圓錐曲線中有關(guān)面積的最值、范圍問題
?方法導(dǎo)讀
最值問題是高考的熱點也是難點,而圓錐曲線的最值問題幾乎是高考的必考點,不僅會在選擇題或填空題中進行考察,在解答題中也往往將其設(shè)計為試題考查的核心.解決這類難點問題應(yīng)從“數(shù)”與“形”兩個方面把握直線與圓錐曲線的位置關(guān)系.會判斷已知直線與曲線的位置關(guān)系(或交點個數(shù)),會求直線與曲線相交的弦長、中點、最值、范圍問題.
本專題在深刻的研究和分析近幾年高考真題及各地模擬題的基礎(chǔ)上,從該類問題中的某一考點入手,著重探討圓錐曲線中有關(guān)面積的最值、范圍問題,旨在探尋這類問題的解題方法,使得學(xué)生在解決這類繁瑣復(fù)雜問題時也能從容面對.
?高考真題
【2016年全國新課標(biāo)1卷理】設(shè)圓
(1)證明為定值,并寫出點的軌跡方程;
(2)設(shè)點的軌跡為曲線,直線交于,兩點,過且與垂直的直線與圓交于,兩點,求四邊形面積的取值范圍.
?解題策略
【過程分析】(1)根據(jù)題中所給關(guān)系證明為等腰三角形,即可證明
(2)分類討論.根據(jù)直線的斜率是否存在分類討論.當(dāng)斜率存在時,通過點斜式設(shè)出直線方程與橢圓聯(lián)立,建立關(guān)于的一元二次方程,然后利用根與系數(shù)的關(guān)系得到關(guān)于斜率的表達式,然后利用勾股定理可得到關(guān)于的表達式,從而可得到面積關(guān)于的表達式,然后通過研究的函數(shù)的最值可得到四邊形面積的取值范圍.再由斜率不存在的情況,可直接求出四邊形面積.進而可求得最后的答案.
【深入探究】
解決圓錐曲線中的定值、定點問題我們一般采取:(1)從特殊入手,求出定點、定值、定線,再證明定點、定值、定線與變量無關(guān);(2)直接計算、推理,并在計算、推理的過程中消去變量,從而得到定點、定值、定線.應(yīng)注意到繁難的代數(shù)運算是此類問題的特點,設(shè)而不求方法、整體思想和消元的思想的運用可有效地簡化運算.
圓錐曲線中的最值,范圍問題是高考的熱點,在圓錐曲線的綜合問題中經(jīng)常出現(xiàn),求解此類問題的一般思路為在深刻認識運動變化的過程之中,抓住函數(shù)關(guān)系,將目標(biāo)量表示為一個(或者多個)變量的函數(shù),然后借助于函數(shù)最值的探求來使問題得以解決.
?解題過程
【解析】(1)因為,,故,
所以,故
又圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為,從而,所以.
由題設(shè)得,,,由橢圓定義可得點的軌跡方程為:
.
(2)當(dāng)與軸不垂直時,設(shè)的方程為,,.
由得.
則,.
所以.
過點且與垂直的直線,到直線
所以.
故四邊形的面積.
可得當(dāng)與軸不垂直時,四邊形面積的取值范圍為.
當(dāng)與軸垂直時,其方程為,,,四邊形的面積為.
綜上,四邊形面積的取值范圍為.
?解題分析
(1)利用平面幾何的性質(zhì),由為定值,可知軌跡為橢圓,利用橢圓定義求方程.
(1)分斜率是否存在設(shè)出直線方程,當(dāng)直線斜率存在時設(shè)其方程為,利用根與系數(shù)的關(guān)系和弦長公式把面積表示為直線的斜率的函數(shù),再利用函數(shù)的性質(zhì)即可求出最值.
?拓展推廣
解題模板:在圓錐曲線中求面積的最值或者范圍問題,通?？衫?/span>
(I)幾何法:
(1)可根據(jù)圓錐曲線的定義,把所要求的最值問題轉(zhuǎn)化為平面上兩點之間的距離、點線之間的距離;
(2)利用兩點間線段最短,或垂線段最短,或三角形的三邊性質(zhì)等找到取得最值的臨界條件,進而求出最值;
(3)若題目的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征和意義,則考慮利用圖形性質(zhì)來解決;
(II)代數(shù)法:
對于此類求三角形或四邊形的面積的的最值或者范圍的問題,關(guān)鍵是選擇一個適當(dāng)?shù)幕蛘吆侠淼拿娣e公式轉(zhuǎn)化成常見的函數(shù)(二次函數(shù)、反比例函數(shù)等).在這個過程中,我們通常依據(jù)三角形的面積公式(四邊形通常分割成三角形)去建立目標(biāo)函數(shù).在這類題型中,我們常見的一些有關(guān)面積的表達式有以下幾種:
①.(底=弦長公式求解,高=點到直線的距離);
②.(或
③對角線互相垂直的四邊形,面積=對角線長度乘積的一半;
④面積的比值可轉(zhuǎn)化為線段長度的比值.
