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節(jié)

音樂(lè)是一個(gè)很奇妙的東西，它無(wú)體無(wú)身，但它總是可以調(diào)節(jié)人們的情緒！

數(shù)涵妙理總堪尋，道通功成淺亦深！大家好，我是麒麟子，我和我的數(shù)學(xué)故事都還在路上！

★ 高中數(shù)學(xué)如何學(xué)？

現(xiàn)在高中生對(duì)于數(shù)學(xué)這門(mén)課的學(xué)習(xí)，大多是還是通過(guò)刷題的形式提升自己對(duì)題型和知識(shí)點(diǎn)的熟悉程度，很少有人會(huì)靜下心來(lái)深究課本，回歸最原始的定義。其實(shí)我覺(jué)得也無(wú)可厚非，因?yàn)樗㈩}確實(shí)能夠帶來(lái)一些回報(bào)，所以大家都這么做了。

快節(jié)奏下的學(xué)習(xí)

在現(xiàn)在這樣一個(gè)快節(jié)奏的生活之下，大家在面臨選擇的時(shí)候，往往都會(huì)選擇走看似最快的的那條路，學(xué)習(xí)也是如此！

題海戰(zhàn)術(shù)模式

我不否認(rèn)，當(dāng)你刷題的量上去之后，你在考試的時(shí)候遇到類(lèi)似的題目的確能快速反應(yīng)并作出解答。

但總會(huì)有一些題目仍然會(huì)難倒你，因?yàn)槟阕鲱}總是在你的腦子中檢索，看這道題目和你自己之前寫(xiě)的有沒(méi)有相似之處，有就可以?shī)^筆疾書(shū)，沒(méi)有就只能陷入沉思！往往忘記了這道題目背后涉及的知識(shí)點(diǎn)和基本的定義。

立足基本概念

如果你立足于定義，對(duì)學(xué)過(guò)的知識(shí)點(diǎn)爛熟于心，你知道這個(gè)知識(shí)點(diǎn)最本質(zhì)的東西，那你做題的時(shí)候也許就不是這樣一個(gè)思路，你會(huì)從這道題目本身出發(fā)進(jìn)行分析，而不是僅僅套用以前的模板，這就是刷題和立足于基礎(chǔ)知識(shí)的一點(diǎn)區(qū)別吧！

數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)

一方面只是刷題顯然忽略了知識(shí)點(diǎn)最底層的東西，就像摩天大樓沒(méi)有一個(gè)可靠的地基，外表看起來(lái)很高大，也許只是外強(qiáng)中干！另一方面只有基本知識(shí)點(diǎn)好像也太理想化了，因?yàn)樽鰯?shù)學(xué)題還是需要一些數(shù)學(xué)技巧的。

在我看來(lái)，數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)要將二者結(jié)合起來(lái)，但是有一點(diǎn)：基本原理和基本方法一定是最重要的，九層之臺(tái)起于壘土，扎實(shí)的基礎(chǔ)絕對(duì)是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)最重要的法寶。在此基礎(chǔ)上適當(dāng)?shù)淖鲱}，積累一些數(shù)學(xué)處理上的小技巧，你就很容易快速進(jìn)步！

★ 多面體歐拉公式

今天我將通過(guò)一道例題給大家完整地講述大神數(shù)學(xué)家——歐拉在立體幾何領(lǐng)域中的一個(gè)著名的公式：多面體歐拉公式。說(shuō)到歐拉，大家或多或少都了解吧，簡(jiǎn)單介紹一下這位天才數(shù)學(xué)家：

萊昂哈德·保羅·歐拉（1707年4月15日--1783年9月18日）是一位瑞士數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家，近代數(shù)學(xué)先驅(qū)之一，他一生大部分時(shí)間在俄國(guó)和普魯士度過(guò)。

歐拉在數(shù)學(xué)的多個(gè)領(lǐng)域，包括微積分和圖論都做出過(guò)重大貢獻(xiàn)。他引進(jìn)的許多數(shù)學(xué)術(shù)語(yǔ)和書(shū)寫(xiě)格式，例如函數(shù)的記法'f(x)'，一直沿用至今。此外，他還在力學(xué)、光學(xué)、天文學(xué)等學(xué)科有突出的貢獻(xiàn)。

歐拉是18世紀(jì)杰出的數(shù)學(xué)家，同時(shí)也是有史以來(lái)最偉大的數(shù)學(xué)家之一。他也是一位多產(chǎn)作者，其學(xué)術(shù)著作有60-80冊(cè)。法國(guó)數(shù)學(xué)家拉普拉斯曾這樣評(píng)價(jià)歐拉對(duì)于數(shù)學(xué)的貢獻(xiàn)：“讀歐拉的著作吧，在任何意義上，他都是我們的大師”。

回歸正題

本期分享的這道例題也是比較有水平的，屬于新題型的考察，這類(lèi)題可以說(shuō)是題海戰(zhàn)術(shù)的克星，考察的是你的數(shù)學(xué)素養(yǎng)和短時(shí)間內(nèi)的學(xué)習(xí)能力！同時(shí)通過(guò)這道例題也給大家講述著名的多面體歐拉定理。今天的分享內(nèi)容會(huì)比較充實(shí)，如果你能充分理解，你一定能收獲很多課外數(shù)學(xué)知識(shí)以及學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的方法！

本期例題涉及到的數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)：

1、多面體曲率的定義：新型題目，題干給出多面體曲率的定義，需要結(jié)合給定的概念從定義出發(fā)解決題目，短時(shí)間理解并簡(jiǎn)單應(yīng)用。

2、多面體歐拉公式：三種視角下分析歐拉公式：立體圖到平面圖的轉(zhuǎn)化法、多面體內(nèi)角和不變法、數(shù)學(xué)歸納法。最終證明多面體頂點(diǎn)數(shù)V、棱數(shù)E、面數(shù)F之間滿(mǎn)足的歐拉公式！

