分別表示A市受臺風影響的最初，最后時臺風中心的位置，則AE＝AF＝160；當臺風中心位于D處時，A市受臺風影響的風力最大。

跟蹤訓練：

一、填空題：

1、如果直角三角形的邊長分別是6、8、 ，則的取值范圍是            。

2、如圖，D為△ABC的邊BC上的一點，已知AB＝13，AD＝12，，BD＝5，AC＝BC，則BC＝          。

   

                

3、如圖，四邊形ABCD中，已知AB∶BC∶CD∶DA＝2∶2∶3∶1，且∠B＝90⁰，則∠DAB＝        。

4、等腰△ABC中，一腰上的高為3cm，這條高與底邊的夾角為30⁰，則＝      。

5、如圖，△ABC中，∠BAC＝90⁰，∠B＝2∠C，D點在BC上，AD平分∠BAC，若AB＝1，則BD的長為          。

6、已知Rt△ABC中，∠C＝90⁰，AB邊上的中線長為2，且AC＋BC＝6，則＝    。

7、如圖，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，腰長為8cm，AC、BD相交于O點，且∠AOD＝60⁰，設E、F分別為CO、AB的中點，則EF＝        。

       

        

8、如圖，點D、E是等邊△ABC的BC、AC上的點，且CD＝AE，AD、BE相交于P點，BQ⊥AD。已知PE＝1，PQ＝3，則AD＝          。

9、如圖所示，所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的邊長為7cm，則正方形A、B、C、D的面積的和是        。

二、選擇題：

1、如圖，已知△ABC中，AQ＝PQ，PR＝PS，PR⊥AB于R，PS⊥AC于S，則三個結論：①AS＝AR；②QP∥AR；③△BRP≌△QSP中（    ）

    A、全部正確        B、僅①和②正確    C、僅①正確      D、僅①和③正確

2、如果一個三角形的一條邊的長是另一條邊的長的2倍，并且有一個角是30⁰，那么這個三角形的形狀是（    ）

    A、直角三角形      B、鈍角三角形      C、銳角三角形      D、不能確定

3、在四邊形ABCD中，AD⊥CD，AB＝13，BC＝12，CD＝4，AD＝3，則∠ACB的度數(shù)是（    ）

    A、大于90⁰         B、小于90⁰         C、等于90⁰         D、不能確定

        

                  

4、如圖，已知△ABC中，∠B＝90⁰，AB＝3，BC＝ ，OA＝OC＝，則∠OAB的度數(shù)為（    ）

   A、10⁰             B、15⁰               C、20⁰               D、25⁰

三、解答題：

    1、閱讀下面的解題過程：已知 、 、 為△ABC的三邊，且滿足

，試判斷△ABC的形狀。

    解：∵ ……①

        ∴ ……②

        ∴ ……③

        ∴△ABC是直角三角形。

問：（1）上述解題過程中，從哪一步開始出現(xiàn)錯誤？請寫出該步的代號      ；

   （2）錯誤的原因是                  ；

   （3）本題的正確結論是                  。

    2、已知△ABC中，∠BAC＝75⁰，∠C＝60⁰，BC＝ ，求AB、AC的長。

    3、如圖，△ABC中，AD是高，CE是中線，DC＝BE，DG⊥CE于G。

    （1）求證：G是CE的中點；

    （2）∠B＝2∠BCE。

   

                          

4、如圖，某校把一塊形狀近似于直角三角形的廢地開辟為生物園，∠ACB＝90⁰，BC＝60米，∠A＝36⁰。

（1）若入口E在邊AB上，且與A、B等距離，請你在圖中畫出入口E到C點的最短路線，并求最短路線CE的長（保留整數(shù)）；

（2）若線段CD是一條水渠，并且D點在邊AB上，已知水渠造價為50元／米，水渠路線應如何設計才能使造價最低？請你畫出水渠路線，并求出最低造價。

參考數(shù)據(jù)：sin36⁰＝0.5878，sin54⁰＝0.8090

5、已知△ABC的兩邊AB、AC的長是方程 的兩個實數(shù)根，第三邊BC＝5。

（1） 為何值時，△ABC是以BC為斜邊的直角三角形；

（2） 為何值時，△ABC是等腰三角形，求出此時其中一個三角形的面積。

參考答案

一、填空題：

1、10或 ；2、16.9；3、135⁰；4、 cm²；5、；6、5；7、4

8、7；9、49

二、選擇題：BDCB

三、解答題：

1、（1）③；（2）略；（3）直角三角形或等腰三角形

2、提示：過A作AD⊥BC于D，則AB＝ ，AC＝

3、提示：連結ED

4、（1）51米；（2）若要水渠造價最低，則水渠應與AB垂直，造價2427元。

5、（1）2；（2） ＝4或3，當 ＝4時，面積為12。

6.平行四邊形

知識考點：理解并掌握平行四邊形的判定和性質(zhì)

