作者：William Dunham
譯者：李伯民， 汪軍， 張懷勇
萊昂哈德·歐拉于1783年辭世，這一年距萊布尼茨發(fā)表第一篇微積分論文一百周年僅差一年。無論按什么標準衡量，這一百年都是數(shù)學史上非同尋常的一個世紀。到目前為止我們考察的結(jié)果雖然只是這個世紀獲得的豐碩成果中的一小部分，卻說明已經(jīng)有了巨大進展。牛頓、萊布尼茨、伯努利兄弟和歐拉致力于無窮量研究，發(fā)現(xiàn)了大量正確的而且時常是驚人的結(jié)果，同時確立了微積分作為數(shù)學中的典范學科分支的地位。讓我們不由得對這些開拓者們肅然起敬。
頭一個世紀的一個重要的發(fā)展趨勢是人們把視點從幾何轉(zhuǎn)向分析。當問題變得越來越棘手時，它們的解對曲線幾何性質(zhì)的依賴越來越少，而對函數(shù)代數(shù)運算的依賴卻越來越多。萊布尼茨在1673年證明他的變換定理所用的復雜的幾何圖解在18世紀中期歐拉的著作中已經(jīng)無影無蹤了。從這個意義上說，分析學已經(jīng)具備了更現(xiàn)代的形態(tài)。
但是這門學科的其他常見內(nèi)容卻銷聲匿跡了。例如，很大的一個缺失是現(xiàn)代分析學的支柱—不等式。17世紀和18世紀的數(shù)學家們主要處理等式 。他們的工作傾向于利用巧妙的代換將一個公式變換成另一種想要的形式。雖然雅各布·伯努利對調(diào)和級數(shù)發(fā)散性的證明（見第3章）是以熟練地運用不等式為特征，但是這樣的例子總體上是罕見的。
同樣稀少的是對廣泛函數(shù)類的分析。歐拉和他的前輩們擅長研究特定的積分或級數(shù)，但是他們對連續(xù)函數(shù)或可微函數(shù)這樣的函數(shù)類的一般特性缺乏興趣。把關注的焦點從特殊的函數(shù)轉(zhuǎn)移到一般的函數(shù)將成為下一個世紀的標志。
早期微積分和當今微積分的另外一個顯著差異是對邏輯基礎的關注不同。正如我們所見，那個時期的數(shù)學家在使用結(jié)果時既不證明它們的正確性，在許多情況下，甚至也不考慮這個問題。一個例子是用積分的無窮級數(shù)代替無窮級數(shù)的積分的這種趨勢，也就是說，把
看成是相等的。這里的兩種運算（對函數(shù)積分和對級數(shù)求和）都包含無限的步驟，這種不加區(qū)別的交換可能會導 致錯誤結(jié)果。只有在滿足某些條件時這種交換才是可行的。在這方面，微積分的先驅(qū)們多半依靠直覺而不是根據(jù)推理進行運算。不可否認，他們的直覺通常是非?？煽康?。特別是歐拉，他具有一種神奇的能力，在他陷入數(shù)學的深淵之前就準確知道自己可以走多遠。
然而，微積分的基礎依舊是令人懷疑的。作為一個例證，我們不妨回憶一下無窮小量所扮演的角色。為了解釋這些稱為無窮小的量，從萊布尼茨到歐拉，他們都作過嘗試，但是從來沒有給出令人滿意的證明。像一條數(shù)學變色龍，無窮小看起來不可避免地同時既是零又不是零。從根本上說，它們的存在似乎是自相矛盾和違背直覺的。
數(shù)學家們將他們的結(jié)論建立在“逐漸消失的”量上不是什么好事。牛頓是這種動態(tài)方法的倡導者，對于醉心于運動研究的他來說，這或許是一種合理的主張。在引 我們現(xiàn)在所謂的導數(shù)的時候，他考察了逐漸消失的量的商，并且寫道，他所指的這些逐漸消失的量的“最終比”，“既不是在它們消失之前的比，也不是在消失之后的比，而是正當這些量消失時的比”。 除了想象一個量在消失（無論含義是什 么）之后的概念以外，牛頓還要求他的讀者想象當分子和分母噗的一聲同時消失在稀薄空氣中時的比。他的描述看起來給予非難者以可乘之機。
批評很快來臨，而批評者是喬治·伯克萊（1685—1753）—英國著名的哲學家和 克羅因教區(qū)的主教。伯克萊在他1734年所寫的《分析學家》一文中，嘲笑那些遣責他依靠宗教信仰而不是理性行事的科學家們自己也在談論著無窮小的量或逐漸消失的量。對伯克萊來說，這是最模糊的思想和最虛偽的行為。這一點隱含在文章長長的副標題中： 致一位不信教的數(shù)學家的評論，其中剖析現(xiàn)代分析學的目標、原理和結(jié)論是否比宗教的神秘和教義有更清晰的構(gòu)思或更縝密的推理。