Let's begin

★ 總結(jié)時(shí)刻

題目

到此為止，本題目的分析全部結(jié)束，本期我們分享的這道題選自《2021年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試模擬演練——數(shù)學(xué)試題》的第20題，屬于立體幾何的范疇，它屬于那種新概念題型，這類(lèi)題目是題海戰(zhàn)術(shù)的克星，真正考察學(xué)生的學(xué)習(xí)和理解能力。其實(shí)這道題目考察的核心還是在于“多面體歐拉公式”，而這個(gè)公式在高中課本上是出現(xiàn)過(guò)的，應(yīng)該是在選修2-2第一章的一道例題中出現(xiàn)過(guò)，可能很多人并沒(méi)有太過(guò)重視，考試的時(shí)候可能就會(huì)卡住，很難得分。所以說(shuō)這道題目并沒(méi)有超出課本的范圍，只是大家可能只關(guān)注刷題，而忽略了最根本的東西——課本，所以就會(huì)覺(jué)得這道題不容易做出來(lái)。

揭開(kāi)多面體歐拉公式的面紗

今天我的分享其實(shí)核心還是給大家講述“多面體的歐拉公式”，當(dāng)你真正了解了歐拉公式以后，這道題目也就沒(méi)有什么難度了，基于歐拉多面體定理來(lái)審視這道題目，就有一種撥云見(jiàn)日的感覺(jué)，豁然開(kāi)朗。關(guān)于歐拉公式的證明，我講述了三種方法，分別為：立體圖到平面圖的轉(zhuǎn)化法、多面體內(nèi)角和不變法、數(shù)學(xué)歸納法。在證明過(guò)程中都或多或少用到立體幾何的空間思維，而這種題你永遠(yuǎn)不可能用建立空間直角坐標(biāo)系的方法去處理，立體幾何的本質(zhì)還是在于空間思維，沒(méi)有了空間思維立體幾何中的那種空間美感也就不復(fù)存在了。

在比較中學(xué)習(xí)和感受

對(duì)比3種證明方法，不難發(fā)現(xiàn)每一種證明都有其獨(dú)特的魅力，但都沒(méi)有脫離立體幾何的空間思維。證明方法1主要關(guān)注的是立體圖到平面圖的轉(zhuǎn)化以及平面圖的裁邊處理過(guò)程，更多的關(guān)注動(dòng)態(tài)變化引起的頂點(diǎn)數(shù)、棱數(shù)和面數(shù)的變化，根據(jù)變化以及初始狀態(tài)和結(jié)尾狀態(tài)進(jìn)行具體分析；證明方法2主要是以多面體的各面內(nèi)角和為一個(gè)中間變量，分別從立體圖和平面圖兩個(gè)角度出發(fā)進(jìn)行分析，最終殊途同歸，導(dǎo)出歐拉公式；證明方法3主要是采用數(shù)學(xué)歸納法的思想，假設(shè)當(dāng)V = k時(shí)公式成立，分析V = k + 1時(shí)是否滿(mǎn)足，通過(guò)對(duì)多面體進(jìn)行收縮將頂點(diǎn)數(shù)為k和k+1兩種情況聯(lián)系起來(lái)進(jìn)行分析，最終證明歐拉公式。

每一種方法關(guān)注點(diǎn)不同，分析思路不同，但都有其價(jià)值。坐標(biāo)系加向量是處理立體幾何問(wèn)題的標(biāo)準(zhǔn)解法，但也不是萬(wàn)能的，且缺少做題過(guò)程中的空間體驗(yàn)感，大家有時(shí)間還是多多體會(huì)那些真正從空間思維出發(fā)處理立體幾何問(wèn)題的方法，至少你可學(xué)到很多巧妙的思維，這對(duì)于以后的學(xué)習(xí)都是很有幫助的！今天的分享到此結(jié)束，感謝大家的閱讀，希望今天的分析對(duì)大家會(huì)有幫助，我們下期再見(jiàn)。

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第一篇文章我以金庸武俠為載體給大家講述了“函數(shù)”的本質(zhì)；

第二篇文章我給大家講述了指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)三者源于同樣一個(gè)簡(jiǎn)潔的表達(dá)式，三者本自同根生。

第三篇文章我給大家詳細(xì)講述了一道非常經(jīng)典的導(dǎo)數(shù)題目，用兩種思路不同的解法，涉及到導(dǎo)數(shù)中許多常用的核心方法，是一篇很好的導(dǎo)數(shù)提升文章！

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金庸武俠風(fēng)云與抽象函數(shù)的跨時(shí)空對(duì)話(huà)！

你知道嗎？指數(shù)、對(duì)數(shù)和冪函數(shù)本自同根生！

導(dǎo)數(shù)終于來(lái)了！

雖然不允許我們看透自然界本質(zhì)的秘密，從而認(rèn)識(shí)現(xiàn)象的真實(shí)原因，但仍可能發(fā)生這樣的情形：一定的虛構(gòu)假設(shè)足以解釋許多現(xiàn)象。

因?yàn)橛钪娴慕Y(jié)構(gòu)是最完善的而且是最明智的上帝的創(chuàng)造，因此，如果在宇宙里沒(méi)有某種極大的或極小的法則，那就根本不會(huì)發(fā)生任何事情。

——萊昂哈德·保羅·歐拉

數(shù)學(xué)的探尋之路也許會(huì)充滿(mǎn)荊棘，但這趟旅途中一定也會(huì)有很多意外的驚喜，希望大家保持熱情，保持好奇，在數(shù)學(xué)這趟看不見(jiàn)盡頭的旅程中開(kāi)心的馳騁下去吧！

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