通常我們是通過研究所建立的目標(biāo)函數(shù)的最值,來達到所要解決的面積的最值或者范圍問題.在利用代數(shù)法解決最值或范圍問題時常從以下幾個方面考慮:
①利用判別式來建立不等關(guān)系,通過解不等式來求解范圍或者最值問題;
②研究函數(shù)的最值,來求解;通常研究函數(shù)的最值方法有(1)若是常見的二次函數(shù),則可利用配方法求解;
(2)可借助配湊、換元、然后利用基本不等式(或?qū)春瘮?shù))求解;
(3)利用導(dǎo)數(shù)求解,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,從而達到求解目標(biāo)函數(shù)的最值或者范圍問題.
變式訓(xùn)練1
拋物線的焦點為,過點的直線交拋物線于兩點.
(1)若,求直線的斜率;
(2)設(shè)點在線段上運動,原點關(guān)于點的對稱點為,求四邊形面積的最小值.
變式訓(xùn)練2
已知橢圓短軸的兩個頂點與右焦點的連線構(gòu)成等邊三角形,直線與圓相切.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)已知過橢圓的左頂點的兩條直線分別交橢圓于兩點, 且,求證: 直線過定點, 并求出定點坐標(biāo);
(3) 在(2) 的條件下,求面積的最大值.
變式訓(xùn)練3
如圖,過橢圓上一點向軸作垂線,垂足為左焦點,分別為的右頂點,上頂點,且.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)過原點做斜率為的直線,交于兩點,求四邊形面積的最大值.
變式訓(xùn)練4
已知橢圓的四個頂點組成的四邊形的面積為,且經(jīng)過點.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)若橢圓的下頂點為,如圖所示,點為直線上的一個動點,過橢圓的右焦點的直線垂直于,且與交于兩點,與交于點,四邊形和的面積分別為.求的最大值.
變式訓(xùn)練5
已知橢圓的離心率為,且點在橢圓上.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)若直線交橢圓于兩點,線段的中點為為坐標(biāo)原點,且,求面積的最大值.
答案
變式訓(xùn)練1
(1).
(2).
(1)依題意知,設(shè)直線的方程為:.
將直線的方程與拋物線的方程聯(lián)立,消去得.
設(shè),,所以,.①
由,得
所以直線的斜率是.
(2)由點與原點關(guān)于點對稱,得是線段的中點,從而點與點到直線的距離相等,所以四邊形的面積等于
,
所以當(dāng)時,四邊形的面積最小,最小值是.
變式訓(xùn)練2
(1).
(2).
(3)
(1)由題意 ,. 即.
(1)由題意可知直線的斜率存在且不為.由(1)得:
. 設(shè),
由得,
同理得
,于是可知直線過定點.
②時,,過定點
綜上所得直線過定點.
(2)由(2)知直線過定點,于是有
令,當(dāng)時取等號,.
當(dāng)時取等號,此時面積有最大值,.
變式訓(xùn)練3
(1)
(2)
(1)由題意可得
.
由,,解得
故橢圓的方程為
(2)由題意可設(shè),設(shè),
它們到直線的距離分別為,
將代入,得,則
由得,且,
, 當(dāng)且僅當(dāng)時取等號,
當(dāng)時,四邊形的面積取得最大值.
變式訓(xùn)練4
(1)
(2)
(1)因為在橢圓上,所以,
又因為橢圓四個頂點組成的四邊形的面積為,所以,
解得,所以橢圓的方程為
(2)由(1)可知,設(shè),
則當(dāng)時,的直線方程為:,,
直線的方程為,即,
由，得
則
,
又,所以
由，得，所以,
所以,
當(dāng)時,直線,
,
所以當(dāng)時,
變式訓(xùn)練5
(1)
(2)1
(1)由已知得:,解得.
橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：
(2)設(shè)與軸的交點為,
設(shè)直線方程為,.
聯(lián)立,得,
,.
.
即,
由,得.
則,
由
令,
則,
當(dāng)且僅當(dāng),即時取等號,此時
所以面積的最大值為1.
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