精典例題：

【例1】已知如圖：在四邊形ABCD中，AB＝CD，AD＝BC，點E、F分別在BC和AD邊上，AF＝CE，EF和對角線BD相交于點O，求證：點O是BD的中點。

分析：構造全等三角形或利用平行四邊形的性質(zhì)來證明BO＝DO

略證：連結BF、DE

      在四邊形ABCD中，AB＝CD，AD＝BC

      ∴四邊形ABCD是平行四邊形

      ∴AD∥BC，AD＝BC

    又∵AF＝CE

      ∴FD∥BE，F(xiàn)D＝BE

      ∴四邊形BEDF是平行四邊形

      ∴BO＝DO，即點O是BD的中點。

【例2】已知如圖：在四邊形ABCD中，E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA邊上的中點，求證：四邊形EFGH是平行四邊形。

分析：欲證四邊形EFGH是平行四邊形，根據(jù)條件需從邊上著手分析，由E、F、G、H分別是各邊上的中點，可聯(lián)想到三角形的中位線定理，連結AC后，EF和GH的關系就明確了，此題也便得證。（證明略）

變式1：順次連結矩形四邊中點所得的四邊形是菱形。

變式2：順次連結菱形四邊中點所得的四邊形是矩形。

變式3：順次連結正方形四邊中點所得的四邊形是正方形。

變式4：順次連結等腰梯形四邊中點所得的四邊形是菱形。

變式5：若AC＝BD，AC⊥BD，則四邊形EFGH是正方形。

變式6：在四邊形ABCD中，若AB＝CD，E、F、G、H分別為AD、BC、BD、AC的中點，求證：EFGH是菱形。

                     

變式7：如圖：在四邊形ABCD中，E為邊AB上的一點，△ADE和△BCE都是等邊三角形，P、Q、M、N分別是AB、BC、CD、DA邊上的中點，求證：四邊形PQMN是菱形。

探索與創(chuàng)新：

【問題】已知如圖，在△ABC中，∠C＝90⁰，點M在BC上，且BM＝AC，點N在AC上，且AN＝MC，AM和BN相交于P，求∠BPM的度數(shù)。

分析：條件給出的是線段的等量關系，求的卻是角的度數(shù)，為此，我們由條件中的直角及相等的線段，可聯(lián)想到構造等腰直角三角形，從而應該平移AN。

略證：過M作ME∥AN，且ME＝AN，連結NE、BE，則四邊形AMEN是平行四邊形，得NE＝AM，ME∥AN，AC⊥BC

∴ME⊥BC

在△BEM和△AMC中，

ME＝CM，∠EMB＝∠MCA＝90⁰，BM＝AC

∴△BEM≌△AMC

∴BE＝AM＝NE，∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠1＋∠3＝90⁰

∴∠2＋∠4＝90⁰，且BE＝NE

∴△BEN是等腰直角三角形

∴∠BNE＝45⁰

∵AM∥NE

∴∠BPM＝∠BNE ＝45⁰

跟蹤訓練：

一、填空題：

1、一個平行四邊形的兩條對角線的長度分別為5和7，則它的一條邊長的取值范圍是              。

2、□ABCD的周長是30，AC、BD相交于點O，△OAB的周長比△OBC的周長大3，則AB＝            。

3、已知□ABCD中，AB＝2AD，對角線BD⊥AD，則∠BCD的度數(shù)是        。

4、如圖：在□ABCD中，AE⊥BD于E，∠EAD＝60⁰，AE＝2，AC＋BD＝16，則△BOC的周長為          。

    

5、如圖：□ABCD的對角線AC、BD相交于O，EF過點O，且EF⊥BC于F，∠1＝30⁰，∠2＝45⁰，OD＝，則AC的長為            。

6、如圖：過□ABCD的頂點B作高BE、BF，已知BF＝ BE，BC＝16，∠EBF＝30⁰，則AB＝            。

7、如圖所示，□ABCD的周長為30，AE⊥BC于點E，AF⊥CD于點F，且AE∶AF＝2∶3，∠C＝120⁰，則平行四邊形ABCD的面積為            。