伯克萊的評論非?？瘫 τ谶@位主教來說，無論微積分是建立在牛頓的逐漸消失的量的概念上還是建立在萊布尼茨的無窮小的概念上，都沒有多大差別。他得出結(jié)論：“越是用心分析和追尋這些虛無飄渺的思想，越發(fā)陷入糊涂與迷茫的深淵?！辈巳R以拷問牛頓的口吻，提出了當時聞名遐爾的質(zhì)疑：
這些流數(shù)到底是什么？逐漸消失的增量的速度有多么大？這些相同的逐漸消失的增量是什么？它們既不是有限的量，也不是無窮小的量，更不是零。難道我們不 能把它們稱為消逝的量的鬼魂嗎？
伯克萊對萊布尼茨的無窮小量的概念也毫不客氣。他嘲諷道，承認一個無窮小量的概念超出了“我的能力”，接受像(dx)^2這樣的無窮小量的無窮小部分“對任何人而言都是無限困難的”。
伯克萊并沒有對數(shù)學家們從這些可疑的方法推出的結(jié)論提出質(zhì)疑，他拒絕的是這些結(jié)論背后的邏輯。事實上，微積分是求切線和確定極大值或極小值的極好工具。但是，他爭辯說，它的正確答案來自錯誤的思想，正如在某種錯誤補償中某些錯誤抵消其他錯誤，從而掩蓋其中隱藏的漏洞。他寫道：“錯誤也許能產(chǎn)生真理，但是決不會產(chǎn)生科學。
伯克萊不贊成的是第二個假設與第一個假設完全沖突，因此他否定由此推出的任何結(jié)論。畢竟，如果o是零，我們不僅不能把它作為分母，而且必須承認x根本就沒有增加。所有的論據(jù)立刻土崩瓦解。伯克萊寫道：“當提到讓增量消失時，前面那個增量為某種量的假設就被破壞了，然而，由這個假設所推出的結(jié)果，即由它獲得的表達式卻保留了下來。
對這位主教來說，這種推理方法是完全不能接受的，并且是“一種極端自相矛盾的討論方式，而這種方式在上帝那里是不允許的”。在《分析學家》最具火藥味的一段話中，伯克萊對比了他所說的微積分的錯誤邏輯與人類知識要求的高標準，“我相信在人類所有知識門類的任何一種知識中，人們都不會承認像在數(shù)學證 明中所接受的這種推理”。
伯克萊主教充分闡明了他的觀點。即使微積分的結(jié)果似乎是正確的，并且當應用于像力學或光學中的實際現(xiàn)象時，得到的解答也和觀測結(jié)果一致，但是，如果基礎不牢的話，這種結(jié)果依然一錢不值。
必須做些事情了！在其后的數(shù)十年中，很多數(shù)學家試圖加固微積分搖搖欲墜的基礎結(jié)構(gòu)。讓·勒朗·達朗貝爾（1717—1783）就是其中的一員。他是一位備受尊敬的學者，與德尼·狄德羅（1713—1784）一起在法國編纂《百科全書》。對于微積分的基礎，達朗貝爾同意無窮小量或者逐漸消失的量是沒有意義的。他毫不含糊地宣 稱：“一個量或者是有，或者是沒有。如果是有，它就還沒有消失；如果是沒有， 它就確實消失了。假設存在介于這兩者之間的中間狀態(tài)，就只能是一頭由獅頭羊身和蛇尾構(gòu)成的吐火怪物?！?/span>
達朗貝爾取得了某些進展。他沒有使用無限小，也沒有使用逐漸消失的量，并且由于突出極限作為修補微積分薄弱基礎的方法而理應受到稱贊。 但是斷言達朗貝爾扭轉(zhuǎn)了乾坤，那是言過其實的。雖然他可能已經(jīng)察覺到正確的路 徑，但是他沒有在這條路徑上走得很遠。缺少的是“極限”的明確定義，以及沒有從極限出發(fā)推導微積分的一些基本定理。最終，達朗貝爾不過是提出了走出困境的方法而已。這些思想的完全確立尚需等待一代人或者更長的時間。
與此同時，一位更卓越的數(shù)學家卷入了這個難題，并且提出一種完全不同的解答。 他就是約瑟夫·路易·拉格朗日（1736—1813）—18世紀晚期在歐洲數(shù)學界有著重大影響的一位杰出數(shù)學家。對于這個基礎性的問題，拉格朗日發(fā)誓要提供一個邏輯上完備的構(gòu)架，使得微積分的宏偉大廈可以建立它的基礎上。在他1797年所寫的 《解析函數(shù)論》一書中，他設想了一種“排除無窮小量、逐漸消失的量、極限以及流數(shù)所有因素在內(nèi)”的微積分。鑒于以往的任何合理性都不具備優(yōu)勢，拉格朗日宣誓要重新開始。
