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壓軸題“一題精講”(四)：圓背景下的點在線段及其延長線上

2022.03.04

當動點運動到線段上時的圖形往往和動點在線段的延長線上的圖像有很大差別，但是“圖形改變，方法不變”.兩張圖形雖然不同，但是邊與邊，角與角之間的關系往往不變，原有的相似三角形或者比例線段依然成立，而改變的往往是線段之間的和、差關系。從特殊到一般，這也是發(fā)現(xiàn)問題、研究問題的一種常用方法。

在解決此類問題時，要能夠明確點的運動軌跡，當出現(xiàn)“射線”、“直線”時，要特別注意，說明其中可能隱含了分類討論。

圓背景下的點在線段或其延長線的問題，要善于利用圓中的特殊條件，即同圓的半徑相等，垂徑定理等，抓住這些關鍵條件后，隱去圓，即可將原來的問題轉(zhuǎn)化為三角形中的問題。

本題中隨著點A的運動，點E和點F也會發(fā)生相應的運動，即點F可能在線段OB上，也可能在線段OB的延長線上?？梢园l(fā)現(xiàn)，不管點F的位置在哪里，始終存在著一組相似三角形，即△COF∽△COE，改變的是EF的長度(線段和差)，即EF=CE-CF或EF=CF-CE。

本題中隨著點P的運動，三角形相似的情況也會相應發(fā)生改變，即BD的長度變?yōu)锽O+OD或BO-OD。當P在線段OA延長線上時，此時∠PCO=∠A，衍生出另一對相似三角形：△COD∽△COB，利用共邊共角型相似三角形的線段比求得BD的長度；當P在線段OA上時，有且僅有CP⊥OA的情況(鈍角三角形和銳角三角形無法相似)，此時構(gòu)造DP-BH-X型相似三角形，求出線段BD長度。

本題綜合考察了圓中垂徑定理的應用，結(jié)合了點在線段及其延長線上的分類討論。合理構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理進行問題解決是本題突破的關鍵。

本題的第1問是求半徑，連結(jié)半徑OD后，在△ODH中利用勾股定理助力問題解決。

本題的第2問限定了E在弧AD上，建立函數(shù)關系。通過作弦心距OM，利用銳角三角比和勾股定理即可建立函數(shù)關系。

本題的第3問需要分類討論，即E在弧AD、弧BD和弧BC三種情況。綜合利用垂徑定理、銳角三角比和勾股定理解決問題。具體的變化見下圖視頻。

點在線段或其延長線上的分類討論問題在壓軸題中非常常見，在問題解決時，要明晰點的運動軌跡，“數(shù)形結(jié)合”，明確當點運動的時候，問題解決的辦法和途徑是不變的，根據(jù)分類討論后的具體圖形進行證明和計算。

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