二、選擇題：

1、若□ABCD的周長為28，△ABC的周長為17cm，則AC的長為（    ）

A、11cm           B、5.5cm             C、4cm             D、3cm

2、如圖，□ABCD和□EAFC的頂點D、E、F、B在同一條直線上，則下列關系中正確的是（    ）

    A、DE＞BF          B、DE＝BF        C、DE＜BF       D、DE＝FE＝BF

       

3、如圖，已知M是□ABCD的AB邊的中點，CM交BD于E，則圖中陰影部分的面積與□ABCD的面積之比是（    ）

    A、               B、                 C、               D、

4、如圖，□ABCD中，BD＝CD，∠C＝70⁰，AE⊥BD于E，則∠DAE＝（    ）

    A、20⁰              B、25⁰               C、30⁰             D、35⁰

5、在給定的條件中，能作出平行四邊形的是（    ）

    A、以60cm為對角線，20cm、34cm為兩條鄰邊

B、以20cm、36cm為對角線，22cm為一條邊

C、以6cm為一條對角線，3cm、10cm為兩條鄰邊

D、以6cm、10cm為對角線，8cm為一條邊

6、如圖，□ABCD中，E、F分別是AD、BC邊上的中點，直線CE交BA的延長線于G點，直線DF交AB的延長線于H點，CG、DH交于點O，若□ABCD的面積為4，則＝（    ）

A、3.5               B、4               C、4.5                 D、5

               

7、在□ABCD中，AB＝6，AD＝8，∠B是銳角，將△ACD沿對角線AC折疊，點D落在△ABC所在平面內(nèi)的點E處，如果AE過BC的中點O，則□ABCD的面積等于（   ）

    A、48          B、                C、               D、

三、解答題：

1、如圖，在□ABCD中，AE⊥BC于E，AF⊥DC于F，∠ADC＝60⁰，BE＝2，CF＝1，連結DE交AF于點P，求EP的長。

    

2、在四邊形ABCD中，E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA上的點，且 ＝ ＝ ＝ ＝ （＞0），閱讀下列材料，然后回答下面的問題：

如上圖，連結BD

∵ ＝ ， ＝

∴EH∥BD，F(xiàn)G∥BD

①連結AC，則EF與GH是否一定平行，答：          ；

②當值為        時，四邊形EFGH是平行四邊形；

③在②的情形下，對角線AC和BD只需滿足            條件時，EFGH為矩形；

④在②的情形下，對角線AC和BD只需滿足            條件時，EFGH為菱形；

3、已知，在四邊形ABCD中，從①AB∥DC；②AB＝DC；③AD∥BC；④AD＝BC；⑤∠A＝∠C；⑥∠B＝∠D中取出兩個條件加以組合，能推出四邊形ABCD是平行四邊形的有哪幾種情形？請你具體寫出這些組合。

4、如圖，在△ABC中，∠ACB＝90⁰，D、F分別為AC、AB的中點，點E在BC的延長線上，∠CDE＝∠A。

（1）求證：四邊形DECF是平行四邊形；

（2）若 ，四邊形EBFD的周長為22，求DE的長。

跟蹤訓練參考答案

一、填空題：

1、1＜ ＜6；2、9；3、60⁰；4、12；5、8；6、 或12.8；7、 cm²；

二、選擇題：DBCABCC

三、解答題：

1、提示：由∠B＝∠ADC＝60⁰，BE＝2，AE⊥BC可得AB＝4，再證DF＝DC－CF＝3，∴AD＝6，EC＝BC－BE＝4＝DC，又∠BCD＝120⁰，∴∠EDC＝30⁰，求得∠APE＝∠EAP＝60⁰，△AEP為等邊三角形，EP＝AE＝。

2、①是；②任意正數(shù)；③BD⊥AC；④AC＝BD

3、①和②；③和④；⑤和⑥；①和⑤；①和⑥；③和⑤；③和⑥；②和④；①和③

4、（1）證EC∥DF，ED∥CF；（2）DE＝5

7.矩形、菱形

 

知識考點：理解并掌握矩形的判定與性質(zhì)，并能利用所學知識解決有關問題。

精典例題：

【例1】如圖，已知矩形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，AE⊥BD，垂足為E，∠DAE∶∠BAE＝3∶1，求∠EAC的度數(shù)。