任何熟悉泰勒級數(shù)的人都會明白拉格朗日得到了什么，但是對他而言重要的是注意這個級數(shù)出現(xiàn)在先，而導數(shù)是作為它的一個結(jié)果，在現(xiàn)代分析學中導數(shù)出現(xiàn)在級數(shù)之前。
對牛頓或萊布尼茨來說，這個結(jié)果自然是不足為奇的。
對拉格朗日而言，這個推導過程避免了無窮小量，同時也避免了那些湮滅不見的消 逝的量的鬼魂。同樣，他無需用達朗貝爾的沒有確切定義的極限。當拉格朗日令i=0時，他的意思是嚴格的。在式（2）中不會遇到任何陷阱，因為在任何分母中都沒有出現(xiàn)零。他認為這是解決導數(shù)問題的純粹的分析方法，不需要任何曾經(jīng)困擾他的先驅(qū)們的邏輯轉(zhuǎn)換。這個方法竟然如此精致，如此整齊。
然而，果真是這樣嗎？舉一個事例，可以說明用這種方式定義導數(shù)過于曲折。盡管牛頓和萊布尼茨的思想夾雜著曲線和三角形，并且建立在不牢固的基礎之上，但是他們對研究對象的定義是直接的。在拉格朗日的思想中沒有任何的圖解，卻把導數(shù)同切線斜率有關的事實完全掩蓋了。 這還只是次要的毛病。更大的麻煩是在對待比上述函數(shù)更為復雜的函數(shù)如何求導數(shù)的問題上。在我們的例子中，問題的關鍵是展開并且簡化
以便從結(jié)果中分解出因子i 。但是每個函數(shù)的可以展開和簡化的保證在哪里？這樣構(gòu)造的級數(shù)是收斂的保證在哪里？而這樣構(gòu)造的一個收斂級數(shù)收斂到我們原始的函數(shù)的保證又在哪里？這些才是深層次的和重要的問題。
最終，拉格朗日的理論經(jīng)不起如此嚴格的推敲。1822年，法國數(shù)學家奧古斯丁·路易· 柯西發(fā)表了一個例子，證實拉格朗日的思想存在致命缺陷。我們在下一章的主角柯西證明了函數(shù)
總之，基于級數(shù)的導數(shù)定義以及隨之而來的基于級數(shù)的微積分的基礎被拋棄了。雖然拉格朗日未能完成他的主要使命，但卻作出了許多貢獻，引導了新世紀的發(fā)展。 首先，他將基礎問題提升到更突出的位置，使之成為既有趣又重要的問題。其次， 他試圖從他的基本定義推導出微積分的種種定理，在這個過程中引入了不等式，并且對不等式的應用展現(xiàn)出熟練的技巧。最后，正如Judith Grabiner在她的《柯西的嚴密微積分的起源》一書中所說： 閱讀拉格朗日的著作，人們總是會被他對普遍性的感悟所打動……，他對普遍性的極端鐘情在那個年代是非同尋常的，與許多他同時代人專注于解決特定問題形成鮮明對比。他提出的微積分的代數(shù)基礎與其普遍化的思想傾向是一致的。
盡管數(shù)學家們作出了這么多貢獻，在18世紀結(jié)束時，微積分的邏輯危機依然沒有解決。達朗貝爾和拉格朗日以及其他致力于處理這些問題的數(shù)學家的工作沒能平息批評的浪潮。伯克萊主教說過這么一句話：“我要指出在其他每一種科學中，人們總是用他們的原理來證明結(jié)論，而不是用他們的結(jié)論來證明原理?！敝钡竭M入19世紀，他的話聽起來還一直帶有真實性的意味。
但是一種解決方案近在咫尺了。在19世紀初期，正是認識到級數(shù)非唯一性的柯西， 行將發(fā)現(xiàn)一個可以圓滿解釋微積分基礎的方法。到他完成這個任務的時候，分析學就超越了他的前輩們所能設想的情景，成為遠具普遍性、抽象性和充滿不等式的學科。同時，這門學科將會越發(fā)嚴密。 現(xiàn)在我們就轉(zhuǎn)向這位杰出的人物，轉(zhuǎn)向他所進行的革命性的工作。
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