立體幾何解法第五招：開宗立派-建系求角
(2020年全國統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)理科)如圖,為圓錐的頂點,是圓錐底面的圓心,為底面直徑,.是底面的內(nèi)接正三角形,
為上一點,.
(1)證明:平面;
(2)求二面角的余弦值.
【答案】見解析
【解析】
(1)證明:設(shè)的邊長為,則可知,.
∵,∴,得.
∴,則.
∴,得.
同理,得.
又∵平面,平面,,
∴平面.
(2)如圖,以為坐標(biāo)原點平行于方向為軸,為軸,為軸,建立空間直角坐標(biāo)系.
由(1)可設(shè),則有,,,
.∴,,,
設(shè)平面的一個法向量為,
則得,得.
設(shè)平面的一個法向量為,
則得,設(shè),
則.
∴二面角的余弦值為.
(1)建立立體圖形與空間向量的聯(lián)系,用空間向量表示問題涉及的點、直線、平面,把立體幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題;(化為向量問題)
(2)通過向量運算,研究點、直線、平面之間的位置關(guān)系以及它們之間距離和夾角等問題;(進行向量運算)
(3)把向量的運算結(jié)果“翻譯”成相應(yīng)的幾何意義。(回到圖形)
一、異面直線所成的角
設(shè)兩異面直線所成的角為,分別是的方向向量,注意到異面直線所成角的范圍是,則有
二、直線和平面所成的角
如圖,點在平面外,為內(nèi)一點,斜線和平面所成的角為,為的一個法向量,注意到斜線和平面所成角的范圍是,則有,結(jié)合向量的夾角公式便可求
三、二面角
如圖,分別在二面角的兩個面內(nèi)且垂直于棱,分別是的一個法向量,則可利用向量的夾角公式結(jié)合以下角度關(guān)系之一求二面角的大小:
(1)等于二面角的平面角;
(2)與二面角的平面角相等或互補。
評議:利用向量法求空間角的大小,經(jīng)常用到平面的法向量。求法向量的方法主要有兩種:
1、求平面的垂線方向向量；
2、利用法向量與平面內(nèi)兩個不共線向量數(shù)量積為零列出方程組求。
1.如圖三棱柱中,底面是邊長為的等邊三角形,,分別為,的中點,,.
(1)證明:平面.
(2)求二面角的平面角大小.
2.如圖,四面體中,是正三角形,是直角三角形,,.
(1)證明:平面平面.
(2)若,求二面角的余弦值.
3.在棱長為的正方體中,為的中點,過,,的平面交于點.
(1)求證:;
(2)求二面角的余弦值.
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