分析：本題充分利用矩形對角線把矩形分成四個等腰三角形的基本圖形進行求解。

解略，答案45⁰。

      

【例2】如圖，已知菱形ABCD的邊長為3，延長AB到點E，使BE＝2AB，連結EC并延長交AD的延長線于點F，求AF的長。

分析：本題利用菱形的性質(zhì)，結合平行線分線段成比例的性質(zhì)定理，可使問題得解。

解略，答案AF＝4.5。

【例3】如圖，在矩形ABCD中，M是BC上的一動點，DE⊥AM，垂足為E，3AB＝2BC，并且AB、BC的長是方程的兩根。

（1）求 的值；

（2）當點M離開點B多少時，△ADE的面積是△DEM面積的3倍？請說明理由。

分析：用韋達定理建立線段AB、AC與一元二次方程系數(shù)的關系，求出 。

略解：（1）由韋達定理可得AB＋BC＝ ，AB·BC＝ ，又由BC＝ AB可消去AB，得出一個關于 的一元二次方程 ，解得＝12， ＝ ，因AB＋BC＝ ＞0，∴ ＞2，故 ＝ 應舍去。

（2）當 ＝12時，AB＋BC＝10，AB·BC＝ ＝24，由于AB＜BC，所以AB＝4，BC＝6，由 可得AE＝3EM＝ AM。易證△AED∽△MBA得 ＝ ，設AE＝ ，AM＝ ，則MB＝，而AB²＋BM²＝AM²，故 ，解得 ＝2，MB＝＝4。即當MB＝4時， 。

評注：本題將幾何問題從“形”向“數(shù)”轉化，這類綜合題既有幾何證明中的分析和推理，又有代數(shù)式的靈活變換、計算，其解題過程層次較多，步驟較復雜，書寫過程也要加強訓練。

探索與創(chuàng)新：

【問題一】如圖，四邊形ABCD中，AB＝ ，BC＝，CD＝6，且∠ABC＝135⁰，∠BCD＝120⁰，你知道AD的長嗎？

分析：這個四邊形是一個不規(guī)則四邊形，應將它補割為規(guī)則四邊形才便于求解。

略解：作AE⊥CB的延長線于E，DF⊥BC的延長線于F，再作AG⊥DF于G

      ∵∠ABC＝135⁰，∴∠ABE＝45⁰

      ∴△ABE是等腰直角三角形

又∵AB＝ ，∴AE＝BE＝

  ∵∠BCD＝120⁰，∴∠FCD＝60⁰

  ∴△DCF是含30⁰的直角三角形

  ∵CD＝6，CF＝3，DF＝

  ∴EF＝ ＝8

  由作圖知四邊形AGFE是矩形

  ∴AG＝EF＝8，F(xiàn)G＝AE＝

  從而DG＝DF－FG＝

  在△ADG中，∠AGD＝90⁰

  ∴AD＝ ＝ ＝ ＝

【問題二】把矩形ABCD沿BD折疊至如上圖所示的情形，請你猜想四邊形ABDE是什么圖形，并證明你的猜想。

分析與結論：本題根據(jù)題設并結合圖形猜想該四邊形是等腰梯形，利用對稱及全等三角形的有關知識易證。

跟蹤訓練：

一、填空題：

1、若矩形的對稱中心到兩邊的距離差為4，周長為56，則這個矩形的面積為         。

2、已知菱形的銳角是60⁰，邊長是20cm，則較短的對角線長是          cm。

3、如圖，矩形ABCD中，O是對角線的交點，若AE⊥BD于E，且OE∶OD＝1∶2，AE＝ cm，則DE＝          cm。

4、如圖，P是矩形ABCD內(nèi)一點，PA＝3，PD＝4，PC＝5，則PB＝          。

5、如圖，在菱形ABCD中，∠B＝∠EAF＝60⁰，∠BAE＝20⁰，則∠CEF＝        。

        

二、選擇題：

6、在矩形ABCD的各邊AB、BC、CD、DA上分別取點E、F、G、H，使EFGH為矩形，則這樣的矩形（    ）

    A、僅能作一個                                B、可以作四個

C、一般情況下不可作                          D、可以作無窮多個

7、如圖，在矩形ABCD中，AB＝4cm，AD＝12cm，P點在AD邊上以每秒1 cm的速度從A向D運動，點Q在BC邊上，以每秒4 cm的速度從C點出發(fā)，在CB間往返運動，二點同時出發(fā)，待P點到達D點為止，在這段時間內(nèi)，線段PQ有（    ）次平行于AB。

    A、1                  B、2                  C、3              D、4

                

8、如圖，已知矩形紙片ABCD中，AD＝9cm，AB＝3cm，將其折疊，使點D與點B重合，那么折疊后DE的長和折痕EF的長分別是（    ）

    A、4cm、 cm                       B、5cm、 cm

C、4cm、 cm                       D、5cm、 cm

9、給出下面四個命題：①對角線相等的四邊形是矩形；②對角線互相垂直的四邊形是菱形；③有一個角是直角且對角線互相平分的四邊形是矩形；④菱形的對角線的平方和等于邊長平方的4倍。其中正確的命題有（    ）

    A、①②              B、③④              C、③          D、①②③④

10、平行四邊形四個內(nèi)角的平分線，如果能圍成一個四邊形，那么這個四邊形一定是（   ）

    A、矩形            B、菱形            C、正方形          D、等腰梯形

三、解答題：

11、如圖，在矩形ABCD中，F(xiàn)是BC邊上一點，AF的延長線交DC的延長線于點G，DE⊥AG于E，且DE＝DC，根據(jù)上述條件，請在圖中找出一對全等三角形，并證明你的結論。

     

12、如圖，在△ABC中，∠ACB＝90⁰，CD是AB邊上的高，∠BAC的平分線AE交CD于F，EG⊥AB于G，求證：四邊形GECF是菱形。

13、如圖，以△ABC的三邊為邊在BC的同一側分別作三個等邊三角形，即△ABD、△BCE、△ACF。請回答下列問題（不要求證明）：

（1）四邊形ADEF是什么四邊形？

（2）當△ABC滿足什么條件時，四邊形ADEF是矩形？

（3）當△ABC滿足什么條件時，以A、D、E、F為頂點的四邊形不存在？

跟蹤訓練參考答案

一、填空題：

1、180；2、20cm；3、3；4、 ；5、20⁰

    提示：4題過點P作矩形任一邊的垂線，利用勾股定理求解；5題連結AC，證△ABE≌△ACF得AE＝AF，從而△AEF是等邊三角形。

二、DDBBA

三、解答題：

11、可證△DEA≌△ABF

12、略證：AE平分∠BAC，且EG⊥AB，EC⊥AC，故EG＝EC，易得∠AEC＝∠CEF，∵CF＝EC，EG＝CF，又因EG⊥AB，CD⊥AB，故EG∥CF。四邊形GECF是平行四邊形，又因EG＝FG，故GECF是菱形。

13、（1）平行四邊形；（2）∠BAC＝150⁰；（3）當∠BAC＝60⁰時，以A、D、E、F為頂點的四邊形不存在。

8.正方形

 

知識考點：

理解正方形的性質(zhì)和判定，并能利用它進行有關的證明和計算。

精典例題：

【例1】如圖，E、F分別是正方形ABCD的邊AB、BC上的點，且EF∥AC，在DA的延長線上取一點G，使AG＝AD，EG與DF相交于點H。求證：AH＝AD。

分析：因為A是DG的中點，故在△DGH中，若AH＝AD，當且僅當△DGH為直角三角形，所以只須證明△DGH為直角三角形（證明略）。

評注：正方形除了具備平行四邊形的一般性質(zhì)外，還特別注意其直角的條件。本例中直角三角形的中線性質(zhì)使本題證明簡單。

         

【例2】如圖，在正方形ABCD中，P、Q分別是BC、CD上的點，若∠PAQ＝45⁰，求證：PB＋DQ＝PQ。

分析：利用正方形的性質(zhì)，通過構造全等三角形來證明。

變式：若條件改為PQ＝PB＋DQ，那么∠PAQ＝？你還能得到哪些結論？

探索與創(chuàng)新：

【問題一】如圖，已知正方形ABCD的對角線AC、BD相交于點O，E是AC上一點，過A作AG⊥EB于G，AG交BD于點F，則OE＝OF，對上述命題，若點E在AC的延長線上，AG⊥EB，交EB的延長線于點G，AG的延長線交DB的延長線于點F，其它條件不變，則結論“OE＝OF”還成立嗎？如果成立，請給出證明；如果不成立，說明理由。

                       

分析：對于圖1通過全等三角形證明OE＝OF，這種證法是否能應用到圖2的情境中去，從而作出正確的判斷。

結論：（2）的結論“OE＝OF”仍然成立。

提示：只須證明△AOF≌△BOE即可。

評注：本題以正方形為背景，突破了單純的計算與證明，著重考查了學生觀察、分析、判斷等多種能力。

【問題二】操作，將一把三角尺放在邊長為1的正方形ABCD上，并使它的直角頂點P在對角線AC上滑行，直角的一邊始終經(jīng)過點B，另一邊與射線DC相交于點Q。

探究：設A、P兩點間的距離為 。

（1）當點Q在邊CD上時，線段PQ與線段PB之間有怎樣的關系？試證明你觀察得到的結論；

（2）當點Q在邊CD上時，設四邊形PBCQ的面積為 ，求 與 之間的函數(shù)關系式，并寫出函數(shù)的定義域；

（3）當點P在線段AC上滑行時，△PCQ是否可能成為等腰三角形，如果可能，指出所有能使△PCQ成為等腰三角形的點Q的位置，并求出相應的值；如果不可能，請說明理由（題目中的圖形形狀大小都相同，供操作用）。

                    

分析：（1）實驗猜測：PQ＝PB，再利用正方形性質(zhì)證明；（2）將四邊形面積轉化為三角形面積求；（3）可能。

略解：（1）如圖1，易證BP＝PD，∠1＝∠2，∠PQD＝180⁰－∠PQC＝∠PBC＝∠PDQ

         ∴PB＝PD＝PQ

          

    （2）如圖2，易證△BOP≌△PEQ

         ∴QE＝PO＝AO－AP＝

         ∴

                   

         ∴ （0≤ ＜ ）

    （3）△PCQ可能成為等腰三角形。

         ①當點P與點A重合時，點Q與點D重合，這時PQ＝QC，△PCQ是等腰三角形，此時 ＝0；

②當點Q在邊DC的延長線上，且CP＝CQ時，△PCQ是等腰三角形（如圖3）。此時，QN＝PM＝ ，CN＝ CP＝，所以CQ＝QN－CN＝ ，當 時，解得 。

    評注：本題是一道新穎別致的好題，它考查學生實踐操作能力和探究問題的能力。

跟蹤訓練：

一、填空題：

1、給出下面三個命題：①對角線相等的四邊形是矩形；②對角線互相垂直的四邊形是菱形；③對角線互相垂直的矩形是正方形。其中真命題是          （填序號）。

2、如圖，將正方形ABCD的BC邊延長到E，使CE＝AC，AE與CD邊相交于F點，那么CE∶FC＝          。

          

3、如圖，把正方形ABCD沿著對角線AC的方向移動到正方形 的位置，它們的重疊部分的面積是正方形ABCD面積的一半，若AC＝，則正方形移動的距離 是

              。

4、四邊形ABCD的對角線AC、BD相交于點O，給出以下題設條件：①AB＝BC＝CD＝DA；②AO＝BO＝CO＝DO；③AO＝CO，BO＝DO，AC⊥BD；④AB＝BC，CD＝DA。其中能判斷它是正方形的題設條件是          （把正確的序號填在橫線上）。

二、選擇題：

1、如圖，把正方形ABCD的對角線AC分成 段，以每一段為對角線作正方形，設這 個小正方形的周長和為 ，正方形ABCD的周長為，則 與的關系式是        。

    A、 ＜           B、 ＞         C、 ＝         D、 與 無關

2、如圖，在正方形ABCD中，DE＝EC，∠CDE＝60⁰，則下列關系式：①∠1∶∠4＝4∶1；②∠1∶∠3＝1∶1；③（∠1＋∠2）∶（∠3＋∠4）＝5∶3中，正確的是（    ）

    A、①②③          B、僅①        C、僅②和③          D、僅①和③

                 

3、如圖，正方形ABCD的面積為256，點F在AD上，點E在AB的延長線上，Rt△CEF的面積為200，則BE的值為（    ）

    A、10              B、11                C、12                D、15

4、有若干張如圖所示的正方形和長方形紙片，表中所列四種方案能拼成邊長為的正方形的是（    ）

 

數(shù)量（張）    卡片   方案	（1）	（2）	（3）
A	1	1	2
B	1	1	1
C	1	2	1
D	2	1	1

三、解答題：

1、如圖，在正方形ABCD中，E是AD的中點，BD與CE交于F點，求證：AF⊥BE。

2、已知正方形ABCD中，M是AB的中點，E是AB延長線上一點，MN⊥DM且交∠CBE的平分線于N。

（1）求證：MD＝MN；

（2）若將上述條件中的“M是AB的中點”改為“M是AB上任意一點”，其余條件不變，則結論“MD＝MN”還成立嗎？如果成立，請證明；如果不成立，請說明理由。

            

3、如圖，ABCD是正方形，P是對角線上的一點，引PE⊥BC于E，PF⊥DC于F。求證：（1）AP＝EF；（2）AP⊥EF。

                     

4、如圖，過正方形ABCD的頂點B作BE∥CA，作AE＝AC，又CF∥AE，求證：∠BCF＝ ∠AEB。

跟蹤訓練參考答案

一、填空題：

    1、③；2、；3、 ；4、②

二、選擇題：CDCA

三、解答題：

1、易證△ABF≌△CFB和△BAE≌△CDE，由△ABF≌△CFB ∠AFB＝∠BFC ∠FAD＝∠DCE；由△BAE≌△CDE ∠DCE＝∠ABF。所以∠DAF＝∠EAB，故∠EHA＝∠EAB＝90⁰，AF⊥BE。

2、（1）如圖1，取AD中點F，連結MF，由MN⊥DM得∠DAM＝90⁰，易證∠1＝∠2，又因∠MNB＝∠NBE－∠2＝45⁰－∠2，∠DMF＝∠AFM－∠1＝45⁰－∠1，所以∠DMF＝∠MNB，又因DF＝BM，所以△DMF≌△MNB，故MD＝MN。

          

（2）成立，如圖2，在AD上取DF＝MB，則易知：∠1＝90⁰－∠DMA，又∠2＋∠DMA＝90⁰，∴∠1＝∠2，又∠DMF＝45⁰－∠1，∠MNB＝45⁰－∠2，∴∠DMF＝∠MNB，又DF＝MB，∴△DMF≌△MNB，故MD＝MN。

3、略證：延長AP與EF相交于點H，連結PC，因為BD是對角線，易證PA＝PC，∠1＝∠2，根據(jù)PE⊥BC于E，PF⊥DC于F，知PECF為矩形，PC＝EF，且∠DAH＝∠FPH，又因為∠1＝∠2＝∠3，所以在△PHF中，∠FPH＋∠3＝∠4＋∠1＝90⁰，所以△PHF為直角三角形，故AP⊥EF。

4、提示：證AEFC是菱形，過A點作BE的垂線構造30⁰角的直角三角形。

 9.梯形

 

知識考點：

掌握梯形、直角梯形、等腰梯形的判定和性質(zhì)，并能熟練解決實際問題。

精典例題：

【例1】如圖，在梯形ABCD中，AB∥DC，中位線EF＝7，對角線AC⊥BD，∠BDC＝30⁰，求梯形的高AH。

分析：根據(jù)對角線互相垂直，將對角線平移后可構造直角三角形求解。

略解：過A作AM∥BD交CD的延長線于M。

      ∵AB∥DC，∴DM＝AB，∠AMC＝∠BDC＝30⁰

        又∵中位線EF＝7

          ∴CM＝CD＋DM＝CD＋AB＝2EF＝14

        又∵AC⊥BD，

          ∴AC⊥AM，AC＝ CM＝7

          ∵AH⊥CD，∴∠ACD＝60⁰

          ∴AH＝ ＝

    評注：平移梯形對角線、平移梯形的腰是解梯形問題時常用的輔助線。

              

【例2】如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，E、F分別是AD、BC的中點，∠B＋∠C＝90⁰，AD＝7，BC＝15，求EF的長。

分析：將AB、CD平移至E點構成直角三角形即可。

答案：EF＝4

探索與創(chuàng)新：

【問題】已知，在梯形ABCD中，AD∥BC，點E在AB上，點F在DC上，且AD＝ ，BC＝ 。

（1）如果點E、F分別為AB、DC的中點，求證：EF∥BC且EF＝ ；

（2）如圖2，如果 ，判斷EF和BC是否平行？請證明你的結論，并用 、 、 、 的代數(shù)式表示EF。

            

分析：（2）根據(jù)（1）可猜想EF∥BC，連結AF并延長交BC的延長線于點M，利用平行線分線段成比例定理證明即可。

略證：連結AF并延長交BC的延長線于點M

      ∵AD∥BM， ，

      ∴在△ABM中有

      ∴EF∥BC，

      ∴EF＝ ＝

      而 ，故

      ∴EF＝ ＝ ＝

    評注：本題是一道探索型試題，其目的是考查學生觀察、歸納、抽象、概括、猜想的能力，它要求學生能通過觀察進行分析和比較，從特殊到一般去發(fā)現(xiàn)規(guī)律，并能概括地用數(shù)學公式表達出來。

跟蹤訓練：

一、填空題：

1、梯形的上底長為3，下底長為7，梯形的中位線所分成的上下兩部分的面積之比為    。

2、等腰梯形中，上底∶腰∶下底＝1∶2∶3，則下底角的度數(shù)是          。

3、如圖，直角梯形ABCD中，AD∥BC，CD＝10，∠C＝60⁰，則AB的長為        。

               

4、如圖，梯形ABCD中，AB∥CD，∠D＝2∠B，AD＝ ，CD＝ ，那么AB的長是

            。

5、在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝2，BC＝3，BD＝4，AC＝3，則梯形ABCD的面積是          。

6、如圖，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC，CD＝BC，E是BA、CD延長線的交點，∠E＝40⁰，則∠ACD＝        度。

二、選擇題：

1、在課外活動課上，老師讓同學們做一個對角線互相垂直的等腰梯形形狀的風箏，其面積為450cm²，則對角線所用的竹條至少需（    ）

    A、 cm       B、30 cm           C、60 cm         D、  cm

2、如圖，直角梯形ABCD中，AB⊥BC，AD＝1，BC＝3，CD＝4，EF為梯形的中位線，DH為梯形的高，下列結論：①∠BCD＝60⁰；②四邊形EHCF是菱形；③ ④以AB為直徑的圓與CD相切于點F。其中正確的結論有（    ）

    A、1個             B、2個            C、3個              D、4個

  

3、已知如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝45⁰，∠C＝120⁰，AB＝8，則CD的長為（    ）

    A、           B、             C、               D、

4、如圖，在直角梯形ABCD中，底AB＝13，CD＝8，AD⊥AB，并且AD＝12，則A到BC的距離為（    ）

A、12                B、13              C、10            D、12×21＋13

5、如圖，等腰梯形ABCD中，對角線AC＝BC＋AD則∠DBC的度數(shù)為（    ）

    A、30⁰              B、45⁰              C、60⁰            D、90⁰

三、解答題：

1、如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC，在AB、DC上各取一點F、G，使BF＝CG，E是AD的中點。求證：∠EFG＝∠EGF。

2、已知，在等腰△ABC中，AB＝AC，AH⊥BC于H，D是底邊上任意一點，過D作BC的垂線交AC于M，交BA的延長線于N。求證：DM＋DN＝2AH。

3、如圖，等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝6，CD＝2，延長BD到E，使DE＝DB，作EF⊥BA的延長線于點F，求AF的長。

             

4、如圖，等腰梯形ABCD中，AB∥CD，對角線AC、BD相交于點O，∠ACD＝60⁰，點S、P、Q分別是OD、OA、BC的中點。

（1）求證：△PQS是等邊三角形；

（2）若AB＝8，CD＝6，求 的值。

（3）若 ∶ ＝4∶5，求CD∶AB的值。

                      

5、如圖，直角坐標系內(nèi)的梯形AOBC，AC∥OB，AC、OB的長分別是關于 的方程 的兩根，并且 ∶ ＝1∶5。

（1）求AC、OB的長；

（2）當BC⊥OC時，求OC的長及OC所在的直線解析式；

（3）在第（2）問的條件下，線段OC上是否存在一點M，過M點作 軸的平行線，交 軸于F，交BC于D，過D點作 軸的平行線交軸于E，使 ，若存在，請直接寫出M點的坐標；若不存在，請說明理由。

跟蹤訓練參考答案

一、填空題：

1、2∶3；2、60⁰；3、 ；4、 ；5、6；6、15⁰

二、選擇題：CBAAC

三；解答題：

1、證△AFE≌△DEG；

2、作AH⊥MN于N，則MN＝MH，AH＝MH＋MD易證NH＋DM＝AH；

3、2

4、（1）連結CS、BP；（2）∵SB＝ DO＋OB＝11，CS＝ ，BC＝ ＝ ，SQ＝ ，∴ ＝ ；

（3）設CD＝ ，AB＝ ， ＝ 。∴ ＝ ，又 ∶ ＝ ∶ ，則 ＝ ，∵ ∶ ＝4∶5，∴ 。整理得： ， ，又∵ ，∴ 。即：

。

    5、（1）AC＝1，OB＝5；（2）C（1，2）；（3）存在， （ ，1）， （ ， ）